高中数学/函数与三角/万能公式与多倍角相关公式

阅读指南

本节介绍的内容属于高中数学的拓展知识，并不要求大多数中学生了解。

万能公式在后续的积分学课程中会有一定的用途，是三角换元的一种常见技巧。三倍角公式则不是很重要，也不需要记忆，但其推导不算复杂，可以作为提升基础的例题。

基础知识

万能公式

万能公式也叫正切半角公式（tangent half-angle formulas），是一组只用正切函数表示其它三角函数的公式统称，它们形式相似，都只含有原角大小一半的正切值。

$\sin 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }$

$\cos 2\alpha =\frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }$

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

三倍角的正弦、余弦、正切公式

求一个角的三倍的三角函数值，可以套用2次二倍角公式，从而得到三倍角公式（formulae for triple angles）。

$\begin{array}{cc}\sin (3x)& =\sin (2x+x)\\ & =\sin (2x)\cos x+\cos (2x)\sin x\\ & =(2\sin x\cos x)\cos x+(1-2{\sin }^{2}x)\sin x\\ & =2\sin x{\cos }^{2}x+\sin x-2{\sin }^{3}x\\ & =2\sin x(1-si{n}^{2}x)+\sin x-2{\sin }^{3}x\\ & =2\sin x-2{\sin }^{3}x+\sin x-2{\sin }^{3}x\\ & =3\sin x-4{\sin }^{3}x\end{array}$

$\begin{array}{cc}\cos (3x)& =\cos (2x+x)\\ & =\cos (2x)\cos x-\sin (2x)\sin x\\ & =(1-2{\sin }^{2}x)\cos x-(2\sin x\cos x)\sin x\\ & =\cos x-2{\sin }^{2}x\cos x-2{\sin }^{2}x\cos x\\ & =\cos x-4{\sin }^{2}x\cos x\\ & =\cos x-4(1-{\cos }^{2}x)\cos x\\ & =\cos x-4\cos x+4{\cos }^{2}x\cos x\\ & =4{\cos }^{3}x-3\cos x\end{array}$

$\begin{array}{cc}\tan (3x)& =\tan (2x+x)\\ & =\frac{\tan (2x)+\tan x}{1-\tan (2x)\tan x}\\ & =\frac{\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}+\tan x}{1-\frac{2\tan x}{1-ta{n}^{2}x}\tan x}\\ & =\frac{\frac{2\tan x+(1-{\tan }^{2}x)\tan x}{1-ta{n}^x}}{\frac{(1-ta{n}^{2}x)-2\tan x\tan x}{1-ta{n}^x}}\\ & =\frac{2\tan x+\tan x-{\tan }^{2}x\tan x}{1-ta{n}^{2}x-2{\tan }^{2}x}\\ & =\frac{3\tan x-{\tan }^{3}x}{1-3{\tan }^{2}x}\end{array}$

三倍角的正、余弦公式还有另一种形式，但需要在推导过程中对2个同类型三角函数之和或之差使用和差化积技巧：

$\begin{array}{cc}\sin (3x)& =3\sin x-4{\sin }^{3}x\\ & =4(\sin x)(\frac{3}{4}-{\sin }^{2}x)\\ & =4\sin x((\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2-{\sin }^{2}x)\\ & =4\sin x({\sin }^2\frac{\pi }{3}-{\sin }^{2}x)\\ & =4\sin x(\sin \frac{\pi }{3}+\sin x)(\sin \frac{\pi }{3}-\sin x)\\ & =4\sin x\cdot 2\sin (\frac{\pi }{6}+\frac{x}{2})\cos (\frac{\pi }{6}-\frac{x}{2})\cdot 2\sin (\frac{\pi }{6}-\frac{x}{2})\cos (\frac{\pi }{6}+\frac{x}{2})\\ & =4\sin x\cdot 2\sin (\frac{\pi }{6}+\frac{x}{2})\cos (\frac{\pi }{6}+\frac{x}{2})\cdot 2\sin (\frac{\pi }{6}-\frac{x}{2})\cos (\frac{\pi }{6}-\frac{x}{2})\\ & =4\sin x\cdot \sin (2(\frac{\pi }{6}+\frac{x}{2}))\cdot \sin (2(\frac{\pi }{6}-\frac{x}{2}))\\ & =4\sin x\sin (\frac{\pi }{3}+x)\sin (\frac{\pi }{3}-x)\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}\cos (3x)& =4{\cos }^{3}x-3\cos x\\ & =4\cos x({\cos }^{2}x-\frac{3}{4})\\ & =4\cos x({\cos }^{2}x-(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2)\\ & =4\cos x({\cos }^{2}x-{\cos }^2\frac{\pi }{6})\\ & =4\cos x(\cos x+\cos \frac{\pi }{6})(\cos x-\cos \frac{\pi }{6})\\ & =4\cos x\cdot 2\cos (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{12})\cos (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{12})\cdot (-2\sin (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{12})\sin (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{12}))\\ & =4\cos x\cdot 2\sin (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{12})\cos (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{12})\cdot (-2\sin (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{12})\cos (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{12}))\\ & =4\cos x\cdot \sin (2(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{12}))\cdot (-\sin (2(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{12})))\\ & =4\cos x\cdot \sin (x+\frac{\pi }{6})\cdot (-\sin (x-\frac{\pi }{6}))\\ & =4\cos x\sin (\frac{\pi }{6}+x)\sin (\frac{\pi }{6}-x)\\ & =4\cos x\cos (\frac{\pi }{2}-(\frac{\pi }{6}+x))\cos (\frac{\pi }{2}-(\frac{\pi }{6}-x))\\ & =4\cos x\cos (\frac{\pi }{3}-x)\cos (\frac{\pi }{3}+x)\end{array}$

$\begin{array}{cc}\tan 3x& =\frac{\sin 3x}{\cos 3x}\\ & =\frac{4\sin x\cdot \sin (\frac{\pi }{3}+x)\cdot \sin (\frac{\pi }{3}-x)}{4\cos x\cos (\frac{\pi }{3}-x)\cos (\frac{\pi }{3}+x)}\\ & =\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{\sin (\frac{\pi }{3}+x)}{\cos (\frac{\pi }{3}+x)}\cdot \frac{\sin (\frac{\pi }{3}-x)}{\cos (\frac{\pi }{3}-x)}\\ & =\tan x\tan (\frac{\pi }{3}+x)\tan (\frac{\pi }{3}-x)\end{array}$

三倍角的常见公式列举如下：

• $\sin (3x)=3\sin x-4{\sin }^{3}x=4\sin x\sin (\frac{\pi }{3}+x)\sin (\frac{\pi }{3}-x)$
• $\cos (3x)=4{\cos }^{3}x-3\cos x=4\cos x\cos (\frac{\pi }{3}-x)\cos (\frac{\pi }{3}+x)$
• $\tan 3x=\tan x\tan (\frac{\pi }{3}+x)\tan (\frac{\pi }{3}-x)$

上述正弦和余弦的三倍角公式的前半部分都比较简单，考试时万一需要用到，完全可以现场推导；后半部分形式统一，比较好记，但是推导步骤较多。

相关例题：在三角形ABC中，角A、B、C的对边长度分别是a、b、c。已知$a=32,b=\sqrt{2},A=2B$，求c的值。

解答：由正弦定理可知：
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow \frac{32}{\sin 2B}=\frac{16\sqrt{2}}{\sin B}\Rightarrow \frac{32}{2\sin B\cos B}=\frac{16\sqrt{2}}{\sin B}\Rightarrow \cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$
因为$\sin B>0$，所以$\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
再用一次正弦定理可得：
$\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow c=\frac{b\sin C}{\sin B}=\frac{32\times \sin (A+B)}{2}=16\sin (3B)$
使用正弦函数的三倍角公式可得：
$c=16\sin (3B)=16(3\sin B-4{\sin }^{3}B)=16(3\times \frac{\sqrt{2}}{2}-4(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^3)=8\sqrt{2}$

答案：$8\sqrt{2}$。

多倍角公式简介

n倍角的正弦、余弦公式是比较繁琐的求和式，需要使用二项式系数表示，求和时还需要区分奇数情形与偶数情形：

$\begin{array}{cc}\sin (n\theta )& =\sum _{k\text{ odd}}(-1{)}^{\frac{k-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^{n-k}\theta {\sin }^k\theta \\ \cos (n\theta )& =\sum _{k\text{ even}}(-1{)}^{\frac{k}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^{n-k}\theta {\sin }^k\theta \end{array}$

上式中的求和指标k应该取遍满足式子中奇偶条件的所有不超过n的非负整数。

巴夫努提·切比雪夫通过递归求解的思路，也得到了同样的结果。

例如，他将$\cos (nx)$写成$\cos ((n-1)x)$、$\cos ((n-2)x)$和$\cos x$的如下递推式：

$\cos (nx)=2\cdot \cos x\cdot \cos ((n-1)x)-\cos ((n-2)x)$

类似地，还有：

$\sin (nx)=2\cdot \cos x\cdot \sin ((n-1)x)-\sin ((n-2)x)$

$\tan (nx)=\frac{\tan ((n-1)x)+\tan x}{1-\tan ((n-1)x)\tan x}$

知识背景：$\cos (n\theta )$和$\cos \theta$满足的函数关系$T_n(x)=f_n(\cos \theta )$是一种以n为参数的知名多项式，叫做第一类切比雪夫多项式。

补充习题