查看“︁初中數學（香港課程）/恆等式與公式/1”︁的源代码

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考慮下列方程
# <math>x-1=x+2</math>
# <math>3(h+9)=3h+27</math>
-----
# 嘗試解方程1和2
方程1和2能否被解？
# 部分方程未必能解，用下列的表試值：<

<ref>
{| class="wikitable"
! <math>x</math> !! <math>x-1</math> !! <math>x+2</math> !! <math>x-1=x+2</math>成立？
|-
| -3 || || || 
|-
| -2 || || || 
|-
| -1 || || || 
|-
| 0 || || || 
|-
| 1 || || || 
|-
| 2 || || || 
|-
| 3 || || || 

|}

{| class="wikitable"
! <math>h</math> !! <math>3(h+9)</math> !! <math>3h+27</math> !! <math>3(h+9)=3h+27</math>成立？
|-
| -3 || || || 
|-
| -2 || || || 
|-
| -1 || || || 
|-
| 0 || || || 
|-
| 1 || || || 
|-
| 2 || || || 
|-
| 3 || || || 

|}</ref>
}}


方程式可以沒有解或有無限多解，並不一定只有唯一一個解

有無限多解的方程為恆等式，可以用「<math>\equiv</math>」取代恆等式的等號

=== 證明 ===
當方程的左邊和右邊為相同的代數式，顯然為恆等式。

通過展開和化簡兩邊的代數式，可證明恆等式

{{MathHKQA|1=1
|2=證明下列恆等式
# <math>8(y-1)+6y\equiv 2(7y+4)</math>
# <math>\frac{n+4}{5}+\frac{3n-2}{9}\equiv \frac{24n+26}{45}</math>
|sol=
# <math>\begin{align}
\text{L.H.S.}&=8(y-1)+6y & \text{R.H.S.}&=2(7y-4)\\
&=8y-8+6y & &=14y-8\\
&=14y-8
\end{align}</math>

<math>\because \text{L.H.S.}=\text{R.H.S.}</math>

<math>\therefore</math> 這個是恆等式

# <math>\begin{align}
\text{L.H.S.}&=\frac{n+4}{5}+\frac{3n-2}{9}\\
&=\frac{9(n+4)}{45}+\frac{5(3n-2)}{9}\\
&=\frac{9n+36+15n-10}{45}
&=\frac{24n+26}{45}=\text{R.H.S.}
\end{align}</math>

<math>\because \text{L.H.S.}=\text{R.H.S.}</math>

<math>\therefore</math> 這個是恆等式

}}

{{MathHKQA|1=2
|2=判斷<math>(p+9)(7p-6)=7p(p-5)+3(p+18)</math>是否恆等式
|sol=<math>\begin{align}
\text{L.H.S.}&=(p+9)(7p-6) & \text{R.H.S.}&=7p(p+9)-6(p-3)\\
&=7p^2-6p+63p-54 & &=7p^2+63p-6p-18\\
&=7p^2+57p-54 & 7p^2+57p-18
\end{align}</math>

<math>\because \text{L.H.S.}\neq\text{R.H.S.}</math>

<math>\therefore</math>不是恆等式}}

=== 求常數 ===
利用含未知常數的恆等式，可通過比較兩邊的同類項，得出未知常數的值

{{MathHKQA|1=3
|2=
給予<math>6(q-5)+A\equiv Bq+8</math>，求常數<math>A</math>和<math>B</math>
|sol= <math>\text{L.H.S.}=6(q-5)+A=6q-30+A</math>

<math>\therefore 6q-30+A\equiv Bq+8</math>

<math>\begin{align}
B=6 && -30+A&=8\\
&& A&=38
\end{align}</math>
}}
{{MathHKQA|1=4
|2=給予<math>(Az-9)(5z+B)\equiv 10z(z-7)+C</math>，求常數<math>A</math>、<math>B</math>和<math>C</math>
|sol= 
<math>\begin{align}
\text{L.H.S.}&=(Az-9)(5z+B) & \text{R.H.S.}&=7z(z-4)+C\\
&=5Az^2+ABz-40z-9Bz & &=10z^2-40+C
\end{align}</math>

<math>\therefore 5Az+ABz-40z-9Bz\equiv 10z^2-70z+C</math>

<math>\begin{align}
5A&=10 & 2B-40&=-70 & C&=-9\cdot 15\\
A&=2 & 2B&=30 & C&=-135\\
&& B&=15
\end{align}</math>
}}