查看“︁初等代數/複數”︁的源代码

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{{Wikipedia|複數 (數學)}}

複數可定義為兩實數<math>\left. a,b\right.</math>的序對，其中此序對滿足以下規律：
*<math>\left. (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\right.</math>
*<math>\left. (a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad)\right.</math>

一般複數採用符號i，通常定義<math>i = \sqrt{-1}</math>，或<math>\left. i^2 = -1\right.</math>，而由此定義出發所構成的數<math>\left. a + ib\right.</math>亦滿足以上所定義的序對的規律

複數數域採用符號<math>\mathbb{C}</math>
== 複數的性質 ==
對於複數<math>\left. u,v,w,\right.</math>有以下的性質：
*加法交換律<math>\left. u + v = v + u\right.</math>
*加法結合律<math>\left.(u + v)+ w = u + (v + w)\right.</math>
*乘法交換律<math>\left.uv = vu\right.</math>
*乘法結合律：<math>\left. u(vw) = (uv)w\right.</math>
*分配律：<math>\left. (u + v)w = uw + vw \right.</math>；<math>\left. u(v + w)= uv + uw\right.</math>

'''注意：不能比對兩個複數的大小，因為大小關係是定義在實數之上的一種關係，也因此複數沒有正負之分。'''

== 棣美弗定理 ==
對於任意複數z，可表為<math>z=\left| z\right| (\cos x + i \sin x)</math>，其中<math>\left. z=a+ib\right.</math>，<math>\left. x = {\tan}^{-1} \frac{b}{a}\right.</math>

以此表示法表示的複數有性質如下：

當n為實數，z為以上所講的複數時

<math>z^n = \left| z\right|^n(\cos x + i \sin x)^n = \left| z\right|^n(\cos nx + i \sin nx)</math>

這個性質在解任意複數(包括實數在內)z的n次方根時相當地有用

另一方面，複數可表示成以e為底指數函數（歐拉公式）：

<math>\left| z\right| (\cos x + i \sin x) = e^{ix + \ln \left| z\right|}</math>

==欧拉公式==
根据泰勒公式，<math>e^{x}=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}</math>和<math>\sin (x)=\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}</math>以及<math>\cos (x)=\sum^{+\infty}_{n=0}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math>有：

<math>e^{iz}=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{(iz)^n}{n!}
=\sum^{+\infty}_{n=0}(-1)^{n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}
+i\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!}
=\cos (z) + i\sin (z)</math>

:<math>\Rightarrow \left| \alpha \right| e^{i\beta}
= \left| \alpha \right| \cos (\beta) + i\sin (\beta)</math>

==复数的乘幂与开方==
若<math>\left. z=x+iy\right.</math>，设<math>\left| z\right|=r</math>，<math>\theta =\arctan \frac{y}{x}</math>则：

:<math>z^{n}=r^{n}e^{i\cdot n\theta}</math>

:<math>\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{2k\pi + \theta}{n}}</math>（其中<math>\left. k=0,1,\cdots n-1\right.</math>）

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