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'''多项式公比求和'''，[[多项式]]<math>p(k)</math>乘上[[等比数列]]<math>q^{k-1}</math>的求和，即<math>\sum_{k=1}^n p(k)q^{k-1}</math>

[[公比]]q等于1时就只是[[多项式求和]]。

==特殊情况==
当<math>p(k)=1</math>时，是[[等比数列]]求和：<math>\displaystyle \sum_{k=1}^n q^{k-1}=\frac{q^n-1}{q-1}</math>

当多项式<math>p(k)</math>为[[等差数列]]时，即一次多项式时，是[[差比数列]]求和：<math>\displaystyle \sum_{k=1}^n [a+(k-1)d]r^{k-1}=[\frac{a+(n-1)d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}]r^n-[\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}]</math>

==求和方法==
===错位相减法===
{{Wikibooks|代數/本書課文/求和/錯位相減法|錯位相減法}}

设<math>S_n=\sum_{k=1}^n p(k)q^{k-1}</math>，乘上公比得到<math>qS_n=\sum_{k=1}^n p(k)q^{k}</math>

<math>(1-q)S_n =\sum_{k=1}^n p(k)q^{k-1}-\sum_{k=1}^n p(k)q^{k}</math>

每一次错位相减会对多项式进行一次[[差分]]，一个m阶多项式进行差分后是m-1阶多项式，所以可以在有限步内用错位相减法求出多项式公比求和。<ref>{{cite journal|author=江凤莲|year=2001|title=利用“错位相减法”解数列问题|journal=龙岩师专学报|issue=S1|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-LYSX2001S1067.htm}}</ref>

===逐项求导===
{{Wikibooks|代數/本書課文/求和/逐項求導法|逐項求導法}}
设<math>\displaystyle S(n,m)=\sum_{k=1}^n k^m q^{k-1},S(n,0)=\frac{q^n-1}{q-1}</math>

两边对q求导：<math>\displaystyle \frac{d[qS(n,m)]}{dq}=\sum_{k=1}^n k^{m+1} q^{k-1}=S(n,m+1)</math>

由此可以递推出m阶多项式的多项式公比求和。<ref>{{cite journal|author=李曰玮 刘瑞楼|year=2012|title=一类特殊多项式的求和问题|journal=高等数学研究|issue=1|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-XUSJ201201025.htm}}</ref>

===裂项法===
{{Wikibooks|代數/本書課文/求和/裂項法|裂項法}}
对数列做裂项：<math>p(k)q^{k-1}=f(k)q^k-f(k-1)q^{k-1}</math>

其中若<math>p(k)</math>是m阶多项式，则<math>f(k)</math>是m阶多项式，<math>f(k)</math>用待定系数法求出来。<ref>{{cite journal|author=郑良|year=2012|title=差比型数列前n项和的求解方法——裂项法|journal=中学生数学|issue=3|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-ZXSS201203012.htm}}</ref>

===差分算子公式===
<math>\displaystyle\sum_{k=1}^n p(k)q^{k-1}=f(n)q^n-f(0),f(n)=\frac{p(n)}{q-1}+\frac{1}{(q-1)^2}\sum_{k=1}^m \frac{(-1)^kq^{k-1}}{(q-1)^{k-1}}\Delta^k(p(n))=\frac{1}{q-1}\sum_{k=0}^m (\frac{-q}{q-1})^k\Delta^k p(n+1)</math><ref>{{cite journal|author=黄嘉威|year=2016|title=方幂和及其推广和式|journal=数学学习与研究|issue=7|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-SXYG201607113.htm}}</ref>
:其中<math>\Delta p(n)=p(n+1)-p(n),m=deg(p(k))</math>
{{Wikibooks|代數/本書課文/求和/差分算子求逆法|差分算子求逆法}}
==无穷级数==
[[级数]]<math>\sum_{k=1}^\infty p(k)q^{k-1}</math>在<math>|q|<1</math>时是收敛的。
===多重对数函数===
{{main|多重对数函数}}

<math>\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.</math>

所以这个级数可以表达成多重对数函数：<math>\sum_{k=1}^\infty {k^m z^k}=\operatorname{Li}_{-m}(z)</math>
===等比级数===
{{main|等比级数}}
<math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots</math>

两边逐项求导，得到：<math> \sum^{\infty}_{n=1}n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}\quad,|x| < 1.</math>

求m次导，得到：<math> \sum^{\infty}_{n=1}C_n^m x^{n-m}=\frac{m!}{(1-x)^{m+1}}\quad,|x| < 1.</math>

==参考资料==
{{reflist}}

[[分类:求和法]]
[[分类:初等数学]]
[[分类:级数]]