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'''一元二次方程式'''是一個只有一個未知數、最高次數是二次的方程式，基本的公式為 <math>ax^2+bx+c=0</math>。

其中，<math>ax^2</math>是二次項，<math>bx</math>是一次項，<math>c</math>是常數項。<math>a \ne 0</math>是一個重要條件，否則該式的最高次數就不會是二次<ref group="註">任何數乘以[[Wikijunior:小數目/0|0]]都為0－包括X<sup>2</sup></ref>。當然，一元二次方程式的解有時會出現「無實根」<ref group="註">即解為虛數。國中課程中亦可寫成「無解」</ref>的情況。
==解方程式==
===因式分解===
使用[[國中數學/因式分解|因式分解]]來解一元二次方程式的重要關鍵是：若 ab=0 ，則 a=0 或 b=0 。
*沒有常數項：
*#<math>x^2+7x=0</math>
*#<math>\Rightarrow x(x+7)=0</math> (提出公因式)
*#<math>\Rightarrow x=0 , x+7=0</math> (若 ab=0 ，則 a=0 或 b=0)
*#<math>\Rightarrow x=0 ,-7</math>
*沒有一次項：
*#<math>x^2+11=36</math> 
*#<math>\Rightarrow x^2=36{\color{Rhodamine}-11}</math>(移常數項)
*#<math>\Rightarrow \sqrt{x^2}=\sqrt{36-11}</math> (兩邊各開根號)
*#<math>\Rightarrow x=5,-5</math><ref group="註">這裡亦可表示成x=±5</ref>
*完整式：
*#<math>x^2-46x+480=0</math>
*#<math>\Rightarrow (x-16)(x-30)=0</math> (使用十字交乘法)
*#<math>\Rightarrow x-16=0 , x-30=0</math> (若 ab=0 ，則 a=0 或 b=0)
*#<math>\Rightarrow x=16,30</math>
*完整式 (完全平方式)：
*#<math>x^2-10x+36=11</math>
*#<math>x^2-10x+36{\color{Rhodamine}-11}=0</math>
*#<math>\Rightarrow (x-5)^2=0</math>
*#<math>\Rightarrow x=5,5</math><ref group="註">這裡亦可表示成x=5 (重根)</ref>

===配完全平方式===
<small>參見：[[國中數學/一元二次多項式#配完全平方式|一元二次多項式的配方法]]</small>

'''配完全平方式'''，簡稱'''配方法'''，是把一元二次方程式使用[[國小數學/等量公理|等量公理]]的方式配成完全平方式的過程。

簡單來說就是像[[#證明|這樣的式子]]，其中「一次項係數一半的平方」是指一次項係數除2再平方，如一次項係數是4，那就是要兩邊同加上<math>(4\div2)^2</math>才能配方。

#<math>x^2+2x-3=0</math>
#<math>\Rightarrow x^2+2x+1=3+1</math> (移常數項、兩邊同加「一次項係數一半的平方」)
#<math>\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2}=\sqrt{4}</math> (等號左邊配方、兩邊同開根號)
#<math>\Rightarrow |x+1|=2</math> (開根號之後要加上絕對值)
#<math>\Rightarrow x=1,-3</math>

===公式解===
把二次項係數當作a、一次項係數當b、常數項當c，並代入<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>以求解。

*<math>\frac{1}{2}x^2 -6x + \frac{11}{2}= 0</math>

從以上一元二次方程的判別式<math>b^2-4ac=36-4(\frac{1}{2})(\frac{11}{2})= 36-11=25</math>，我們可以輕鬆解得x=11, 1。

*而如果<math>0.5x^2 -6x + 55.5= 0</math>？

從以上一元二次方程的判別式
<math>b^2-4ac=36-4(0.5)(55.5)= 36-111=-75</math>，我們可以發現<math>36-111=-75</math>小於0，我們可以說本題無實根。

====證明====
*#<math>ax^2+bx+c=0</math>
*#<math>\Rightarrow x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0</math> (兩邊同除a)
*#<math>\Rightarrow x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}</math> (移常數項)
*#<math>\Rightarrow x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2</math> (兩邊同加「一次項係數一半的平方」)
*#<math>\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2</math> (等號左邊配方)
*#<math>\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}</math> (等號右邊通分)
*#<math>\Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

==例題==
{{小学数学-习题图标}}
*基本1. x<sup>2</sup>=16
*基本2. x<sup>2</sup>-x=30
*基本3. 4x<sup>2</sup>+4x+4=3
*基本4. x<sup>2</sup>+36x-396=11x
*基本5. x<sup>2</sup>-10x+36=636
{{Tool expandable box|答案
|2={{小学数学-答案图标}}
*基本1. 
**x<sup>2</sup>=16
**x=±4
**x='''4 , -4'''
*基本2.
**x<sup>2</sup>-x=30
**(x-6)(x+5)=0
**x='''6 , -5'''
*基本3.
**4x<sup>2</sup>+4x+4=3
**4x<sup>2</sup>+4x+1=0
**(2x+1)<sup>2</sup>=0
**x= -0.5 (重根)
**x='''-0.5 , -0.5'''
*基本4. 
**x<sup>2</sup>+36x-396=11x
**x<sup>2</sup>+(36-11)x-396=0
**x='''-36 , 11'''
*基本5. 
**x<sup>2</sup>-10x+36=636
**x<sup>2</sup>-10x+(36-636)=0
**系數a=1,b=-10,c=-600代入公式解
**x='''30 , -20'''
}}

==注釋==
<references group="註" />

[[Category:國中數學]]

{{Wikipedia|一元二次方程}}