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[[分類:數學]]
[[分類:物理學]]
==概述==
[[File:Graph of acceleration of positive zero negative.jpg|right|400px|位移-時間圖]]
三個質點從坐標原點以相同的速度出發，由於分別擁有正、零、負的加速度而導致其位置和關於時間的曲線。原公式分別為：
#綠線:s(t)=t<sup>2</sup>+t，加速度 a 與初速同方向，時間越往後，每單位時間所進行的位移越大。
#藍線:s(t)=t，加速度 a 為 0 ，任可時間其每單位時間的位移皆不變，即速度皆不變。
#紅線:s(t)=-0.13*t<sup>2</sup>+t，加速度 a 與初速相反方向，加速度會逐漸抵消掉初速，直到速度為 0 ，然後加速度會使質點的運動回頭，時間越往後回頭的速度越快，每單位時間「負向」位移越大。
藍線的幾何圖形是直線，綠線和紅線的幾何圖形是拋物線。綠線的最高次項係數為正值，所以右側向上；紅線的最高次項係數為負值，所以右側向下。
===定義===
[[File:Acceleration difference.svg|right|300px|thumb|加入方向考慮之後，如何從一段運動軌跡得到加速度。]]
#位移：物體位置的變化，包含零位移。
#速度：物體在單位時間內的位移。'''即位移對時間的微分'''。速度包含大小和方向兩個元素。其中「大小」叫做「速率」。但速度與「位置」無關，等速運動中，不管位置在哪裡，其速度不變，都是同一個值，因為其大小和方向皆相同。
#加速度：物體在單位時間內速度的變化。'''即速度對時間的微分'''。加速度也包含大小和方向兩個元素，也與位置無關。
右圖中綠線是運動的軌跡，藍線及箭頭(S<sub>1</sub>、S<sub>2</sub>、S<sub>3</sub>…)代表每單位時間位移的向量。由小圖中可以看到 v<sub>1</sub>=S<sub>1</sub>/Δt , v<sub>2</sub>=S<sub>2</sub>/Δt ，而加速度 a<sub>1</sub>=v<sub>2</sub>-v<sub>1</sub>/Δt 。

'''位移、速度與加速度是用來解釋微積分極好的工具'''，因為：
<table><tr>
<th>[[File:位移速度加速度之微積分關係.svg]]</th>
<td>
#三者在微積分上階層簡明：位移的微分得到速度，速度的微分得到加速度；而加速度的積分得到速度變化量，速度的積分得到位移。
#三者用多項式就能表達。
</td></tr></table>

===圓周運動===
[[File:Circular motion velocity and acceleration zhtw.svg|240px|thumb|圖一:圓周運動切線速度與向心加速度示意圖]]
右圖紅色向量代表切線速度，不同瞬間，速率相等，速度不等(方向不同)。

藍色向量代表向心加速度，不同瞬間，加速度大小相等但方向不等。

注意，右圖中藍色向量的向心加速度標示過大，需要修改，真正的大小以圖二較為準確。

'''a,v,r 之間的大小關係'''
[[File:Centripetal_acceleration.JPG|thumb|300px|圖二:圓周運動 a,v,r 關係圖]]
#<math>a=\frac{v_2-v_1}{\Delta{t}}=\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}</math>，必須與<math>r_1</math>平行且是<math>r_1</math>順時鐘轉180度
#<math>v=\frac{r_2-r_1}{\Delta{t}}=\frac{\Delta{r}}{\Delta{t}}</math>
#求出 <math>a=\frac{v^2}{r}</math> 或 <math>ar=v^2</math>
證明：
:圖二中右方與左方三角形相似 <math>\frac{\Delta{v}}{v}=\frac{\Delta{r}}{r}</math> =>
:兩邊分母同乘 <math>\Delta{t}\quad\frac{\Delta{v}}{v*\Delta{t}}=\frac{\Delta{r}}{r*\Delta{t}}</math> =>
:<math>\frac{1}{v}*\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}=\frac{1}{r}*\frac{\Delta{r}}{\Delta{t}}</math> =>
:<math>\frac{1}{v}*a=\frac{1}{r}*v</math> =>
:<math>a=\frac{v^2}{r}</math>


'''圓周運動的動力過程'''
<table class=nicetable>
<tr><th>[[File:Circular motion 01.svg|100px]]</th><td>有一個速度向量使運動軌跡直線前進</td></tr>
<tr><th>[[File:Circular motion 02.svg|100px]]</th><td>加上與其垂直的加速度向量，因為加速度與原速度方向垂直，所以無法增加或抵消原速度的大小，只能改變其方向</td></tr>
<tr><th>[[File:Circular motion 03.svg|200px]]</th><td>加速度將軌跡拉彎</td></tr>
<tr><th>[[File:Circular motion 04.svg|Circular motion 04.svg|250px]]</th><td>反覆上述的過程將得到一個圓周運動的軌跡</td></tr>
</table>
===速度相加===
A 在月台，看 B 在列車上，站在 A 的觀點：列車及 B 以速度 u 對他進行等速相對運動； B 在車上射出一發子彈(或光束)，此子彈(或光束)對 B 的相對速度為 v ，則此子彈(或光束)對 A 的相對速度為<math>\frac{u+v}{1+\frac{u\times v}{c^2}}</math>或<math>\frac{u+v}{1+\frac{u}{c}\times\frac{v}{c}}</math>，此公式特性如下：
#當 v 為 c 時，相加後的速度為 c 。也就是光束的速度不管從 A 或 B 的觀點來看都是 c 。
#速度相加後永遠小於等於 c 。
#當 u 、 v 都比 c 小很多時，相加後的速度趨近於 u+v 。
===加速度與位移的關係===
[[算术#公式|復習乘法公式]]

證明：<math>a</math>為常數，當位移-時間關係為<math>s=\frac{1}{2}at^2</math>時，速度為<math>at</math>(此時稱為等加速度運動)
[[File:Displacement time diagram of acceleration.svg|right|300px]]

<math>s</math>代表不同時間物體的位置，和時間有以下關係：<math>s=\frac{1}{2}at^2</math>即
#<math>s(t)=\frac{1}{2}at^2</math>
#稍早時間<math>t</math>的位置為<math>s_1=\frac{1}{2}at^2</math>
#稍晚時間<math>t+\Delta t</math>的位置為<math>s_2=\frac{1}{2}a(t+\Delta t)^2</math>
#在經過很短時間<math>\Delta t</math>的位置改變為<math>\Delta s=s_2-s_1</math>
#<math>v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s_2-s_1}{\Delta t}=\frac{\frac{1}{2}a(t+\Delta t)^2-\frac{1}{2}at^2}{\Delta t}=\frac{\frac{1}{2}a(t^2+2t\Delta t+\Delta t^2)-\frac{1}{2}at^2}{\Delta t}</math>
#:<math>=\frac{\frac{1}{2}a(2t\Delta t+\Delta t^2)}{\Delta t}=\frac{at\Delta t+\frac{1}{2}a(\Delta t)^2}{\Delta t}=\frac{at\Delta t}{\Delta t}+\frac{\frac{1}{2}a(\Delta t)(\Delta t)}{\Delta t}=at+\frac{1}{2}a\Delta t</math>
#:<math>\because\frac{1}{2}a\Delta t\to 0\therefore v=at</math>

===切線斜率、微分、導數===
設<math>y=f(x)</math>，則函式<math>f</math>在<math>a</math>點切線斜率、微分、導數、<math>f'(a)</math>、<math>\frac{dy}{dx}</math>、<math>\frac{df(x)}{dx}</math>、(<math>\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}</math>)、<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}</math> 都代表同一個意思。

==純量考量==
同理，在只考純量的情形下：<br/>
設<math>s=f(t)</math>，則<math>v=f'(t)</math>而<math>a=f''(t)</math>

===位移、速度與加速度的階層關係===
f(x)， x 軸上有 a,b 兩點對應的函數值為 f(a) 與 f(b) ，f'(a) ~ f'(b) 函式曲線與 x 軸所夾面積，恰為 f(a) 與 f(b) 值的差；<nowiki>f''(a) ~ f''(b) </nowiki>函式曲線與 x 軸所夾面積，恰為 f'(a) 與 f'(b) 值的差。

此關係是直接來自微積分的基本定義，所以對所有的微積分函式都成立。

===第一個練習：等速運動===
問題：等速運動，速度為2m/s，請作 1~10秒 的：
#位移-時間圖、表
#速度-時間圖、表
#加速度-時間圖、表
答：
將x軸設為時間
#位移-時間：位移y=2x
#速度-時間：速度y=2
#加速度-時間：加速度y=0
[http://jendo.org/SVG/polynomialEquationIn.php 畫圖]
#x,y每單位取 30 點，每一單位畫一刻度：
#*原點距左上角：0,400
#*0~11 切 11 段

===第二個練習：初速度為0，等加速度===
問題：等加速度運動，初速度為 0 ，加速度為 0.2m/s<sup>2</sup>，請作 1~5秒 的：
#位移-時間圖、表
#速度-時間圖、表
#加速度-時間圖、表
答：
將x軸設為時間
#位移-時間：位移y=½(0.2)x<sup>2</sup>=0.1*x<sup>2</sup>
#速度-時間：速度y=(0.2)x=0.2*x
#加速度-時間：加速度y=0.2
[http://jendo.org/SVG/polynomialEquationIn.php 畫圖]
#x,y每單位取 100 點，每一單位畫一刻度：
#原點距左上角：0,400
#0~6 切 6 段

===第三個練習：速度與加速度同向===
問題：等加速度運動，初速度為 1 ，加速度為 0.2m/s<sup>2</sup>，請作 1~5秒 的：
#位移-時間圖、表
#速度-時間圖、表
#加速度-時間圖、表
答：
將x軸設為時間
#位移-時間：位移y=½(0.2)x<sup>2</sup>+x=0.1*x<sup>2</sup>+x
#速度-時間：速度y=(0.2)x+1=0.2*x+1
#加速度-時間：加速度y=0.2
[http://jendo.org/SVG/polynomialEquationIn.php 畫圖]
#x,y每單位取 100 點，每 0.1 單位畫一刻度：
#原點距左上角：0,400
#0~6 切 6 段

===第四個練習：速度與加速度反向===
問題：等加速度運動，初速度為 1 ，加速度為 -0.2m/s<sup>2</sup>，請作 1~10秒 的：
#位移-時間圖、表
#速度-時間圖、表
#加速度-時間圖、表
答：將x軸設為時間
#位移-時間：位移y=½(-0.2)x<sup>2</sup>+x=-0.1*x<sup>2</sup>+x
#速度-時間：速度y=(-0.2)x+1=-0.2*x+1
#加速度-時間：加速度y=-0.2
[http://jendo.org/SVG/polynomialEquationIn.php 畫圖]
#x,y每單位取 100 點，每 0.1 單位畫一刻度
#原點距左上角：0,400
#各點之x值：始於0，終於11，切11段

==向量考量==