國中數學/乘法公式

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國中常見的四個乘法公式分別是

分配律$(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd$、

和的平方公式$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$、

差的平方公式$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$與

平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。

分配律

證明

利用分配律，$(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd$

例子

例題$1.$計算$1002\times 197$。

解：$1002\times 197=(1000+2)\times [200+(-3)]=1000\times 200+1000\times (-3)+2\times 200+2\times (-3)=200000-3000+400-6=197394$

例題$2.$計算$673\times 524+227\times 524-673\times 224-227\times 224$。

解：$673\times 524+227\times 524-673\times 224-227\times 224=(673+227)\times (524-224)=900\times 300=270000$

習題

習題$1.$計算$100\frac{2}{7}\times 70\frac{3}{5}$。

習題$2.$計算$513\frac{3}{8}\times 221\frac{6}{11}+486\frac{5}{8}\times 221\frac{6}{11}+513\frac{3}{8}\times 178\frac{5}{11}+486\frac{5}{8}\times 178\frac{5}{11}$。

和的平方公式

證明

在$(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd$的$c$代入$a$，$d$代入$b$，得到

$(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+ba+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$

例子

例題$3.$求$(400\frac{1}{5}{)}^2$之值。

解：$(400\frac{1}{5}{)}^2=(400+\frac{1}{5}{)}^2=400^2+2\times 400\times (\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}{)}^2=160000+160+\frac{1}{25}=160160\frac{1}{25}$

例題$4.$求$(234\frac{4}{7}{)}^2+2\times (234\frac{4}{7})\times (65\frac{3}{7})+(65\frac{3}{7}{)}^2$之值。

解：$(234\frac{4}{7}{)}^2+2\times (234\frac{4}{7})\times (65\frac{3}{7})+(65\frac{3}{7}{)}^2=(234\frac{4}{7}+65\frac{3}{7}{)}^2=300^2=90000$

習題

習題$3.$求$(400.7{)}^2$之值。

習題$4.$求$173^2+2\times 173\times 27+27^2$之值。

差的平方公式

證明

在和的平方公式$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$的$b$代入$-b$得到

$(a-b{)}^2=[a+(-b){]}^2=a^2+2a(-b)+(-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

例子

例題$5.$求$(699\frac{6}{7}{)}^2$之值。

解：$(699\frac{6}{7}{)}^2=(700-\frac{1}{7}{)}^2=700^2+2\times 700\times (\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}{)}^2=490000-200+\frac{1}{49}=489800\frac{1}{49}$

例題$6.$求$(123\frac{7}{13}{)}^2-2\times (123\frac{7}{13})\times (23\frac{7}{13})+(23\frac{7}{13}{)}^2$之值。

解：$(123\frac{7}{13}{)}^2-2\times (123\frac{7}{13})\times (23\frac{7}{13})+(23\frac{7}{13}{)}^2=(123\frac{7}{13}-23\frac{7}{13}{)}^2=100^2=10000$

習題

習題$5.$求$598^2$之值。

習題$6.$求$254.4^2-2\times 254.4\times 54.4+54.4^2$之值。

平方差公式

證明

在$(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd$的$c$代入$a$，$d$代入$-b$，得到

$(a+b)(a-b)=a^2+ba-ab+b(-b)=a^2-b^2$

例子

例題$7.$求$(400\frac{1}{5})\times (399\frac{4}{5})$之值。

解：$(400\frac{1}{5})\times (399\frac{4}{5})=(400+\frac{1}{5})\times (400-\frac{1}{5})=400^2-(\frac{1}{5}{)}^2=160000-\frac{1}{25}=159999\frac{24}{25}$

例題$8.$求$(152\frac{1}{2}{)}^2-(52\frac{1}{2}{)}^2$之值。

解：$(152\frac{1}{2}{)}^2-(52\frac{1}{2}{)}^2=(152\frac{1}{2}+52\frac{1}{2})\times (152\frac{1}{2}-52\frac{1}{2})=205\times 100=20500$

習題

習題$7.$求$599.4\times 600.6$之值。

習題$8.$求$429^2-329^2$之值。

更多乘法公式

參見：高中數學/乘法公式

• 三個數的平方和：$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
• 立方和公式：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
• 立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
• 和的立方公式：$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
• 差的立方公式：$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$