訊號與系統/頻寬

訊號頻寬

90%能量頻寬(90 percent energy containment bandwidth)$f_{90}$:

一個訊號$X(t)$的90%能量集中於一頻譜範圍內，此頻譜寬度則稱為 90%能量頻寬，其數學定義如下：

     $\underset{-f_{90}}{\overset{f_{90}}{\int }}\mid X(f){\mid }^{2}df=0.9\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mid X(f){\mid }^{2}df$

有限頻寬訊號(band-limited signal) ：

一個訊號$x(t)$的頻譜只分佈於一有限的頻譜範圍內，此種訊號稱為有限頻寬訊號，其數學定義如下：

     $\mid X(f)\mid =0,\mid f\mid >f_m$

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範例6.7

訊號$x(t)=e^{-3t}u(t)$，計算此訊號的90%能量頻寬。

【解】： (1)訊號$x(t)=e^{-3t}u(t)$的傅立葉轉換為：

       $X(f)=\frac{1}{3+j2\pi f}$

(2)計算訊號的總能量：

       $E_x=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mid \frac{1}{3+j2\pi f}{\mid }^{2}df=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mid e^{-3t}{\mid }^{2}df=\frac{1}{6}$

【解】 (3) 依90%能量頻寬定義：

       $\underset{-f_{90}}{\overset{f_{90}}{\int }}\mid \frac{1}{3+j2\pi f}{\mid }^{2}df=\underset{0}{\overset{f_{90}}{\int }}\frac{1}{3^2+(2\pi f{)}^2}df=\frac{2}{6\pi }ta{n}^{-1}\left[\frac{2\pi f_{90}}{3}\right]=\frac{0.9}{6}$

故

       $f_{90}=\frac{3}{2\pi }tan(0.45\pi )$

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範例6.8

訊號$x(t)=\frac{sin(6800\pi t)}{\pi t}$，計算此訊號的頻寬。

【解】：訊號$x(t)=\frac{sin(6800\pi t)}{\pi t}=6800sinc(6800t)$的傅立葉轉換為：

     $rect(\frac{f}{6800})=\{\begin{array}{cc}1,& \mid f\mid <3400\\ 0,& \mid f\mid >3400\end{array}$

此訊號是有限頻寬訊號，其頻寬為3400Hz。

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系統頻寬

一般系統內通常會有濾波器，或是系統只能處理某一頻帶之訊號(相當於濾波效應)，在此用濾波器頻寬來說明系統頻寬。

實際濾波器而言，最常以3-dB頻寬(3-dB bandwidth)表示濾波器(或系統)頻寬。

如下圖，$\mid H(0)\mid =1$是此低通濾波器強度響應之最大值，當降至$\mid H(0)\mid /\sqrt{2}$時之正頻率$f_0$定義為低通濾波器的3-dB頻寬。3-dB頻寬也稱為半功率頻寬(half-power bandwidth) 。 ..........................圖..............................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

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帶通系統頻寬

$\mid H(f_c)\mid =1$是此帶通濾波器強度響應之最大值，當頻率為$f1$與$f2$時，降至$\mid H(f_c)\mid /\sqrt{2}$帶通濾波器的3-dB頻寬等於$f2-f1$。 ...............................圖..............................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

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範例6.9

低通濾波器之頻率響應為$H(f)=\frac{1}{3+j2\pi f}$，計算此低通濾波器之3-dB頻寬。

【解】

     (1)$\mid H(0)\mid =\frac{1}{3}$

    (2)依3-dB頻寬之定義，可得
        $\left|\frac{1}{3+j2\pi f_{3db}}\right|=\sqrt{\frac{1}{2}}\times \frac{1}{3}\Rightarrow \frac{1}{9+(2\pi f_{3db}{)}^2}=\frac{1}{18}$

    (3)可解出低通濾波器之3-dB頻寬：
         $f_{3db}=\frac{3}{2\pi }$

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