查看“︁國中數學/乘法公式”︁的源代码

[[國中數學]] > 運算 > 乘法公式

國中常見的四個乘法公式分別是

'''分配律'''<math>(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd</math>、

'''和的平方公式'''<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math><ref group="註"><math>a^2=a</math>‧
<math>a</math>，詳見[[國中數學/指數記號|指數記號]]。</ref>、

'''差的平方公式'''<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>與

'''平方差公式'''<math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>。

==分配律==
===證明===
利用[[國中數學/數的運算規則#分配律|分配律]]，<math>{\color{red}(a+b)}(c+d)={\color{red}(a+b)}c+{\color{red}(a+b)}d=ac+bc+ad+bd</math>

===例子===
例題<math>1.</math>計算<math>1002 \times 197</math>。

 解：<math>1002 \times 197=(1000+2) \times [200+(-3)]=1000 \times 200+1000 \times (-3)+2 \times 200+2 \times (-3)=200000-3000+400-6=197394</math>

例題<math>2.</math>計算<math>673 \times 524+227 \times 524-673 \times 224-227 \times 224</math>。

 解：<math>673 \times 524+227 \times 524-673 \times 224-227 \times 224=(673+227) \times (524-224)=900 \times 300=270000</math>
===習題===
習題<math>1.</math>計算<math>100\frac{2}{7} \times 70\frac{3}{5}</math>。

習題<math>2.</math>計算<math>513\frac{3}{8} \times 221\frac{6}{11}+486\frac{5}{8} \times 221\frac{6}{11}+513\frac{3}{8} \times 178\frac{5}{11}+486\frac{5}{8} \times 178\frac{5}{11}</math>。

==和的平方公式==
===證明===
在<math>(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd</math>的<math>c</math>代入<math>a</math>，<math>d</math>代入<math>b</math>，得到

<math>(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ba+ab+b^2=a^2+2ab+b^2</math>
===例子===
例題<math>3.</math>求<math>(400\frac{1}{5})^2</math>之值。

 解：<math>(400\frac{1}{5})^2=(400+\frac{1}{5})^2=400^2+2 \times 400 \times (\frac{1}{5})+(\frac{1}{5})^2=160000+160+\frac{1}{25}=160160\frac{1}{25}</math>

例題<math>4.</math>求<math>(234\frac{4}{7})^2+2 \times (234\frac{4}{7}) \times (65\frac{3}{7})+(65\frac{3}{7})^2</math>之值。

 解：<math>(234\frac{4}{7})^2+2 \times (234\frac{4}{7}) \times (65\frac{3}{7})+(65\frac{3}{7})^2=(234\frac{4}{7}+65\frac{3}{7})^2=300^2=90000</math>

===習題===
習題<math>3.</math>求<math>(400.7)^2</math>之值。

習題<math>4.</math>求<math>173^2+2\times173\times27+27^2</math>之值。

==差的平方公式==
===證明===
在和的平方公式<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>的<math>b</math>代入<math>-b</math>得到

<math>(a-b)^2=[a+(-b)]^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

===例子===
例題<math>5.</math>求<math>(699\frac{6}{7})^2</math>之值。

 解：<math>(699\frac{6}{7})^2=(700-\frac{1}{7})^2=700^2+2 \times 700 \times (\frac{1}{7})+(\frac{1}{7})^2=490000-200+\frac{1}{49}=489800\frac{1}{49}</math>

例題<math>6.</math>求<math>(123\frac{7}{13})^2-2 \times (123\frac{7}{13}) \times (23\frac{7}{13})+(23\frac{7}{13})^2</math>之值。

 解：<math>(123\frac{7}{13})^2-2 \times (123\frac{7}{13}) \times (23\frac{7}{13})+(23\frac{7}{13})^2=(123\frac{7}{13}-23\frac{7}{13})^2=100^2=10000</math>
===習題===
習題<math>5.</math>求<math>598^2</math>之值。

習題<math>6.</math>求<math>254.4^2-2\times254.4\times54.4+54.4^2</math>之值。

==平方差公式==
===證明===
在<math>(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd</math>的<math>c</math>代入<math>a</math>，<math>d</math>代入<math>-b</math>，得到

<math>(a+b)(a-b)=a^2+ba-ab+b(-b)=a^2-b^2</math>

===例子===
例題<math>7.</math>求<math>(400\frac{1}{5}) \times (399\frac{4}{5})</math>之值。

 解：<math>(400\frac{1}{5}) \times (399\frac{4}{5})=(400+\frac{1}{5}) \times (400-\frac{1}{5})=400^2-(\frac{1}{5})^2=160000-\frac{1}{25}=159999\frac{24}{25}</math>

例題<math>8.</math>求<math>(152\frac{1}{2})^2-(52\frac{1}{2})^2</math>之值。

 解：<math>(152\frac{1}{2})^2-(52\frac{1}{2})^2=(152\frac{1}{2}+52\frac{1}{2}) \times (152\frac{1}{2}-52\frac{1}{2})=205 \times 100=20500</math>
===習題===
習題<math>7.</math>求<math>599.4 \times 600.6</math>之值。

習題<math>8.</math>求<math>429^2-329^2</math>之值。

==更多乘法公式==
<small>參見：[[高中數學/乘法公式]]</small>

*三個數的平方和：<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca</math>
*立方和公式：<math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)</math>
*立方差公式：<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</math>
*和的立方公式：<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math>
*差的立方公式：<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3</math>
==注釋==
<references group="註" />

[[Category:國中數學]]

{{Wikipedia|乘法公式}}