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'''利息计算'''是指用[[数学]]的方法来计算由于[[存款]]或者[[信贷]]而形成的具有計算性质的[[利息]]的过程。

== 基本概念 ==
{| class="wikitable" style="margin: 0 auto; text-align:center; width:50em;"
!style="background-color:#CCCCFF;"| '''符号'''
! style="background-color:#CCCCFF;"|'''意义'''
|-
| <math>K_0</math>
| 本金 ( 初始资本 )
|-
| <math>n</math>
| 期限
|-
| <math>p</math>
| 100元钱在利息周期内的利息额
|-
| <math>i</math> ( <math>i</math>= <math>p</math> / <math>100</math> )
| 利率 ( 一元钱在一个利息周期内的利息额 )
|-
| <math>K_n</math>
| 收益 ( 在期限结束时 )
|}

利息周期一般情况下是指一年，在这种情况下称为年利息，或简称年息，常用 p.a. ( per annum ) 来表示。如果利息周期少于一年，例如半年，季度或者月份，则称之为低年利息，或低年息。另一个重要概念是有关于利息的具体核算时间，如果利息在每个利息周期结束时核算，称之为后期利息 ( 有的书中也称作补期利息 )，在这种情况利息计算以利息周期开始时的初始资本为准，也就是说，后期利息实际上是本金在利息周期里的利息，用公式表示如下：
<div style="text-align: center;">
  收益 = 本金 + 本金的利息
</div>
然而在实践中还存在着另一种比较少见的情况，即利息在利息周期开始时就开始核算，这时的利息计算以利息周期结束时的收益为准，此时的利息人们称之为先期利息 ( 有的书中也称作预期利息 )，也就是说，先期利息实际上是收益在利息周期裡的利息，用公式表示如下：
<div style="text-align: center;">
  本金 = 收益 -  收益的利息
</div>
总结：
{| class="wikitable" style="margin: 0 auto; text-align:center; width:50em;"
! style="background-color:#CCCCFF;" | '''标准'''
! style="background-color:#CCCCFF;" |  '''区分'''
|-
| rowspan="2" | 按照利息周期长短
|  年息 ( 利息周期为 1 年 )
|-
|  低年息 ( 利息周期为 1 年的一部分 )
|-
| rowspan="2"| 按照利息核算时间
| 以本金为准的后期利息
|-
| 以收益为准的先期利息
|}

== 后期年利息 ==

后期年息利息是利息计算的一种标准形式，利息计算周期始终为一年 ( p.a. )， 在利息计算过程中，也是始终以本金 ( 初始資金 ) 为基础。 

=== 单利 ===
下面通过一个例子来解释单利的含义。一储户将 1000 元钱以利率 8% ( p.a. ) 存入银行 2 年，一年后，该储户的资本除了本金 1000 元还包括利息，其中利息为：<br /><math>i</math> × <math>K_0</math> = 0.08 × 1000 = 80 元<br />那么，该储户第二年获得的利息是多少呢？假设银行将第一年的利息支付给了储户，那么第二年的利息仍然是本金 1000 元在一年的利息，即 80 元，因此储户在两年内得到的利息一共为 160 元。<br />以上这种计算利息的方法被称之为单利，在单利计算中，每个利息周期产生的利息被支付出去，也就是说在整个期限内的各个利息周期的利息保持不变。后期年息单利的收益计算方法可用如下公式表示：
:<math>K_n = K_0 \cdot (1 + n \cdot i)</math>
因此上面例子中储户两年后的收益为：
: <math>K_2 = 1000 \cdot (1 + 2 \cdot 0{,}08) = 1160</math> 
==== 混合单利 ====
上面的例子中只提到了整个利息期限是整数年的收益计算方法，然而在实践中经常会出现期限不是整数年的情况，比如储户的存款期限为 3 年，7 个月另 12 天，这时的收益的计算方法仍然按照上面的公式，但是要把月和天数换算成年数。在经济数学领域的日期换算中遵照如下约定：1 年有 360 天，1 个月有 30 天。

例如，一储户将 20000 元以年利率 7% 存入银行，3 年 7 个月另 12 天后，他的收益是：
: <math>K_n = 20000 \cdot [1 + (3+\frac{7}{12}+\frac{12}{360} ) \cdot 0{,}07] = 25063.33</math>

=== 复利 ===
还是上面那个例子，一储户将 1000 元钱以利率 8% ( p.a. ) 存入银行 2 年，第一年的利息为 80 元，收益为 1080 元。假设第一年的利息不支付给储户，而是算在第二年利息的本金里，那么第二年的利息将是本金 1080 元在一年的利息，即 0.08 × 1080 = 86.4 元，这时储户两年内一共获得的利息是 80 + 86.4 = 166.40 元。<br />以上这种计算利息的方法被称之为复利，在复利计算中，每个利息周期产生的利息不被支付出去，而是算在接下去发生的利息周期的本金里。后期年息复利的收益计算方法可用如下公式表示：
:<math>K_n = K_0 \cdot (1 + i)^n</math>
因此上面例子中储户两年后的收益为：
: <math>K_2 = 1000 \cdot (1 + 0{.}08)^2 = 1166{.}40</math>

=== 混合复利 ===
混合复利类似与混合单利，即整个利息期限不是整数年，这时计算收益的原则如下，整数年期限按照复利计算，对于余下的非整数年期按单利计算，因此有如下计算公式：
: <math>K_n = K_{N+t} =K_0\cdot (1+i)^N \cdot \left( 1 + i \cdot \frac{t}{360} \right)</math>
例如，一笔 20000 元的本金存入银行 3 年，7 个月又 12 天，利率是复利 7％，最终收益是：
: <math>K = 20000\cdot (1+0.07)^3 \cdot \left( 1 + 0.07 \cdot \frac{222}{360} \right)= 25558.48</math>

=== 日历年利息 ===
银行在计算以上所论及到的年息周期时具体是指从 1 月 1 日到同年的 12 月 31 日这段时间的利息，即正好是一个日历年，因此年息也可以说成是日历年息。然而在实践中，整个利息期限不可能与日历年完全吻合，这种情况下的利息的计算方法是：在整数日历年内发生的利息按照复利计算，之前或者之后不足一个日历年发生的利息按照单利计算，因此有如下公式：
: <math>K = K_0 \cdot \left( 1 + i \cdot \frac{t_1}{360} \right) \cdot (1+i)^N \cdot \left( 1 + i \cdot \frac{t_2}{360} \right)</math>
例如，一储户将 10000 元在 1990 年 10 月 1 日以年利率 8％ 存入银行，到 1993 年 9 月 30 日他应获得的收益将是：
: <math>K = 10000 \cdot \left( 1 + 0{,}08 \cdot \frac{90}{360} \right) \cdot (1+0{,}08)^2 \cdot \left( 1 + 0{,}08 \cdot \frac{270}{360} \right) = 12611.12</math>


上面的示意图表明，虽然本金存储期限为 3 年，但是只有 2 个日历年，或者说只有 2 个整利息周期，之前和之后的时间分别为 90 和 270 天。

这种日历年息计算方法有利于投资方，因为如果按照普通的复利计算方法，储户在 3 年后获得的收益是：
: <math>K_3 = 10000 \cdot (1 + 0{,}08)^3 = 12597.12</math>

== 后期低年利息 ==
低年息是指利息计算周期少于一年，例如半年，一季度，一个月等。在计算中用小写字母 <math>h</math> 来表示每年的利息周期数，为了同后期年利息利率 <math>i</math> 和期限 <math>n</math> 区分，用小写字母 <math>j</math> 来表示每个利息周期内的低年息利率，以及用 <math>m</math> 表示以低年周期为单位的利息期限，这样，<math>n</math>，<math>m</math>，<math>h</math> 之间有如下关系，
:<math>m = h \cdot n</math>
<br />
{| class="wikitable" style="margin: 0 auto; text-align:center; width:50em;"
! style="background-color:#CCCCFF;"|利息计算周期
| 半年
| 一季度
| 一个月
| 一天
|-
| style="background-color:#CCCCFF;"|每年利息周期数
| <math>h = 2</math>
| <math>h = 4</math>
| <math>h = 12</math>
| <math>h = 360</math>
|-
|}

例如，整个利息期限为 4 年 3 个月另 12 天 ( 即 <math>4.28\bar{3}</math> 年 ) 在利息计算周期为半年的情况下 ( 即 <math>h = 2</math> ) 的以低年周期为单位的利息期限 <math>m</math> 应该是

<math>m = 2 \cdot 4.28\bar{3}=8.5\bar{6}</math> 

即 8.56 个半年 ( 4 年 + 102 天 ) 。<br />根据公式 <math>m = h n</math> 可以很容易的从后期年息公式导出低年息公式，过程是只须分别用 <math>j</math> 和 <math>m</math> 替换 <math>i</math> 和 <math>n</math>，下面是后期年息和低年息的比较一览：
{| class="wikitable" style="margin: 0 auto; text-align:center; width:50em;"
!style="background-color:#CCCCFF;"|
! style="background-color:#CCCCFF;"|低年息
! style="background-color:#CCCCFF;"|年息 
|-
| style="background-color:#CCCCFF;"| 单利
| <math>K_m = K_0 \cdot (1 + m \cdot j)</math> 
| <math>K_n = K_0 \cdot (1 + n \cdot i)</math> 
|-
| style="background-color:#CCCCFF;"|  复利
| <math>K_m = K_0 \cdot (1 + j)^m</math>
| <math>K_n = K_0 \cdot (1 + i)^n</math>
|-
| style="background-color:#CCCCFF;"|  混合复利
| <math>K_m  =K_0\cdot (1+j)^M \cdot \left( 1 + j \cdot \frac{t}{180^*} \right)</math>
| <math>K_n  =K_0\cdot (1+i)^n \cdot \left( 1 + i \cdot \frac{t}{360} \right)</math>
|-
|}
<div style="text-align: center;">
<small><math>*</math>这里所列的是利息周期为半年的情况，相应的如果利息周期为一季度或者一个月，则是 90 以及 30 。</small>
</div>

例如，一笔款项 2000 元以利息核算周期为季度以及复利利率为 2％ 存入银行 2 年另 8 个月，最终收益是多少？<br />
本例中，<math>j=2\%</math>，<math>h=4</math>，<math>n=</math> 2 年 + 8 个月，<math>m=</math> 10 个季度 + 60 天 = <math>10.\bar{6}</math> 个季度，<br />
<math>K_m  =2000\cdot (1+0.02)^{10} \cdot \left( 1 + 0.02 \cdot \frac{60}{90} \right)=2470.50</math>

== 名利率，相对利率，实利率，相符利率==
年息利率 <math>i</math> 与 低年息利率 <math>j</math> 在相同的本金 <math>K_0</math> 和相同整个利息期限 <math>n</math> 情况下回导致完全不同的收益结果，原则上是低年息利率会导致比年息更高的复利收益。例如，1000 元以年利率 <math>i=8\%</math>存入银行 2 年 ( 相应的低年季度利率 <math>j=i/4=2\%</math> )，按年息算最后收益是<math>K_2 = 1000 \cdot (1 + 0.08)^2=1166.40</math>，如果按照低年息季度利率计算收益则是<math>K_8 = 1000 \cdot (1 + 0.02)^8=1171.66</math>

在如上的例子中，年利率 <math>i</math> 被称之为'''名利率'''，相应的低年息利率 <math>j</math> 称之为'''相对利率'''。在计算中，若想获得相同的年息收益 1166.40 元，那么低年息季度利率应该为 <math>j_k=\sqrt[8]{\frac{1166.40}{1000}}-1=1.9427\%</math>，此时的低年季度利率 <math>j_k</math> 叫做'''实利率'''。同样，若想获得相同的低年息收益 1171.66 元，那么年息利率应该为 <math>i_e=\sqrt{\frac{1171.66}{1000}}-1=8.2432\%</math>，此时的年息利率 <math>i_e</math> 被称之为'''相符利率'''。

{| class="wikitable" style="margin: 0 auto; text-align:center; width:40em;"
!style="background-color:#CCCCFF;"| 名利率
| <math>i</math>
|-
| style="background-color:#CCCCFF;"|相对利率
| <math>j=\frac{i}{h}</math>
|-
| style="background-color:#CCCCFF;"|实利率
| <math>j_k=\sqrt[h]{1+i}-1</math>
|-
| style="background-color:#CCCCFF;"|相符利率
| <math>i_e=(1+j)^h -1</math>
|-
|}

== 先期利息 ==
与后期利息计算方法不同的是，先期利息在利息周期开始时就开始核算，这时的利息计算以利息周期结束时的收益 <math>(K_n)</math> 为准，也就是说，先期利息实际上是收益 <math>(K_n)</math> 在利息周期里的利息。例如，您要在贷款方借一笔款项并承诺一年以后连本带息以 10000 元偿还，贷款方向您索取 12％ 的先期利率，那么您获得的贷款金额为<math>K_0=K_1-i_x \cdot K_1=10000 \cdot (1-0.12)=8800</math>元。
=== 先期单利和先期复利 ===
先期单利和先期复利的含义因为可分别用如下公式表示，<math>K_0+n \cdot i_x \cdot K_n=K_n</math> 以及 <math>K_n=K_{n-1}+i_x \cdot K_n</math>,所以可以导出收益 <math>(K_n)</math> 的公式：
{| class="wikitable" style="margin: 0 auto; text-align:center; width:40em;"
! style="background-color:#CCCCFF;"|利息形式
! style="background-color:#CCCCFF;"|收益公式
|-
| 先期单利
| <math>K_n=\frac{K_0}{1-n\cdot i_x}</math>
|-
| 先期复利
| <math>K_n=\frac{K_0}{(1-i_x)^n}</math>
|-
|}
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size:smaller;">( <math>i_x</math> 表示先期利率 )</span>
</div>

=== 替换利率和先期利率 ===
替换利率致力于研究后期利率和先期利率的关系，其定义是若想获得相同的先期收益 <math>K_n</math> 而必须的后期利率被称之为替换利率 <math>i_t</math> ，即
:<math> K_0 \cdot (1 + i_t)^n=\frac{K_0}{(1-i_x)^n}\longrightarrow i_t=\frac{i_x}{(1-i_x)}</math>

== 参见 ==
[[利率]] [[复利]]

[[Category:金融]]

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