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== 二次剩餘 ==
二次剩餘的定義：若有一同餘方程<math>x^2 \equiv d \pmod{p}</math>，其中p是一個'''奇質數'''，且p不能整除d，若此同餘方程'''成立'''，則稱'''d為模p的二次剩餘'''，若此同餘方程'''不成立'''，則稱'''d為模p的二次非剩餘'''

=== 歐拉準則 ===

二次剩餘有個判別法，名叫'''歐拉準則'''：
此處的d與p及其他符號皆依照上面對於二次剩餘的定義

'''d為模p的二次剩餘'''的充要條件為：<math>d^{(p-1)/2} \equiv  1 \pmod {p}</math>

'''d為模p的二次非剩餘'''的充要條件為：<math>d^{(p-1)/2} \equiv -1 \pmod{p}</math>

證明：

只需证明定理的前一半。

*必要性：

设<math>d\equiv x^2 \pmod{p}</math>，且<math>d</math>不能被<math>p</math>整除。

则由費馬小定理可知
<math>d^{(p-1)/2}\equiv x^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}</math>
。

*充分性：

== 勒讓德符號 ==
依照上面對於二次剩餘的定義，對於奇質數 p 以及整數 d，如果 p 不能整除 d，我們可以定義'''勒讓德符號'''<math>\left( \frac{d}{p} \right)</math>如下：

<math>\left( \frac{d}{p} \right)</math>

=1，若'''d為模p的二次剩餘'''；

=-1，若'''d為模p的二次非剩餘'''

由二次剩餘和勒讓德符號的定義可推出：

*<math>\left( \frac{1}{p} \right)=1</math>；

<math>\left( \frac{-1}{p} \right)=(-1)^{(p-1)/2}</math>

*<math>\left( \frac{d+p}{p} \right)=\left( \frac{d}{p} \right)</math>

*<math>\left( \frac{de}{p} \right)=\left( \frac{d}{p} \right)\left( \frac{e}{p} \right)</math>

*<math>\left( \frac{d^2}{p} \right)=1</math>

上面的歐拉判別法亦可用勒讓德符號表示，即：<math>\left( \frac{d}{p} \right)  \equiv d^{(p-1)/2} \pmod{p}</math>

== 二次互反律 ==
對於奇質數p,q，有以下定理：

<math>\left( \frac{d^2}{p} \right)=\left( \frac{q}{p} \right)\left( \frac{p}{q} \right)=(-1)^{(p-1)(q-1)/4}</math>
=== 二次互反律的證明 ===
== 高斯引理 ==
=== 高斯引理的證明 ===
== 雅可比符號 ==
== 習題 ==
=== 第一部份─基礎題 ===
=== 第二部份─進階題 ===

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