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:[http://www.ab126.com/shuxue/2085.html 一元四次方程式解法計算機]
==解法==
===階段一：變形去除三次項===
1.<math>at^4 + bt^3 + ct^2 + dt + e  = 0 \Rightarrow </math> 以 <math>t = x - \frac{b}{4a}</math> 代入

2.得 <math>x^4 + px^2 + qx + r = 0 </math>，令其四根為 <math>x_1,x_2,x_3,x_4</math>
===階段二：變身為三次方程式===
3.由 <math>(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=0</math> 可得<math>\begin{cases}
x_1+x_2+x_3+x_4=0 \\
x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=p \\
x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-q \\
x_1x_2x_3x_4=r
\end{cases}</math>

4.<table><tr><th>設<math>\begin{cases}
y_1=(x_1+x_2)(x_3+x_4) \\
y_2=(x_1+x_3)(x_2+x_4) \\
y_3=(x_1+x_4)(x_2+x_3)
\end{cases}</math></th><th>則</th><th><math>\begin{cases}
y_1+y_2+y_3=2p \\
y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3=p^2-4r \\
y_1y_2y_3=-q^2
\end{cases}</math></th><td>注意：<br/><math>y_1,y_2,y_3</math> 對 <math>x</math> 而言是 2 次<br/><math>p</math> 對 <math>x</math> 而言是 2 次<br/><math>p^2,r</math> 對 <math>x</math> 而言是 4 次<br/><math>q^2</math> 對 <math>x</math> 而言是 6 次</td></tr></table>

5.故 <math>y_1,y_2,y_3</math> 為 <math>y^3-2py^2+(p^2-4r)y+q^2=0</math> 的三根，<br/>此方程式對 <math>x</math> 而言是 6 次，其四項對 <math>x</math> 而言分別是 0+6 次、 2+4 次、 4+2 次、 6+0 次。

===階段三：以三次方程式之三根求四次方程式之四根===
6.<math>\because (x_1+x_2)+(x_3+x_4)=0,(x_1+x_2)(x_3+x_4)=y_1 \therefore (x_1+x_2),(x_3+x_4)</math>為<math>w^2+y_1=0</math>之二根，<math>(x_1+x_2)=\sqrt{-y_1}</math> 或 <math>(x_1+x_2)=-\sqrt{-y_1}</math>

7.設<math>(x_1+x_2)=\sqrt{-y_1},(x_3+x_4)=-\sqrt{-y_1}</math>(此有另一種解，判斷方法補充於最後)

8.同理，可得<math>\begin{cases}
(x_1+x_2)=\sqrt{-y_1},(x_3+x_4)=-\sqrt{-y_1} \\
(x_1+x_3)=\sqrt{-y_2},(x_2+x_4)=-\sqrt{-y_2} \\
(x_1+x_4)=\sqrt{-y_3},(x_2+x_3)=-\sqrt{-y_3}
\end{cases}</math>

9.解聯立方程式，得<math>\begin{cases}
x_1=\frac{1}{2}(\sqrt{-y_1}+\sqrt{-y_2}+\sqrt{-y_3}) \\
x_2=\frac{1}{2}(\sqrt{-y_1}-\sqrt{-y_2}-\sqrt{-y_3}) \\
x_3=\frac{1}{2}(-\sqrt{-y_1}+\sqrt{-y_2}-\sqrt{-y_3}) \\
x_4=\frac{1}{2}(-\sqrt{-y_1}-\sqrt{-y_2}+\sqrt{-y_3})
\end{cases}</math>

===補充一：===
在步驟 7 中，若假設 <math>(x_1+x_2)=\sqrt{-y_1},(x_3+x_4)=-\sqrt{-y_1}</math> 則需確認 <math>\sqrt{-y_1}\times \sqrt{-y_2}\times \sqrt{-y_3}=-q</math>

否則需假設 <math>(x_1+x_2)=-\sqrt{-y_1},(x_3+x_4)=\sqrt{-y_1}</math> 即滿足 <math>-\sqrt{-y_1}\times \sqrt{-y_2}\times \sqrt{-y_3}=-q</math>

===補充二：===
在步驟 4 中，<math>y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3+4r=p^2+(x_1+x_2+x_3+x_4) \times (x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)</math>，兩邊展開化簡後得 <math>y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3+4r=p^2 \therefore y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3=p^2-4r</math><br/>
且<math>\begin{align}y_1y_2y_3+q^2= & (x_1+x_2+x_3+x_4) \times [x_1x_2x_3(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)+x_1x_2x_4(x_1x_2+x_1x_4+x_2x_4) \\
& +x_1x_3x_4(x_1x_3+x_1x_4+x_3x_4)+x_2x_3x_4(x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)+2x_1x_2x_3x_4(x_1+x_2+x_3+x_4)]\end{align}</math><br/>，兩邊展開化簡後得 <math>y_1y_2y_3+q^2=0 \therefore y_1y_2y_3=-q^2</math>

==例題==
===例題一===
題目：<math>x^{4}-22x^{2}-48x-23=0</math>
#<math>p=-22, q=-48, r=-23</math> 則 <math>-2p=44, p^2-4r=576, q^2=2304</math>
#<math>y_1,y_2,y_3</math> 為 <math>y^3+44y^2+576y+2304=0</math> 的三根
#<math>\because (y+8)(y+12)(y+24)=0 \therefore y_1=-8, y_2=-12, y_3=-24</math>
#<math>\therefore</math>
#:<math>x_1=\frac{1}{2}(\sqrt{8}+\sqrt{12}+\sqrt{24})=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}</math>
#:<math>x_2=\frac{1}{2}(\sqrt{8}-\sqrt{12}-\sqrt{24})=\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}</math>
#:<math>x_3=\frac{1}{2}(-\sqrt{8}+\sqrt{12}-\sqrt{24})=-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}</math>
#:<math>x_4=\frac{1}{2}(-\sqrt{8}-\sqrt{12}+\sqrt{24})=-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6}</math>
===例題二===
題目：<math>x^{4}-22x^{2}+48x-23=0</math>
#<math>p=-22, q=48, r=-23</math> 則 <math>-2p=44, p^2-4r=576, q^2=2304</math>
#<math>y_1,y_2,y_3</math> 為 <math>y^3+44y^2+576y+2304=0</math> 的三根
#<math>\because (y+8)(y+12)(y+24)=0 \therefore y_1=-8, y_2=-12, y_3=-24</math><br/>(到此之前除了 q 之外其他與例題一一模一樣)
#但是因為 <math>\sqrt{8}\times \sqrt{12}\times \sqrt{24}=48\neq -q</math>，因此不可取 <math>x_1+x_2=\sqrt{-y_1}</math>，應該取 <math>x_1+x_2=-\sqrt{-y_1}</math>。<br/>再驗證一下：<math>-\sqrt{8}\times \sqrt{12}\times \sqrt{24}=-48=-q</math>，所以是正確的。
#<math>\therefore</math>
#:<math>x_1=\frac{1}{2}(-\sqrt{8}+\sqrt{12}+\sqrt{24})=-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}</math>
#:<math>x_2=\frac{1}{2}(-\sqrt{8}-\sqrt{12}-\sqrt{24})=-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}</math>
#:<math>x_3=\frac{1}{2}(\sqrt{8}+\sqrt{12}-\sqrt{24})=\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}</math>
#:<math>x_4=\frac{1}{2}(\sqrt{8}-\sqrt{12}+\sqrt{24})=\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6}</math>

===例題三===
題目：<math>x^4-2x^2+1=0</math>
#<math>p=-2, q=0, r=1</math> 則 <math>-2p=4, p^2-4r=0, q^2=0</math>
#<math>y_1,y_2,y_3</math> 為 <math>y^3+4y^2=0</math> 的三根
#<math>y_1=0, y_2=0, y_3=-4 \therefore \sqrt{-y_1}=0, \sqrt{-y_2}=0, \sqrt{-y_3}=2</math>
#<math>\therefore</math>
#:<math>x_1=\frac{1}{2}(0+0+2)=1</math>
#:<math>x_2=\frac{1}{2}(0-0-2)=-1</math>
#:<math>x_3=\frac{1}{2}(-0+0-2)=-1</math>
#:<math>x_4=\frac{1}{2}(-0-0+2)=1</math>

===例題四===
題目：<math>x^4-(h^2+k^2)x^2+h^2k^2=0</math>
#<math>p=-(h^2+k^2), q=0, r=h^2k^2</math> 則 <math>-2p=2(h^2+k^2), p^2-4r=(h^2-k^2)^2, q^2=0</math>
#<math>y_1,y_2,y_3</math> 為 <math>y^3+2(h^2+k^2)y^2+(h^2-k^2)^2y=0</math> 的三根，<math>y_1=0</math>
#<math>y_2,y_3</math> 為 <math>y^2+2(h^2+k^2)y+(h^2-k^2)^2=0</math> 的兩根
#<math>y_2=-(h+k)^2, y_3=-(h-k)^2  \therefore  \sqrt{-y_1}=0, \sqrt{-y_2}=h+k, \sqrt{-y_3}=h-k</math>
#<math>\therefore</math>
#:<math>x_1=\frac{1}{2}[0+(h+k)+(h-k)]=h</math>
#:<math>x_2=\frac{1}{2}[0-(h+k)-(h-k)]=-h</math>
#:<math>x_3=\frac{1}{2}[-0+(h+k)-(h-k)]=k</math>
#:<math>x_4=\frac{1}{2}[-0-(h+k)+(h-k)]=-k</math>

===例題五===
題目：<math>x^4-3x^2-2x=0</math>
#<math>p=-3, q=-2, r=0</math> 則 <math>-2p=6, p^2-4r=9, q^2=4</math>
#<math>y_1,y_2,y_3</math> 為 <math>y^3+6y^2+9y+4=0</math> 的三根
#<math>\because (y+4)(y+1)(y+1)=0 \therefore y_1=-4, y_2=-1, y_3=-1 \therefore \sqrt{-y_1}=2, \sqrt{-y_2}=1, \sqrt{-y_3}=1</math>
#<math>\therefore</math>
#:<math>x_1=\frac{1}{2}(2+(1)+(1))=2</math>
#:<math>x_2=\frac{1}{2}(2-(1)-(1))=0</math>
#:<math>x_3=\frac{1}{2}(-2+(1)-(1))=-1</math>
#:<math>x_4=\frac{1}{2}(-2-(1)+(1))=-1</math>

===例題六===
題目：<math>x^4-7x^2-6x=0</math>
#<math>p=-7, q=-6, r=0</math> 則 <math>-2p=14, p^2-4r=49, q^2=36</math>
#<math>y_1,y_2,y_3</math> 為 <math>y^3+14y^2+49y+36=0</math> 的三根
#<math>\because (y+9)(y+4)(y+1)=0 \therefore y_1=-9, y_2=-4, y_3=-1 \therefore \sqrt{-y_1}=3, \sqrt{-y_2}=2, \sqrt{-y_3}=1</math>
#<math>\therefore</math>
#:<math>x_1=\frac{1}{2}(3+2+1)=3</math>
#:<math>x_2=\frac{1}{2}(3-2-1)=0</math>
#:<math>x_3=\frac{1}{2}(-3+2-1)=-1</math>
#:<math>x_4=\frac{1}{2}(-3-2+1)=-2</math>

===例題七===
題目：<math>x^4-1=0</math>
#<math>p=0, q=0, r=-1</math> 則 <math>-2p=0, p^2-4r=4, q^2=0</math>
#<math>y_1,y_2,y_3</math> 為 <math>y^3+4y=0</math> 的三根
#<math>\because (y)(y+2i)(y-2i)=0 \therefore y_1=0, y_2=-2i, y_3=2i \therefore \sqrt{-y_1}=0, \sqrt{-y_2}=1+i, \sqrt{-y_3}=1-i</math>
#<math>\therefore</math>
#:<math>x_1=\frac{1}{2}(0+(1+i)+(1-i))=1</math>
#:<math>x_2=\frac{1}{2}(0-(1+i)-(1-i))=-1</math>
#:<math>x_3=\frac{1}{2}(-0+(1+i)-(1-i))=i</math>
#:<math>x_4=\frac{1}{2}(-0-(1+i)+(1-i))=-i</math>

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