查看“︁一元三次方程式”︁的源代码

==解法==
===階段一：變形去除三次項===
1.<math>at^3 + bt^2 + ct + d = 0 \Rightarrow </math> 以 <math>t = x - \frac{b}{3a}</math> 代入

2.得 <math>x^3 + px + q = 0 </math>，令其三根為 <math>x_1,x_2,x_3</math>

===階段二：變身為二次方程式===
3.<table><tr><th>令<math>\begin{cases}
x_1=u + v \\
x_2=u \omega + v \omega^2 \\
x_3=u \omega^2 + v \omega
\end{cases}</math></th><th><math> \Rightarrow </math></th><th><math>(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0</math></th><th><math> \Rightarrow </math></th><th><math>\begin{cases}
x_1+x_2+x_3=0 \\
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-3uv=p \\
-x_1x_2x_3=-(u^3+v^3)=q
\end{cases}</math></th></tr></table>

4.<table><tr><th>設<math>\begin{cases}
y_1=u^3 \\
y_2=v^3
\end{cases}</math></th><th><math> \Rightarrow </math></th><th><math>\begin{cases}
y_1+y_2=-q \\
y_1y_2=-(\frac{p}{3})^3
\end{cases}</math></th></tr></table>

5.故 <math>y_1,y_2</math> 為 <math>y^2+qy+-(\frac{p}{3})^3=0</math> 的兩根

===階段三：以二次方程式之兩根求三次方程式之三根===
6.<table><tr><th><math>u=\sqrt[3]{y_1} , v=\sqrt[3]{y_2}</math></th><th><math>\begin{cases}
x_1=u + v \\
x_2=u \omega + v \omega^2 \\
x_3=u \omega^2 + v \omega
\end{cases}</math></th></tr></table>

==例題==
===例題一===
題目：<math>x^{3}-3x+2=0</math>
#<math>y_1,y_2</math> 為 <math>y^2+2y+1=0</math> 的兩根，分別為 -1,-1，各開三方後分別為 -1,-1
#<math>x^{3}-3x+2=0</math> 的三根為 -1+-1,-1ω+-1ω<sup>2</sup>,-1ω<sup>2</sup>+-1ω，即 -2,1,1

===例題二===
題目：<math>x^{3}-12x-16=0</math>
#<math>y_1,y_2</math> 為 <math>y^2-16y+64=0</math> 的兩根，分別為 8,8，各開三方後分別為 2,2
#<math>x^{3}-3x+2=0</math> 的三根為 2+2,2ω+2ω<sup>2</sup>,2ω<sup>2</sup>+2ω，即 4,-2,-2

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