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'''分數'''是指「有分子有分母的數」，本質是是乘法與除法的綜合，定義為：「除以分母，乘以分子」。就是均分為分母等份，取其分字等份。

==漫談分數==

分數的分字，含有分開、部份的意思。而拉丁文中，分數源自frangere這字，意思是打破、斷裂。

公元前1900年，巴比倫人就利用分母是60的分數來記錄數量。古埃及人也利用分數來記數，但當時記數的分數只是個符號。

其實早於商周年代，中國人已經懂得應用分數的概念，秦始皇統一中國後，擬出一年有三百六十五又四分之一天。《九章算術》是中國古代的數學理論名著，內容已提及到分數，並採用分子、分母、約分等數學名詞，我們至今仍有沿用。

在歐洲，把分數看作是兩個整數相除的商，以及分子可以大於分母數目的概念，要到16世紀才發展出來，與中國相較，遲了接近一千年。

==分數的認識==

===== 分數的意義 =====

計算分數時，商不一定是整數，在這種情況下，就要把一個單位平均分成若干分，以其中的一份或數份來表示所得的結果，這樣便產生了分數。

換句話說，分數就是把單位1平均分成若干等分後，其中1份或數份的數目。一個蛋糕平均分成3份，其中一份的數目便是<math> \frac{1}{3}</math>。一件薄餅平均分成5份，取去3份，就是取去<math> \frac{3}{5}</math>件薄餅。

== 分數加減法 ==
分數相加，要先通分母，分線下之數字。較易之法，為把兩個分母相乘，然後各分子亦要乘回其分母所乘之數。

例如︰

<math> \frac{1}{3} + \frac{1}{4}</math>

分母相乘以後，再通其分子，得以下數式

<math> = \frac{1{\color{red}\times4}}{3{\color{red}\times4}} + \frac{1{\color{red}\times3}}{4{\color{red}\times3}}</math>

<math> = \frac{4}{12} + \frac{3}{12}</math>

分子相加後得取結果

<math> = \frac{4 + 3}{12}</math>

<math> = \frac{7}{12}</math>

減法亦類似於加法，亦要先通分母。再以前者分子減去後者，得一分數，可嘗試分子分母相約以取最簡單分數。

例如︰

<math> \frac{3}{4} - \frac{5}{48}</math>

<math> = \frac{3{\color{red}\times12}}{4{\color{red}\times12}} - \frac{5}{48}</math>

<math> = \frac{36}{48} - \frac{5}{48}</math>

<math> = \frac{36-5}{48}</math>

<math> = \frac{31}{48} </math>

== 分子乘除 ==
分數相乘，分子分母各自相乘，再試約簡，即為答案。

<math> \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}</math>

<math> = \frac{1\times1}{3\times4}</math>

<math> = \frac{1}{12}</math>

而除法，則需把後者上下顛倒，約簡後相乘即可。

<math> \frac{1}{6} \div \frac{1}{8}</math>

<math> = \frac{1}{6} \times \frac{8}{1}</math>

<math> = \frac{1\times8}{6\times1}</math>

<math> = \frac{8/2}{6/2}</math>

<math> = \frac{4}{3}</math>

可寫作帶分數。

<math> = 1 \frac{1}{3}</math>

== 分數四則運算 ==

*<math>(25 - \frac{11}{36} \times 25) +  (11 - \frac{11}{36} \times 11)</math>

<math> = (25+11)- (\frac{11*25}{36} + \frac{11*11}{36})</math> , (<math> 25+11=36</math>)

<math> = 36- (\frac{11}{36} (25+11))</math>

<math> = 36-11=25</math>

*<math> (\frac{1}{2 - \frac{11}{18}} - \frac{11}{50})(\frac{36}{11}-1) </math>

<math> =(\frac{1}{\frac{36-11}{18}} - \frac{11}{50}) \times \frac{36-11}{11}</math>

<math> =(\frac{18}{36-11} - \frac{11}{50}) \times \frac{36-11}{11}</math> 

<math> =\frac{36-11}{50} 
\times \frac{36-11}{11} </math>,(<math> 36-11=25</math>)
 
<math>=\frac{25}{50} \times \frac{25}{11} =\frac{25}{22}= 1\frac{3}{22}  </math>

==圖解==
===乘除的意思===
*乘是「多倍」，5×3或3×5&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[File:Commutative Multiplication.svg|300px]]
*除是「均分」，15÷3為15均分為三份，每份為5&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<table style='border:none'><tr><th style='border:none'><table class=wikitable><tr><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th></tr><tr><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th></tr><tr><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th></tr></table></th><th style='border:none;width:10%;'>÷3＝</th><th style='border:none'><table class=wikitable><tr><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th></tr></table><table class=wikitable><tr><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th></tr></table><table class=wikitable><tr><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th></tr></table></th><th style='border:none;width:10%;'>÷3＝</th><th><table class=wikitable><tr><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th><th style='width:10pt;height:10pt'></th></tr></table></th></tr></table>

===分數的意思===
「除以分母，乘以分子」。就是均分為分母等份，取其分字等份。
<br/>[[File:Pie chart example 01.svg|x100px]]
<br/>[[File:Fraction3 4.svg|x100px]]

===擴分與約分===
分子分母同乘以兩倍，分數大小不變。分子分母同乘以 3,4,5,6,7,8,9… 倍，分數大小還是不變。
<br/>同理，分子分母同除以兩倍，分數大小不變。分子分母同除以 3,4,5,6,7,8,9… 倍，分數大小還是不變。

<br/>[[File:Pie chart example 02.svg|x100px]]
<br/>[[File:Fraction2 3.svg|x100px]]
<br/>[[File:Fraction6 9.svg|x100px]]

===假分數===
[[File:Fraction7 3.svg|x100px]]
===帶分數===
[[File:Pie chart example 04.svg|x100px]]

===分數相加(同分母)===
[[File:Pie chart example 05.svg|x100px]]
<br/>[[File:Suma fracciones.jpg|x100px]]
===分數相減(同分母)===
[[File:Fraction diff.svg|x100px]]

===分數相加(不同分母須通分)===
[[File:Pie chart example 06.svg|x100px]]
<br/>[[File:Fraction sum3.svg|x100px]]

===整數乘以分數===
整數乘以分子
<br/><math>3\times\frac{1}{4}=\frac{3}{4}</math>
<br/>[[File:Pie chart example 07.svg|x100px]]
===分數除以整數===
整數乘以分母
<br/><math>\frac{3}{4}\div3=\frac{1}{4}</math>
<br/>[[File:Pie chart example 09.svg|x100px]]
===分數乘以分數===
分子乘以分子，分母乘以分母
<br/><math>\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{4}{12}\times\frac{3}{4}=\frac{4}{12}</math>分成四份取其三份<math>=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}</math>
<br/>[[File:Pie chart example 08.svg|x100px]]

===倒數1===
<math>a\times\frac{1}{a}=1</math>
<br/><math>2\times\frac{1}{2}=1</math>[[File:PieChartFractionHalvesSplit.svg|x100px]]=[[File:PieChartFractionHalves.svg|x100px]]
<br/><math>3\times\frac{1}{3}=1</math>[[File:PieChartFractionThirdsSplit.svg|x100px]]=[[File:PieChartFractionThirds.svg|x100px]]
<br/><math>4\times\frac{1}{4}=1</math>[[File:PieChartFractionFourthsSplit.svg|x100px]]=[[File:PieChartFractionFourths.svg|x100px]]
<br/>[[File:Equal_Fractions_123.svg|x100px]]
===倒數2===
<math>\frac{b}{a}\times\frac{a}{b}=1</math>
===除以分數等於乘以其倒數===
<math>\frac{b}{a}\div\frac{d}{c}=(\frac{b}{a}\times1\div\frac{d}{c})=\frac{b}{a}\times(\frac{d}{c}\times\frac{c}{d})\div\frac{d}{c}=\frac{b}{a}\times\frac{c}{d}\times(\frac{d}{c}\div\frac{d}{c})=\frac{b}{a}\times\frac{c}{d}\times1=\frac{b}{a}\times\frac{c}{d}</math>

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