查看“︁國中數學/國中數學七年級/1-2 正負數的加減”︁的源代码

{{header2
|previous=[[國中數學/國中數學七年級/1-1 正數與負數|1-1 正數與負數]]
|next=[[國中數學/國中數學七年級/1-3 正負數的乘除|1-3 正負數的乘除]]
|title=[[國中數學/國中數學七年級|國中數學七年級]]
|section=1-2 正負數的加減
}}
在前面一節我們學到了[[國中數學/負數|負數]]，接下來我們將要學習正負數的加減法。不過我們這裡主要是學習整數與小數的部分，分數的部分請見[[國中數學/國中數學七年級/2-3 分數的加減|2-3 分數的加減]]。
== 正負數相加 ==
在底下，我們將利用白色圓球代表<math>+1</math>，利用黑色圓球代表<math>-1</math>介紹正負數的相加模式。
{| class="wikitable"
|-
|[[File:白色圓球.jpg]]
|[[File:黑色圓球.jpg]]
|-
|代表<math>+1</math>的圖示
|代表<math>-1</math>的圖示
|}
=== 同號數相加 ===
先來看看國小就有學習的正數加法：
{{ExampleRobox|title=例題<math>1</math>}}計算<math>3+2</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
{| class="wikitable"
|-
|[[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]]
|<center><math>+</math></center>
|[[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]]
|<center><math>=</math></center>
|[[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]]
|-
|<center><math>(+3)</math></center>
|<center><math>+</math></center>
|<center><math>(+2)</math></center>
|<center><math>=</math></center>
|<center><math>(+5)</math></center>
|}
<math>3</math>顆白球與<math>2</math>顆白球共有<math>5</math>顆白球，所以<math>3+2=5</math>
{{Robox/Close}}
兩個負數的加法也可以用相同方式計算：
{{ExampleRobox|title=例題<math>2</math>}}計算<math>(-3)+(-4)</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
{| class="wikitable"
|-
|[[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]]
|<center><math>+</math></center>
|[[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]]
|<center><math>=</math></center>
|[[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]]<br />
[[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]]
|-
|<center><math>(-3)</math></center>
|<center><math>+</math></center>
|<center><math>(-4)</math></center>
|<center><math>=</math></center>
|<center><math>(-7)</math></center>
|}
<math>3</math>顆黑球與<math>4</math>顆黑球共有<math>7</math>顆黑球，所以<math>(-3)+(-4)=-7</math>
{{Robox/Close}}
所以要相加的球如果'''顏色相同'''，那麼只需要計算'''球的數量'''，而且'''答案與顏色相同'''，<br />
即兩個同號數相加時，<span style="color:red">答案符號相同，數字部分相加</span>。
{{ExampleRobox|title=例題<math>3</math>}}計算<math>(-33)+(-67)</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}因為<math>-33</math>與<math>-67</math>為同號數，<br />
所以<math>(-33)+(-67)</math><br />
<math>=-(33+67)</math><br />
<math>=-100</math>
{{Robox/Close}}
同樣的方式也可以用在小數：
{{ExampleRobox|title=例題<math>4</math>}}計算<math>(-17.3)+(-23.9)</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}因為<math>-17.3</math>與<math>-23.9</math>為同號數，<br />
所以<math>(-17.3)+(-23.9)</math><br />
<math>=-(17.3+23.9)</math><br />
<math>=-41.2</math>
{{Robox/Close}}
==== 習題 ====
習題<math>1.</math>計算下列各式的值。
#<math>7+3</math>
#<math>(-7)+(-3)</math>
#<math>(-28)+(-53)</math>
#<math>(-43.3)+(-51.5)</math>
=== 異號數相加 ===
異號數相加有一個重點：只要<span style="color:red">一顆白色圓球與一顆黑色圓球相遇就會互相抵銷</span>。
==== 為什麼會抵消？ ====
因為正與負為'''相對的關係'''。往東與往西是相對的關係，先往東<math>4</math>步再往西<math>4</math>步，你可以試著走走看，你將會回到原地。

{| class="wikitable"
|-
|[[File:白色圓球.jpg]]
|<center><math>+</math></center>
|[[File:黑色圓球.jpg]]
|<center><math>=</math></center>
|[[File:黑球白球抵銷.jpg]]
|-
|<center><math>+1</math></center>
|<center><math>+</math></center>
|<center><math>(-1)</math></center>
|<center><math>=</math></center>
|<center><math>0</math>(抵銷光光)</center>
|}
{{ExampleRobox|title=例題<math>5</math>}}計算<math>(-3)+2</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
{| class="wikitable"
|-
|[[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]]
|<center><math>+</math></center>
|[[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]]
|<center><math>=</math></center>
|[[File:黑球白球抵銷.jpg]][[File:黑球白球抵銷.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]]
|-
|<center><math>(-3)</math></center>
|<center><math>+</math></center>
|<center><math>(+2)</math></center>
|<center><math>=</math></center>
|<center><math>(-1)</math></center>
|}
<math>3</math>顆黑球與<math>2</math>顆白球相加，其中<math>2</math>顆黑球與<math>2</math>顆白球互相抵消，白球沒了，黑球還剩下<math>1</math>顆，所以<math>(-3)+2=-1</math>
{{Robox/Close}}
{{ExampleRobox|title=例題<math>6</math>}}計算<math>(-1)+4</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
{| class="wikitable"
|-
|[[File:黑色圓球.jpg]]
|<center><math>+</math></center>
|[[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]]
|<center><math>=</math></center>
|[[File:黑球白球抵銷.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]]
|-
|<center><math>(-1)</math></center>
|<center><math>+</math></center>
|<center><math>(+4)</math></center>
|<center><math>=</math></center>
|<center><math>(+3)</math></center>
|}
<math>1</math>顆黑球與<math>4</math>顆白球相加，其中<math>1</math>顆黑球與<math>1</math>顆白球互相抵消，黑球沒了，白球還剩下<math>3</math>顆，所以<math>(-1)+4=3</math>
{{Robox/Close}}
有注意到嗎？其實如果'''顏色不同'''，那麼只需要計算'''抵銷後剩餘球數'''，而且'''答案與球多的顏色相同'''，<br />
即兩個異號數相加時，<span style="color:red">答案符號與取絕對值之後數字大相同，數字部分大減小</span>。
{{ExampleRobox|title=例題<math>7</math>}}計算<math>(-33)+67</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}因為<math>-33</math>與<math>67</math>為異號數，而且<math>|-33|<|67|</math><br />
所以答案的性質符號與<math>67</math>相同，為<span style="color:red">正數</span>，<br />
<math>(-33)+67</math><br />
<math>={\color{red}+}(67-33)</math><br />
<math>=+34</math>
{{Robox/Close}}
同樣的方式也可以用在小數：
{{ExampleRobox|title=例題<math>8</math>}}計算<math>3.9+(-6.7)</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}因為<math>3.9</math>與<math>-6.7</math>為異號數，而且<math>|3.9|<|-6.7|</math><br />
所以答案的性質符號與<math>-6.7</math>相同，為<span style="color:red">負數</span>，<br />
<math>3.9+(-6.7)</math><br />
<math>={\color{red}-}(6.7-3.9)</math><br />
<math>=-2.8</math>
{{Robox/Close}}

==== 習題 ====
習題<math>2.</math>計算下列各式的值。
#<math>(-7)+5</math>
#<math>7+(-5)</math>
#<math>(-68)+123</math>
#<math>2.1+(-52.1)</math>

=== [[國中數學/數的運算規則#交換律|交換律]] ===
國小數學學過<math>5+4=4+5</math>，<br />
那麼負數相加時，<math>(-5)+(-4)=(-4)+(-5)</math>嗎？<br />
正負數相加時，<math>(-5)+4=4+(-5)</math>嗎？
{{ExampleRobox|title=例題<math>9</math>}}分別計算<math>(-5)+(-4)</math>與<math>(-4)+(-5)</math>的值，並比較是否相等。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}<math>(-5)+(-4)=-(5+4)=-9</math>，<br />
<math>(-4)+(-5)=-(4+5)=-9</math>，<br />
故兩式相等。
{{Robox/Close}}
{{ExampleRobox|title=例題<math>10</math>}}分別計算<math>(-5)+4</math>與<math>4+(-5)</math>的值，並比較是否相等。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}<math>(-5)+4=-(5-4)=-1</math>，<br />
<math>4+(-5)=-(5-4)=-1</math>，<br />
故兩式相等。
{{Robox/Close}}
事實上，我們在上面討論的過程中並沒有限制兩個數相加的順序，所以<br />
<center>若<math>a</math>、<math>b</math>為兩個數，則<math>{\color{red}a+b=b+a}</math>。</center>
==== 習題 ====
習題<math>3.</math>分別計算<math>5+(-4)</math>與<math>(-4)+5</math>的值，並比較是否相等。

=== [[國中數學/國中數學七年級/1-1 正數與負數#相反數|相反數]]相加 ===
因為兩個相反數相加，球都會消光光，所以
<center>若<math>a</math>為任意數，則<math>{\color{red}a+(-a)=(-a)+a=0}</math>。</center>
==== 習題 ====
習題<math>4.</math>計算下列各式的值：
#<math>55.34+(-55.34)</math>
#<math>(-1423)+1423</math>

=== 加上0 ===
因為加上<math>0</math>代表不加球，球跟原本一樣；反過來說，<math>0</math>加上任何數代表原本沒有球再加球，結果跟你加進去的球一樣，故
<center>若<math>a</math>為任意數，則<math>{\color{red}a+0=0+a=a}</math>。</center>
==== 習題 ====
習題<math>5.</math>計算下列各式的值：
#<math>0+(-3.1415)</math>
#<math>(-5284)+0</math>

== 整數的連加 ==
在計算連加式的時候，原則為'''有括號要先算'''，'''從左而右計算'''。
{{ExampleRobox|title=例題<math>11</math>}}計算<math>(-13)+15+[(-34)+21]</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}<math>(-13)+15+[(-34)+21]</math><br />
<math>=(-13)+15+(-13)</math>(先算括號)<br />
<math>=2+(-13)</math>(從左而右計算)<br />
<math>=-11</math>
{{Robox/Close}}
==== 習題 ====
習題<math>6.</math>計算下列各式的值。
#<math>(-11)+(5+6)</math>
#<math>[29+(-17)]+[(-83)+78]</math>
#<math>5.7+(-6.3)+(-7.2)+8.1</math>

=== [[國中數學/數的運算規則#結合律|結合律]] ===
國小數學學過<math>(5+4)+3=5+(4+3)</math>，<br />
事實上，這對於負數的加法運算也正確，即
<center>若<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>為三個數，則<math>{\color{red}(a+b)+c=a+(b+c)}</math>。</center>
{{ExampleRobox|title=例題<math>12</math>}}分別計算<math>[(-5)+(-4)]+3</math><ref group="註">[]為中括號符號，通常在計算算式時會加在小括號外面。但是在電腦程式或是數學軟體GeoGebra等等中，大部分不區分括號的差別，統一使用小括號()。</ref>與<math>(-5)+[(-4)+3]</math>的值，並比較是否相等。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}<math>[(-5)+(-4)]+3=(-9)+3=-6</math>，<br />
<math>(-5)+[(-4)+3]=(-5)+(-1)=-6</math>，<br />
故兩式相等。
{{Robox/Close}}
==== 習題 ====
習題<math>7.</math>分別計算<math>[5+(-4)]+12</math>與<math>5+[(-4)+12]</math>的值，並比較是否相等。
=== 綜合使用交換律與結合律計算連加算式 ===
有時使用交換律與結合律會更方便我們計算。
{{ExampleRobox|title=例題<math>13</math>}}計算<math>(-75375923)+(-5878)+75375925</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}<math>(-75375923)+(-5878)+75375925</math><br />
<math>=(-75375923)+[(-5878)+75375925]</math><br />
<math>=(-75375923)+[75375925+(-5878)]</math>(交換律)<br />
<math>=[(-75375923)+75375925]+(-5878)</math>(結合律)<br />
<math>=2+(-5878)</math><br />
<math>=-5876</math>
{{Robox/Close}}
==== 習題 ====
習題<math>8.</math>計算下列各式的值。
#<math>1234+(-87653321)+87653320</math>
#<math>(-5443)+[(-4557)+(-17385)]</math>
#<math>[(-145.3347)+14]+146.3347</math>

== 正負數相減 ==
減掉一個數，我們可以想像成拿走指定顏色與數量的球。如<math>-3</math>就是拿走<math>3</math>顆白球；<math>-(-4)</math>就是拿走<math>4</math>顆黑球。
=== 同號數相減 ===
讓我們用這樣的方式來看看國小就有學習的正數減法：
{{ExampleRobox|title=例題<math>14</math>}}計算<math>5-3</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
{| class="wikitable"
|-
|[[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:拿走白球.jpg]][[File:拿走白球.jpg]][[File:拿走白球.jpg]]
|}
<math>5</math>顆白球拿走<math>3</math>顆白球還剩下<math>2</math>顆白球，所以<math>5-3=2</math>。
{{Robox/Close}}
減掉一個負數呢？
{{ExampleRobox|title=例題<math>15</math>}}計算<math>(-7)-(-4)</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
{| class="wikitable"
|-
|[[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]][[File:拿走黑球.jpg]][[File:拿走黑球.jpg]]<br />[[File:拿走黑球.jpg]][[File:拿走黑球.jpg]]
|}
<math>7</math>顆黑球拿走<math>4</math>顆黑球還剩下<math>3</math>顆黑球，所以<math>(-7)-(-4)=-3</math>。
{{Robox/Close}}
以上是可以拿走白黑球的狀況，如果不行呢？看看以下的例子：
{{Robox|theme=3|title=問題<math>1</math>}}計算<math>1-3</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
{| class="wikitable"
|-
|[[File:白色圓球.jpg]]
|}
<math>1</math>顆白球拿走<math>3</math>顆白球……。根本不夠拿啊……
{{Robox/Close}}
還記得<span style="color:red">一顆白球與一顆黑球代表</span><math>{\color{red}0}</math>嗎？這意思就是無論多了幾組一白一黑的球，原本的數不會改變。
{| class="wikitable"
|-
|[[File:白色圓球.jpg]]
|[[File:白色圓球.jpg]][[File:黑球白球各一顆為0.jpg]]
|[[File:白色圓球.jpg]][[File:黑球白球各一顆為0.jpg]][[File:黑球白球各一顆為0.jpg]][[File:黑球白球各一顆為0.jpg]]
|-
|<center>這是<math>1</math></center>
|<center>這也是<math>1</math></center>
|<center>這還是<math>1</math></center>
|}
所以：
{{ExampleRobox|title=例題<math>16</math>}}計算<math>1-3</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}先補球，補到'''剛好出現<math>3</math>顆白球'''為止：
{| class="wikitable"
|-
|[[File:白色圓球.jpg]][[File:黑球白球各一顆為0.jpg]][[File:黑球白球各一顆為0.jpg]]
|}
這時再拿走<math>3</math>顆白球：
{| class="wikitable"
|-
|[[File:拿走白球.jpg]][[File:補0拿白球.jpg|補0拿白球.jpg]][[File:補0拿白球.jpg|補0拿白球.jpg]]
|}
最後剩下<math>2</math>顆黑球，所以<math>1-3=-2</math>。
{{Robox/Close}}
同樣也可以處理黑球不夠的問題：
{{ExampleRobox|title=例題<math>17</math>}}計算<math>(-1)-(-4)</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}先補球，補到'''剛好出現<math>4</math>顆黑球'''為止：
{| class="wikitable"
|-
|[[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑球白球各一顆為0.jpg]][[File:黑球白球各一顆為0.jpg]][[File:黑球白球各一顆為0.jpg]]
|}
這時再拿走<math>4</math>顆黑球：
{| class="wikitable"
|-
|[[File:拿走黑球.jpg]][[File:補0拿黑球.jpg|補0拿黑球.jpg]][[File:補0拿黑球.jpg|補0拿黑球.jpg]][[File:補0拿黑球.jpg|補0拿黑球.jpg]]
|}
最後剩下<math>3</math>顆白球，所以<math>(-1)-(-4)=3</math>。
{{Robox/Close}}

=== 異號數相減 ===
異號數相減其實就是'''不夠球'''的減法，也就是利用<span style="color:red">一顆白球與一顆黑球代表</span><math>{\color{red}0}</math>的方法。
{{ExampleRobox|title=例題<math>18</math>}}計算<math>(-3)-5</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}先補球，補到'''剛好出現<math>5</math>顆白球'''為止：
{| class="wikitable"
|-
|[[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑球白球各一顆為0.jpg]][[File:黑球白球各一顆為0.jpg]][[File:黑球白球各一顆為0.jpg]][[File:黑球白球各一顆為0.jpg]][[File:黑球白球各一顆為0.jpg]]
|}
這時再拿走<math>5</math>顆白球：
{| class="wikitable"
|-
|[[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]][[File:黑色圓球.jpg]][[File:補0拿白球.jpg|補0拿白球.jpg]][[File:補0拿白球.jpg|補0拿白球.jpg]][[File:補0拿白球.jpg|補0拿白球.jpg]][[File:補0拿白球.jpg|補0拿白球.jpg]][[File:補0拿白球.jpg|補0拿白球.jpg]]
|}
最後剩下<math>8</math>顆黑球，所以<math>(-3)-5=-8</math>。
{{Robox/Close}}
{{ExampleRobox|title=例題<math>19</math>}}計算<math>5-(-2)</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}先補球，補到'''剛好出現<math>2</math>顆黑球'''為止：
{| class="wikitable"
|-
|[[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:黑球白球各一顆為0.jpg]][[File:黑球白球各一顆為0.jpg]]
|}
這時再拿走<math>2</math>顆黑球：
{| class="wikitable"
|-
|[[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:補0拿黑球.jpg|補0拿黑球.jpg]][[File:補0拿黑球.jpg|補0拿黑球.jpg]]
|}
最後剩下<math>7</math>顆白球，所以<math>5-(-2)=7</math>。
{{Robox/Close}}
=== 減法與加法的關係 ===
讓我們來觀察一下<math>1-(-3)</math>與<math>1+3</math>之間的關係：
{| class="wikitable"
!<center><math>1-(-3)</math></center>!!<center><math>1+3</math></center>
|-
|[[File:白色圓球.jpg]][[File:補0拿黑球.jpg|補0拿黑球.jpg]][[File:補0拿黑球.jpg|補0拿黑球.jpg]][[File:補0拿黑球.jpg|補0拿黑球.jpg]]
|[[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]]
|-
|<center><math>1-(-3)=4</math></center>
|<center><math>1+3=4</math></center>
|}
其實拿走<math>3</math>顆黑球這件事就跟加上<math>3</math>顆白球一樣，所以<math>1{\color{red}-(-3)}=1{\color{red}+3}=4</math>。<br />
再來觀察<math>(-1)-(-3)</math>與<math>(-1)+3</math>之間的關係：
{| class="wikitable"
!<center><math>(-1)-(-3)</math></center>!!<center><math>(-1)+3</math></center>
|-
|[[File:黑色圓球.jpg]][[File:補0拿黑球.jpg|補0拿黑球.jpg]][[File:補0拿黑球.jpg|補0拿黑球.jpg]][[File:補0拿黑球.jpg|補0拿黑球.jpg]]<br />
<math>\Rightarrow</math>[[File:黑球白球抵銷.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]]
|[[File:黑球白球抵銷.jpg]][[File:白色圓球.jpg]][[File:白色圓球.jpg]]
|-
|<center><math>(-1)-(-3)=2</math></center>
|<center><math>(-1)+3=2</math></center>
|}
為了觀察與上面相同而類似的結果，我們故意剛好補成<math>3</math>組白球與黑球，再將<math>3</math>顆黑球拿走，剩下的情況剛好等於<math>1</math>顆黑球與<math>3</math>顆白球相加。<br />
所以同樣的，拿走<math>3</math>顆黑球這件事跟加上<math>3</math>顆白球一樣。<br />
當然，減掉正數或是其他負數也可以利用同樣的方式討論，故可以得到以下結論：
==== 結論 ====
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto;"
|減掉一個數，等於<span style="color:red">加上這個數的[[國中數學/國中數學七年級/1-1 正數與負數#相反數|相反數]]</span>。即若<math>a</math>、<math>b</math>為兩個數，則<math>{\color{red}a-b=a+(-b)}</math>。
|}
利用這個結論，讓我們再來練習：
{{ExampleRobox|title=例題<math>20</math>}}計算<math>39-(-28)</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}<math>39-(-28)</math><br />
<math>=39+28</math><br />
<math>=67</math>
{{Robox/Close}}
用於小數也可以喔！
{{ExampleRobox|title=例題<math>21</math>}}計算<math>(-2.7)-(-8.44)</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}<math>(-2.7)-(-8.44)</math><br />
<math>=(-2.7)+8.44</math><br />
<math>=+(8.44-2.7)</math><br />
<math>=5.74</math>
{{Robox/Close}}
{{ExampleRobox|title=例題<math>22</math>}}計算<math>(-2.7)-8.44</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}<math>(-2.7)-8.44</math><br />
<math>=(-2.7)+(-8.44)</math><br />
<math>=-(2.7+8.44)</math><br />
<math>=-11.14</math>
{{Robox/Close}}
{{ExampleRobox|title=例題<math>23</math>}}計算<math>8.44-(-2.7)</math>的值。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}<math>8.44-(-2.7)</math><br />
<math>=8.44+2.7</math><br />
<math>=11.14</math>
{{Robox/Close}}
由例題<math>22</math>與例題<math>23</math>可知，<span style="color:red">減法沒有交換律</span>。
==== 習題 ====
習題<math>9.</math>計算下列各式的值：
#<math>(-13)-(-7)</math>
#<math>(-83)-(-102)</math>
#<math>15-(-17)</math>
#<math>(-12)-13</math>
#<math>3.14-(-3.14)</math>
#<math>(-2.33)-1.67</math>

== 正負數加減混合運算 ==
以下是計算正負數的加減混合運算的時候要注意的規則：
#'''有絕對值要先算'''。
#'''有括號要先算'''，順序依序為<math>(  )\rightarrow [  ] \rightarrow</math>{}<ref group="註">這是大括號符號，通常加在中括號外面。</ref>。
#沒括號時，'''從左而右計算'''。
而為了方便計算，可以利用'''減掉一個數等於加上一個數的相反數'''之特性將<math>-</math>改成<math>+</math>。
{{ExampleRobox|title=例題<math>24</math>}}計算<math>(-57)+[(-43)-(-62)]</math>之值。
{{Robox/Close}}
{{ExampleRobox|theme=5|title=解}}<math>(-57)+[(-43)-(-62)]</math><br />
<math>=(-57)+[(-43)+62]</math>(減的改成加的)<br />
<math>=(-57)+[+(62-43)]</math>(先算括號)<br />
<math>=(-57)+19</math><br />
<math>=-(57-19)</math><br />
<math>=-38</math><br />
{{Robox/Close}}

{{ExampleRobox|title=例題<math>25</math>}}計算<math>(-37)+[-33+[(-36)+11]]-17</math>之值。
{{Robox/Close}}
{{ExampleRobox|theme=5|title=解}}<math>(-37)+[-33-(36-11)]-17</math><br />
<math>=(-37)+[(-33)-25]+(-17)</math>(減的改成加的)<br />
<math>=(-37)+[-(25+33)]+(-17)</math>(先算括號)<br />
<math>=(-37)+(-58)+(-17)</math><br />
<math>=-(37+58)+(-17)</math>(從左而右計算)<br />
<math>=(-95)+(-17)</math><br />
<math>=-(95+17)</math><br />
<math>=-112</math><br />
{{Robox/Close}}
=== 習題 ===
習題<math>10.</math>計算下列各式的值：
#<math>13+[(-8)+(-24)]</math>
#<math>[37+(-54)]-[(-24)-26]</math>
#<math>11+(-22)-[33+(-44)]</math>

接下來來練習有絕對值的加減混合運算。
{{ExampleRobox|title=例題<math>26</math>}}計算<math>|-23.4|+|(-15.3)-(-1.3)|-26.6</math>之值。
{{Robox/Close}}
{{ExampleRobox|theme=5|title=解}}<math>|-23.4|+|(-15.3)-(-1.3)|-26.6</math><br />
<math>=23.4+|(-15.3)+1.3|-26.6</math>(計算絕對值部分)<br />
<math>=23.4+|-14|-26.6</math>(先算括號)<br />
<math>=23.4+14-26.6</math><br />
<math>=37.4-26.6</math>(從左而右計算)<br />
<math>=10.8</math><br />
{{Robox/Close}}

=== 習題 ===
習題<math>11.</math>計算下列各式的值：
#<math>13+|-8|+(-24)</math>
#<math>|37+24|-|24-37|</math>
#<math>15-|(-8)+(-7)|+|-23|</math>

=== [[國中數學/數的運算規則#去括號規則|去括號規則]] ===
觀察下列兩個表格：
{|class="wikitable"
|-
!<center>式子</center>
!<center><math>5{\color{red}-}(7{\color{red}-}3)</math></center>
!<center><math>5{\color{red}-}7{\color{blue}-}3</math></center>
!<center><math>5{\color{red}-}7{\color{red}+}3</math></center>
|-
!<center>計算結果</center>
|<math>=5-4</math><br />
<math>={\color{red}1}</math>
|<math>=(-2)-3</math><br />
<math>=(-2)+(-3)</math><br />
<math>=-(2+3)</math><br />
<math>=-5</math>
|<math>=(-2)+3</math><br />
<math>=+(3-2)</math><br />
<math>={\color{red}1}</math>
|}
{|class="wikitable"
|-
!<center>式子</center>
!<center><math>(-5){\color{red}-}[7{\color{red}+}(-2)]</math></center>
!<center><math>(-5){\color{red}-}7{\color{blue}+}(-2)</math></center>
!<center><math>(-5){\color{red}-}7{\color{red}-}(-2)</math></center>
|-
!<center>計算結果</center>
|<math>=(-5)-5</math><br />
<math>=(-5)+(-5)</math><br />
<math>=-(5+5)</math><br />
<math>={\color{red}-10}</math>
|<math>=(-5)+(-7)+(-2)</math><br />
<math>=-(5+7)+(-2)</math><br />
<math>=(-12)+(-2)</math><br />
<math>=(-12+2)</math><br />
<math>=-14</math>
|<math>=(-5)+(-7)+2</math><br />
<math>=-(5+7)+2</math><br />
<math>=(-12)+2</math><br />
<math>=-(12-2)</math><br />
<math>={\color{red}-10}</math>
|}
所以括號前的運算符號是<math>-</math>，則括號裡的'''運算符號'''要由'''加號'''改成'''減號'''，由'''減號'''改成'''加號'''。<br />
由此推論出以下'''去括號規則'''<ref group="註">在後面學習的單元會有更多的應用，如[[國中數學/國中數學七年級/3-1 一元一次式#式子的化簡|一元一次式的化簡]]、[[國中數學/國中數學七年級/4-1 二元一次方程式#式子的化簡|二元一次式的化簡]]、[[國中數學/國中數學八年級/1-2 多項式與多項式的加減|多項式的減法]]都有應用。</ref>：
{|class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto;"
|設<math>a</math>、<math>b</math>為兩個數，則
#<math>-(a+b)=-a-b</math>
#<math>-(a-b)=-a+b</math>
#<math>-(-a+b)=a-b</math>
#<math>-(-a-b)=a+b</math>
|}
去括號規則有時可以讓我們有更簡便的運算。請看以下例題。

{{ExampleRobox|title=例題<math>27</math>}}計算<math>(-15963471)-[(-15963472)-(-12345)]</math>之值。
{{Robox/Close}}
{{ExampleRobox|theme=5|title=解}}<math>(-15963471)-[(-15963472)-(-12345)]</math>
<math>=(-15963471){\color{red}-}[{\color{red}-}15963472{\color{red}+}12345]</math><br />
<math>=(-15963471){\color{red}+}15963472{\color{red}-}12345</math><br />
<math>=1-12345</math><br />
<math>=-12344</math>
{{Robox/Close}}

=== 習題 ===
習題<math>12.</math>計算下列各式的值：
#<math>(-166666)-[(-166664)+(-354)]</math>
#<math>39717185-[(-12349999)-(-39717185)]</math>

== 數線上兩點之間的距離 ==
<small>參見：[[國中數學/絕對值#數線上兩點之間的距離|數線上兩點之間的距離]]</small><br />
<u>臺灣</u>的[[:w:中山高速公路交流道列表|中山高速公路]]中，<u>豐原</u>交流道位於里程南下<math>168.3</math>公里處，而從<u>豐原</u>交流道南下最近的服務區為<u>西螺</u>服務區，它位於里程南下<math>229.3</math>公里處。<u>雨婷</u>一家人從<u>豐原</u>交流道南下，到最近的<u>西螺</u>服務區有多少公里的距離？同時，<u>以涵</u>一家人從<u>西螺</u>服務區離開，他們要到<u>豐原</u>交流道，則他們要走多少距離？
*我們知道這兩家人只是來回於<u>豐原</u>交流道與<u>西螺</u>服務區之間，所以這兩家人移動的距離應該是相同的，而他們移動的距離都是<math>229.3-168.3=61</math>公里。
同樣的，我們可以將數線想像成高速公路，任意兩點也可以考慮它們的距離。在<u>中山高速公路</u>的例子中，我們以南下為正向逐漸增大，所以兩地的距離我們計算的方式為用比較大的<math>229.3</math>減去比較小的<math>168.3</math>，得到<math>61</math>的結果。事實上，在數線上也正是如此：
  在數線上任兩點的距離等於兩個點所代表的數當中比較大的數減掉比較小的數的結果。
比方說數線上有兩點<math>A(-7)</math>與<math>B(5)</math>，因為<math>5>-7</math>的關係，所以<math>A</math>與<math>B</math>的距離(我們用<math>{\color{red}\overline{AB}}</math><ref group="註"><math>\overline{AB}</math>讀作「線段<math>AB</math>」或「<math>AB</math>線段」，代表<math>A</math>、<math>B</math>兩點之間的線段，也代表<math>A</math>、<math>B</math>兩點的最近距離。</ref>表示)為<math>5-(-7)=12</math>。
*因為定義上的關係，所以'''任意兩相異點之間的距離都是正數'''。
雖然這樣的定義很容易理解，不過當'''不確定兩個數當中哪個數比較大'''的時候，這樣的定義就會造成麻煩了。比如說<math>A(a)</math>與<math>B(b)</math>的距離為何？我們就要分別討論
#當<math>a>b</math>時，<math>\overline{AB}=a-b</math>。
#當<math>b>a</math>時，<math>\overline{AB}=b-a</math>。
再一個例子，圓周率<ref group="註">圓周率小數點後位數永無止盡，故數學上常用希臘符號「<math>\pi</math>(讀做ㄆㄞ)」表示。</ref>大約是<math>3.14</math>，它也只是大約而已，圓周率後面有一連串莫名其妙的數字。那在你背不出圓周率完整前<math>8</math>位<math>3.1415926</math>的情況，你一定認為圓周率比<math>3.1415923</math>小，所以就拿圓周率減掉<math>3.1415923</math>而出錯了。<br />
所以我們一定要有一個辦法，無論'''我們不知道誰大誰小'''，我們都能表示距離的方法。讓我們回到剛剛兩點<math>A(-7)</math>與<math>B(5)</math>的例子，如果反過來做，我們誤以為<math>-7>5</math>而計算出
<math>(-7)-5=-12</math>，咦？跟真正的距離'''只差一個負號'''，所以其實我們只要'''不管性質符號'''就好。誰能夠不管性質符號只管數字呢？那就是[[國中數學/國中數學七年級/1-1 正數與負數#絕對值|絕對值]]了！於是我們可以修改如下：
  數線上<math>A(a)</math>與<math>B(b)</math>的距離等於<math>|a-b|=|b-a|</math>。
所以管它那麼多，<math>A(-7)</math>與<math>B(5)</math>的距離就是<math>|5-(-7)|=|(-7)-5|</math>；圓周率與<math>3.1415923</math>的距離為<math>|</math>圓周率<math>-3.1415923|=|3.1415923-</math>圓周率<math>|</math>。<br />
來練習吧。
{{ExampleRobox|title=例題<math>28</math>}}數線上有三點<math>A(7)</math>、<math>B(-13)</math>、<math>C(-3)</math>，試求：<br />
<math>(1) \overline{AB}</math><br />
<math>(2) \overline{AC}</math><br />
<math>(3) \overline{BC}</math>
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>(1) \overline{AB}=|7-(-13)|=|20|=20</math><br />
<math>(2) \overline{AC}=|7-(-3)|=|10|=10</math><br />
<math>(3) \overline{BC}=|(-13)-(-3)|=|-10|=10</math><br />
{{Robox/Close}}
'''習題<math>13.</math>'''<br />
數線上有三點<math>A(3)</math>、<math>B(-6)</math>、<math>C(-12)</math>，試求<math>\overline{AB}+\overline{AC}-\overline{BC}</math>。
=== 中點 ===
<small>參見：[[國中數學/絕對值#中點|中點]]</small><br />
在例題<math>28</math>中，我們發現<math>C(-3)</math>到<math>A(7)</math>、<math>B(-13)</math>兩點的距離都是<math>10</math>，所以<math>C</math>點在<math>A</math>、<math>B</math>兩點的'''正中央'''，我們稱<math>C</math>點為<math>A</math>、<math>B</math>兩點的<span style="color:blue">'''中點'''</span>，也可以說<math>C</math>點為<math>\overline{AB}</math>的中點。
  當數線上一點<math>C</math>與另外'''相異'''兩點<math>A</math>、<math>B</math>的距離相等，則我們稱<math>C</math>點為<math>A</math>、<math>B</math>兩點的中點，也可以說<math>C</math>點為<math>\overline{AB}</math>的中點。
所以要檢查一個點是不是中點，只需要計算它到兩端點的距離是否相等即可。<br />
<br />
'''習題<math>14.</math>'''<br />
數線上有三點<math>A(15)</math>、<math>B(-11)</math>、<math>C(2)</math>，檢查<math>C</math>點是否為<math>\overline{AB}</math>的中點。<br />
<br />
給定兩個點<math>A(a)</math>、<math>B(b)</math>要怎麼找出中點呢？
#因為中點到兩端點的距離相等，所以先計算到兩端點的距離<math>\overline{AB}</math>，中點到<math>A</math>點或<math>B</math>點的距離都是<math>\overline{AB}\div 2</math>。
#若<math>a<b</math>，則中點的位置<math>=a+\overline{AB}\div 2</math>或<math>=b-\overline{AB}\div 2</math>
{{ExampleRobox|title=例題<math>29</math>}}數線上兩點<math>A(19)</math>、<math>B(-11)</math>，試求<math>\overline{AB}</math>的中點坐標。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
#<math>\overline{AB}=|19-(-11)|=|30|=30</math>，<math>30 \div 2=15</math>
#因為<math>-11<19</math>，所以中點坐標<math>=-11+15=4</math>
{{Robox/Close}}
'''習題<math>15.</math>'''<br />
數線上有兩點<math>A(-29)</math>、<math>B(-17)</math>，試求<math>\overline{AB}</math>的中點坐標。<br />
<br />
不過這又有一個狀況了，如果我們想要找出圓周率與<math>3.14159267</math>的中點坐標呢？在下一個單元中，我們將導出中點坐標的公式。

== 註解 ==
<references group="註" />

[[Category:國中數學]]