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==不等式==

===不等式的概念===

====实数大小的比较====

我们知道，对于两个确定的实数 <math> a </math> 与 <math> b </math> 之间，总存在，并且只存在下列数量关系的一种：

#<math> a </math> 大于 <math> b </math> ，记作 <math> a>b </math>；
#<math> a </math> 小于 <math> b </math> ，记作 <math> a<b </math>；
#<math> a </math> 等于 <math> b </math> ，记作 <math> a=b </math>。

我们还知道，要比较两个实数 <math> a </math> 与 <math> b </math> 的大小，只要考察它们的差就可以了，即：

如果 <math> a-b </math> 是正数，那么 <math> a>b </math>，如果 <math> a-b </math> 是负数，那么 <math> a<b </math>，如果 <math> a-b </math> 差为零，那么 <math> a=b </math>；

反过来，如果 <math> a>b </math>，那么 <math> a-b </math> 是正数，如果 <math> a<b </math> 那么 <math> a-b </math> 是负数，如果 <math> a=b </math>，那么 <math> a-b </math> 差为零。

用式子来表示，就是：

设 <math> a </math>、<math> b </math> 为两实数，

如果
<math>
a-b =
\begin{cases} 
>0,\\
<0,\\
=0,
\end{cases}
</math>
那么
<math>
a =
\begin{cases} 
>b,\\
<b,\\
=b;
\end{cases}
</math>

反过来，如果
<math>
a =
\begin{cases} 
>b,\\
<b,\\
=b,
\end{cases}
</math>
那么
<math>
a-b =
\begin{cases} 
>0,\\
<0,\\
=0.
\end{cases}
</math>

在上面所讲的式子里， <math> a>b </math> 和 <math> a<b </math> 这两个式子是用不等号“<math> > </math>”和“<math> < </math>”把两个实数 <math> a </math> 和 <math> b </math> 联结起来构成的，它们都叫做'''不等式'''； <math> a=b </math> 是用等号“<math> = </math>”把两个实数联结起来构成的，叫做'''等式'''。

此外，还有关系符号“<math> \leqslant </math>”''（读作'''大于或等于'''）''和“<math> \geqslant </math>”''（读作'''小于或等于'''）''。顾名思义。对于实数 <math> a </math> 和 <math> b </math> ， <math> a \geqslant b </math> 表示 <math> a>b </math> 或  <math> a=b </math> ， <math> a \leqslant b </math> 表示 <math> a<b </math> 或  <math> a=b </math>。这也是不等式。为了区别，我们把用关系符“<math> > </math>”和“<math> < </math>”联结而成的不等式叫做'''严格不等式'''，而用“ <math> \leqslant </math> ”和“<math> \geqslant </math>”联结而成的不等式叫做'''非严格不等式'''。

====代数式的值的大小比较====
有时候，我们也要比较两个代数式值的大小。这时，可以根据一个代数式的值大 于、小于、或者等于另一个代数式的值，而分别用符号“<math> > </math>”、“<math> < </math>”、“<math> \geqslant </math>”、“<math> \leqslant </math>”、“<math> = </math>”把它们联结起来。在前四种情况下，就组成了不等式，在最后一种情况下，就构成了等式。例如

<center><math> 3+2 > 4 </math> ， <math> a+1 < a+2 </math> ， <math> x^2 \leqslant 0 </math></center>

等等都是不等式；

<center><math> 3+2 = 5 </math> ， <math> (a+1)^2 = a^2+2a+1 </math></center>

等等都是等式。

因为单独用一个字母或数字所表示的数，也可以看做是代数式，所以我们说：

用不等号“<math> > </math>”、“<math> < </math>”、“<math> \geqslant </math>”、“<math> \leqslant </math>”、“<math> \ne </math>” 把两个代数式联结起来所成的式子叫做'''不等式'''；用等号“<math> = </math>”把两个代数式联结起来所成的式子叫做'''等式'''。

像比较两个实数的大小一样，比较两个代数式值的大小，也只要考察它们的差就可以了。