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==定义==
正如孪生素数是指差等于2的两个素数，三胞胎素数是指三个连续素数，使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上，除了最小的两组三胞胎素数：(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7)，其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外，三胞胎素数分为两类：

A类三胞胎素数，构成为<math>p,p+2,p+6</math>，相差2的两个孪生素数在前面，例如：(5，7，11)；(11，13，17)； (17，19，23)；等等。

B类三胞胎素数，构成为<math>p,p+4,p+6</math>，相差2的两个孪生素数在后面，例如：(7，11，13)；(13，17，19)；(37，41，43)；等等。

当素数p 大于3时，可以证明形同<math>p,p+2,p+4</math>的数组不可能是三胞胎素数[1]。事实上，这三个数对3的模两两不同，所以必然有一个能被3整除。然而这三个数都比3要大，因此一定有一个是3的倍数，从而这个数不是素数。


{{noteTA|T=zh:三胞胎素数;zh-cn:三胞胎素数;zh-tw:三胞胎質數;zh-hk:三胞胎質數;|1=zh:素数;zh-cn:素数;zh-tw:質數;zh-hk:質數;}}
在[[数论]]中，'''三胞胎素数'''（也称为'''三生素数'''）是一类由三个连续[[素数]]组成的数组。三胞胎素数的定义类似于[[孪生素数]]，它的名字也正是由此而来。
三胞胎素数猜想

有关孪生素数的一个著名猜想是：是否有无穷多个孪生素数？同样的，有关于三胞胎素数的类似猜想：是否有无穷个三胞胎素数？由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数，解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。

埃氏筛法并没有坐吃山空，反而源源不断释放出新的能量，以后我们还要讨论这些内容居然可以与图论--曲面染色建立一一对应的关系。就是用数论研究图论，或者用图论研究数论。与一笔画建立对应关系。
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在[[数论]]中，'''三胞胎素数'''（也称为'''三生素数'''）是一类由三个连续[[素数]]组成的数组。三胞胎素数的定义类似于[[孪生素数]]，它的名字也正是由此而来。

== 定义 ==

正如孪生素数是指差等于2的两个素数，三胞胎素数是指三个连续素数，使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上，除了最小的两组三胞胎素数：(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7)，其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外，三胞胎素数分为两类：
== 公式 ==
=== A类三胞胎素数 ===
为了具体地求一定范围内的A类三胞胎素数，可以利用一下的定理：“若自然数<math>A-2, A, A+4</math>都不能被不大于<math>\sqrt{A+4}</math>的任何素数整除，则<math>A-2, A</math>与<math>A+4</math>都是素数”。 这个定理的证明用到一个简单的事实：如果一个自然数<math>A</math>不能被不大于<math>\sqrt{A}</math>的任何素数整除，则<math>A</math>是素数。

考虑按照从小到大的顺序：2，3，5，……排列的前''k'' 个素数<math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>。解方程：
:<math>A=p_{1}m_{1}+g_{1}=p_{2}m_{2}+g_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+g_{k} \qquad \qquad \cdots \quad (1)</math>

其中<math>g_{i} \neq 0</math>，<math>g_{i} \neq 2</math>，<math>g_{i} \neq p_{i}-4</math>（保证<math>A-2, A, A+4</math>都不能被任一个素数整除），<math>1 \le g_{i} \le p_{i} - 1</math>。 
 
如果解出<math>A<p^{2}_{k+1}-4</math>，则<math>A-2,A</math>与<math>A+4</math>是一组三胞胎素数。 
  
我们可以把（1）式内容等价转换成为[[同余]]方程组表示： 
:<math>A \equiv g_1 \pmod{p_1}, \  A \equiv g_2 \pmod{p_2}, \  \cdots,\  A \equiv g_k \pmod{p_k} \qquad \qquad \cdots \quad (2)</math> 

由于（2）式的模<math>p_{1}</math>、<math>p_{2}</math>、……、<math>p_{k}</math> 是素数，两两互素，根据[[孙子定理]]（中国剩余定理）知，对于给定的<math>g_{1}, g_{2}, \cdots , g_{k}</math>，（2）式在<math>p_{1} p_{2} \cdots p_{k}</math>范围内有唯一解。

=== A类三胞胎素数的例子 ===

例如k=2时，<math>A=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>，解得<math>A=7, 13, 19</math>。这三个素数都满足<math>A<p^{2}_{k+1}-4</math>的条件：<math>7, 13, 19<5^2-4</math>，因此，这三个素数所对应的素数组：

:7-2，7与7+4；
:13-2，13与13+4；
:19-2，19与19+4
都是三胞胎素数组。

这样，就求得了区间<math>(5, 5^2)</math>中的全部A类三胞胎素数。 

又如当k=3时，设有方程组<math>A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3</math>，解得<math>A=13</math> 与<math>A=43</math>。其中出现一个新的素数43，而<math>43<7^2-4</math>。因此，43-2，43与43+4也是一组三胞胎素数。

又比如求解方程组<math>A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4</math>，解得<math>A=19</math>，也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。

由于余数不能是0、2或对应的素数减去4，可能的余数组合只有以上的两种，所以上面的计算已经求得了区间<math>(7,7^2)</math>的全部A类三胞胎素数。
{| class="wikitable"
|-
! k=4时 !! <math>7m_{4}+1</math> !! <math>7m_{4}+4</math> !! <math>7m_{4}+5</math> !! <math>7m_{4}+6</math>
|-
| <math>A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3</math> || 43 || 193 || 103 || 13
|-
|<math>A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4</math>  || 169 || 109 || 19 || 139
|}
已经得到区间<math>(11,11^2)</math>的全部A类三胞胎素数

=== B类三胞胎素数 ===
对于B类的三胞胎素数，也可以用类似的结论：“若自然数<math>B-4, B, B+2</math>都不能被不大于<math>\sqrt{B+2}</math>任何素数整除，则<math>B-4, B</math>与<math>B+2</math>都是素数”。这个结论的证明与上面的相同。

于是同样地，考虑按照从小到大的顺序：2，3，5，……排列的前''k'' 个素数<math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>。解方程：

:<math>B=p_{1}m_{1}+j_{1}=p_{2}m_{2}+j_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+j_{k}\qquad \qquad \cdots \quad (3) </math>  

其中<math>j_{i} \neq 0 </math>、<math>j_{i} \neq 4</math>、<math>j_{i} \neq p_{i} - 2 </math>。 

而如果<math>B<p^{2}_{k+1}-2</math>，则<math>B-4, B</math>与<math>B+2</math>是一组三胞胎素数。 

我们可以把（3）式内容等价转换成为同余方程组表示： 

:<math>B \equiv j_1 \pmod{p_1}, B \equiv j_2 \pmod{p_2}, \dots, B \equiv j_k \pmod{p_k} \qquad \qquad \cdots \quad  (4)</math>
  
同样地，由于（4）式中的模<math>p_{1}</math>、<math>p_{2}</math>、……、<math>p_{k}</math> 是素数，两两互素，根据[[孙子定理]]（中国剩余定理）知，对于给定的<math>j_{1}, j_{2}, \cdots , j_{k}</math>，（4）式在<math>p_{1} p_{2} \cdots p_{k}</math>范围内有唯一解。

=== B类三胞胎素数的例子 ===

例如k=2时，<math>B=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>，解得B=11，17。这两个素数都满足<math>B<p^{2}_{k+1}-2</math>的条件：<math>11, 17<5^2-2</math>，因此我们得到两组B类三胞胎素数：

:11-4，11与11+2；
:17-4，17与17+2；
这样，就求得了区间<math>(5, 5^2)</math>中的全部B类三胞胎素数。  

又比如当k=3时，解方程组<math>B=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+2</math>，解得B=11，41。这两个素数都满足<math>B<p^{2}_{k+1}-2</math>的条件：<math>11, 41<7^2-2</math>，因此我们得到一组新的B类三胞胎素数：
:41-4，41与41+2。

而解方程组<math>B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2</math>，得B=17，也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。

由于余数不能是0、4或对应的素数减去2，可能的余数组合只有以上的两种，所以上面的计算
已经求得了区间<math>(7, 7^2)</math>的全部B类三胞胎素数。 
{| class="wikitable"
|-
! k=4时 !! <math>7m_{4}+1</math> !! <math>7m_{4}+2</math>  !! <math>7m_{4}+3</math>  !! <math>7m_{4}+6</math> 
|-
| <math>B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1</math> || 71 || 191 || 101 || 41
|-
| <math>B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2</math> || 197 || 107 || 17 || 167
|}已经求得了区间<math>(11, 11^2)</math>的全部B类三胞胎素数。

仿此下去可以求得给定区域内的全部A类和B类全部三胞胎素数，并且一个不漏地求得。

== 三胞胎素数猜想 ==

有关孪生素数的一个著名猜想是：是否有无穷多个孪生素数？这个问题迄今尚未解决。同样的，有关于三胞胎素数的类似猜想：是否有无穷个三胞胎素数？由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数，解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。