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===公式===
sinα=y，cosα=x
:sin5α=16y<sup>5</sup>-20y<sup>3</sup>+5y
:cos5α=16x<sup>5</sup>-20x<sup>3</sup>+5x
===證明===
cos5α=cos(3α+2α)=cos3α×cos2α-sin3α×sin2α=(4x<sup>3</sup>-3x)(2x<sup>2</sup>-1)-(3y-4y<sup>3</sup>)(2xy)
:=8x<sup>5</sup>-4x<sup>3</sup>-6x<sup>3</sup>+3x-2x(3y<sup>2</sup>-4y<sup>4</sup>)=8x<sup>5</sup>-10x<sup>3</sup>+3x-2x[3(1-x<sup>2</sup>)-4(1-x<sup>2</sup>)<sup>2</sup>]
:=8x<sup>5</sup>-10x<sup>3</sup>+3x-2x[3-3x<sup>2</sup>-4(1-2x<sup>2</sup>+x<sup>4</sup>)]=8x<sup>5</sup>-10x<sup>3</sup>+3x-2x[-1+5x<sup>2</sup>-4x<sup>4</sup>]
:=8x<sup>5</sup>-10x<sup>3</sup>+3x+[2-10x<sup>3</sup>+8x<sup>5</sup>]=16x<sup>5</sup>-20x<sup>3</sup>+5x


sin5α=sin(3α+2α)=cos3α×sin2α+sin3α×cos2α=(4x<sup>3</sup>-3x)(2xy)+(3y-4y<sup>3</sup>)(1-2y<sup>2</sup>)
:=(4x<sup>2</sup>-3)(2x<sup>2</sup>y)+8y<sup>5</sup>-4y<sup>3</sup>-6y<sup>3</sup>+3y=[4(1-y<sup>2</sup>)-3]×2(1-y<sup>2</sup>)y+8y<sup>5</sup>-10y<sup>3</sup>+3y
:=[4-4y<sup>2</sup>-3](2y-2y<sup>3</sup>)+8y<sup>5</sup>-10y<sup>3</sup>+3y=[1-4y<sup>2</sup>](2y-2y<sup>3</sup>)+8y<sup>5</sup>-10y<sup>3</sup>+3y
:=8y<sup>5</sup>-10y<sup>3</sup>+2y+8y<sup>5</sup>-10y<sup>3</sup>+3y=16y<sup>5</sup>-20y<sup>3</sup>+5y

===求值===
令 sinα=y，cosα=x
====(一)五倍角之正弦、餘弦值等於一倍角====
x=16x<sup>5</sup>-20x<sup>3</sup>+5x

0=16x<sup>5</sup>-20x<sup>3</sup>+4x=4x(4x<sup>4</sup>-5x<sup>2</sup>+1)
:=4x(4x<sup>2</sup>-1)(x<sup>2</sup>-1)
:=4x(2x+1)(2x-1)(x+1)(x-1)
x=0,±½,±1，∴±90°,±60°,0°的cos5α=cosα

同理，<br/>
y=0,±½,±1，∴0°,±30°,±90°的sin5α=sinα
====(二)五倍角之正弦、餘弦值等於負一倍角====
-x=16x<sup>5</sup>-20x<sup>3</sup>+5x

0=16x<sup>5</sup>-20x<sup>3</sup>+6x=2x(8x<sup>4</sup>-10x<sup>2</sup>+3)
:=2x(4x<sup>2</sup>-3)(2x<sup>2</sup>-1)
:=2x(2x+√<span style='text-decoration:overline'>3</span>)(2x-√<span style='text-decoration:overline'>3</span>)(√<span style='text-decoration:overline'>2</span>x+1)(√<span style='text-decoration:overline'>2</span>x-1)
x=0,±√<span style='text-decoration:overline'>3</span>/2,±√<span style='text-decoration:overline'>2</span>/2，∴±90°,±30°,±45°的cos5α=-cosα

同理，<br/>
y=0,±√<span style='text-decoration:overline'>3</span>/2,±√<span style='text-decoration:overline'>2</span>/2，∴0°,±60°,±45°的sin5α=-sinα

====(三)五倍角之正弦、餘弦值等於 1====
1=16x<sup>5</sup>-20x<sup>3</sup>+5x

0=16x<sup>5</sup>-20x<sup>3</sup>+5x-1=(x-1)(16x<sup>4</sup>+16x<sup>3</sup>-4x<sup>2</sup>-4x+1)
:=(4x<sup>2</sup>+2x-1)<sup>2</sup>(x-1)
x=1,<math>\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}</math>，∵0°,72°,144°的cos5α=1∴cos72°=<math>\frac{-1+\sqrt{5}}{4}</math>，cos144°=<math>\frac{-1-\sqrt{5}}{4}</math><br/>
∴sin18°=cos72°=<math>\frac{-1+\sqrt{5}}{4}</math>，sin54°=cos36°=-cos144°=<math>\frac{1+\sqrt{5}}{4}</math><br/>
∴sin36°=cos54°=√<span style='text-decoration:overline'>1-sin<sup>2</sup>54°</span>=<math>\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}</math><br/>
∴sin72°=cos18°=√<span style='text-decoration:overline'>1-sin<sup>2</sup>18°</span>=<math>\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}</math>

同理，<br/>
1=16y<sup>5</sup>-20y<sup>3</sup>+5y<br/>
y=1,<math>\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}</math>，∵90°,18°,-54°的sin5α=1∴sin18°=<math>\frac{-1+\sqrt{5}}{4}</math>，sin-54°=<math>\frac{-1-\sqrt{5}}{4}</math><br/>
∴sin18°=cos72°=<math>\frac{-1+\sqrt{5}}{4}</math>，sin54°=-sin-54°=<math>\frac{1+\sqrt{5}}{4}</math>

====(四)五倍角之正弦、餘弦值等於 0====
0=16x<sup>5</sup>-20x<sup>3</sup>+5x=x(16x<sup>4</sup>-20x<sup>2</sup>+5)<br/>
x<sup>2</sup>=<math>\frac{5\pm\sqrt{5}}{8}</math>=>x=<math>\pm\sqrt{\frac{5\pm\sqrt{5}}{8}}</math><br/>
∵90°,18°,54°,126°,162°的cos5α=0，<br/>
∴cos18°=<math>\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}</math>、cos162°=<math>-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}</math>、cos54°=<math>\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}</math>、cos126°=<math>-\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}</math>

同理，<br/>
0=16y<sup>5</sup>-20y<sup>3</sup>+5y=y(16y<sup>4</sup>-20y<sup>2</sup>+5)<br/>
y<sup>2</sup>=<math>\frac{5\pm\sqrt{5}}{8}</math>=>y=<math>\pm\sqrt{\frac{5\pm\sqrt{5}}{8}}</math><br/>
∵0°,±36°,±72°的sin5α=0，<br/>
∴sin72°=<math>\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}</math>、sin-72°=<math>-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}</math>、sin36°=<math>\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}</math>、sin-36°=<math>-\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}</math>