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{{header2
|previous=[[國中數學/國中數學七年級/1-5 其他的數|1-5 其他的數]]
|next=[[國中數學/國中數學七年級/2-2 最大公因數與最小公倍數|2-2 最大公因數與最小公倍數]]
|title=[[國中數學/國中數學七年級|國中數學七年級]]
|section=2-1 質因數分解
}}
本章節將介紹關於分數的運算，不過在此之前，我們首先將介紹質因數分解的概念，然後進入最大公因數與最小公倍數，最後才進行分數運算。

==因數與倍數==
在國小學過，如果甲數、乙數與丙數都是<span style="color:red">整數</span>，而且甲數<math>\div</math>乙數<math>=</math>丙數，則我們稱乙數為甲數的<span style="color:blue">因數</span>，甲數為乙數的<span style="color:blue">倍數</span>。又因為當甲數不是<math>0</math>的時候，甲數<math>\div</math>乙數<math>=</math>丙數也代表甲數<math>\div</math>丙數<math>=</math>乙數，所以丙數也是甲數的因數，甲數也是丙數的倍數。
*例如<math>15 \div 5 = 3</math>，<math>5</math>和<math>3</math>都是<math>15</math>的因數，<math>15</math>是<math>5</math>的倍數，也是<math>3</math>的倍數。
*簡單來說，滿足<span style="color:red">'''除法關係'''</span>的三個<span style="color:red">'''整數'''</span>中，<span style="color:blue">最大的數</span>為<span style="color:blue">較小數</span>的<span style="color:blue">'''倍數'''</span>。反之，<span style="color:blue">比較小的兩個數</span>為<span style="color:blue">最大數</span>的<span style="color:blue">'''因數'''</span>。
*因數的英文為factor，倍數的英文為multiple。
這樣的定義可以延伸到負整數上，即如果<math>a,b,c</math>為三個任意整數(無論正負)而且滿足<math>a \div b = c</math>，則<math>a</math>為<math>b,c</math>的倍數，<math>b,c</math>為<math>a</math>的因數
。但由於<math>a \div b = c</math>也代表著<math>a \div (-b) = -c</math>，故若<math>b,c</math>為<math>a</math>的因數時，<math>-b,-c</math>也為<math>a</math>的因數，所以在國中的課程當中，如果沒有特別說明，「因數」都是指「正因數」。同理，「倍數」都是指「正倍數」。
**如<math>(-15) \div 5 = -3</math>，<math>5</math>和<math>-3</math>都是<math>-15</math>的因數，<math>-15</math>是<math>5</math>的倍數，也是<math>-3</math>的倍數。
**同理<math>(-15) \div (-5) = 3</math>，<math>-5</math>和<math>3</math>都是<math>-15</math>的因數，<math>-15</math>是<math>-5</math>的倍數，也是<math>3</math>的倍數。
*很顯然的，<math>b</math>的位置不能擺<math>0</math>，所以<math>0</math>不會是任何整數的因數。
*因為<math>a \div 1 = a</math>，所以<math>1</math>是任何整數的因數。
*因為<math>0 \div b = 0</math>，所以<math>0</math>是任何非<math>0</math>整數的倍數。
*因為<math>a \div a = 1</math>，所以當<math>a</math>不是<math>0</math>時，<math>a</math>是<math>a</math>的因數，<math>a</math>也是<math>a</math>的倍數。
*因為<math>a \div b = c</math>代表<math>b \times c = a</math>，所以有人也會用乘法的方式說明倍數與因數的關係。
要判斷是否有因數與倍數的關係，我們只需要使用除法即可。
{{ExampleRobox|title=例題<math>1</math>}}<math>(1)</math>請問<math>899</math>是不是<math>31</math>的倍數？
<math>(2)</math>請問<math>27</math>是不是<math>287</math>的因數？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}<math>(1)</math>計算<math>899 \div 31 = 29</math>，故<math>899</math>為<math>31</math>的倍數。
<math>(2)</math>計算<math>287 \div 27 = 10...17</math>，故<math>27</math>不是<math>287</math>的因數。
{{Robox/Close}}
'''習題'''<br/>
<math>(1)</math>判斷<math>725,865</math>二數是不是<math>25</math>的倍數。<ref group="習題解答"><math>725</math>是，<math>865</math>不是。</ref><br/>
<math>(2)</math>判斷<math>17</math>是不是<math>962</math>的因數。<ref group="習題解答">是。</ref>
==質數與合數==
我們知道任意一個整數<math>n</math>，它都至少有兩個因數：<math>1</math>和它自己本身。
#如果除此之外<math>n</math>沒有其他因數了，那麼<math>n</math>我們稱為<span style="color:blue">質數</span><ref group="註">質數也稱作「素數」。</ref>(prime)<ref group="註">質數的維基百科資料：[https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E8%B4%A8%E6%95%B0 質數：維基百科]</ref>。
#*例如<math>11</math>的因數只有<math>1</math>和<math>11</math>，所以<math>11</math>是一個質數。
#*以下列出<math>100</math>以內的<math>25</math>個質數：<math>2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97</math>，質數當中只有一個偶數<math>2</math>，因為除了<math>2</math>以外，其他偶數都有額外多一個<math>2</math>這個因數。質數當中末位數字是<math>5</math>的也只有<math>5</math>一個，因為除了<math>5</math>以外，末位數字是<math>5</math>的整數就必然會有<math>5</math>這個額外的因數。
#如果除此之外<math>n</math><span style="color:blue">還有</span>其他因數，那麼<math>n</math>我們稱為<span style="color:blue">合數</span><ref group="註">合數就是「合成數」。</ref>(composite number)。
#*例如<math>12</math>的因數除了<math>1</math>和<math>12</math>之外還有<math>2,3,4,6</math>，所以<math>12</math>是一個合數。
#*常常會被誤判成質數的合數：<math>51,57,87,91</math>。
#<math>1</math>既不是質數也不是合數。
#埃拉托斯特尼篩法<ref group="註">[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%83%E6%8B%89%E6%89%98%E6%96%AF%E7%89%B9%E5%B0%BC%E7%AD%9B%E6%B3%95 維基百科：厄拉托西尼]</ref>為一種找出質數的方法。

{{ExampleRobox|title=例題<math>2</math>：民國99年第二次基測第2題}}下列選項中表示的數，哪一個是質數？<br/>
<math>\begin{matrix}
(A)2 \times 13  &&(B)1 \times 12  &&(C)1 \times 79  &&(D)7 \times 13
\end{matrix}</math> 
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}質數只有兩個因數<math>1</math>和自己本身，也就是說質數只能有一種乘法分解的形式：<math>1 \times </math>它自己。故<math>(A)(D)</math>錯誤。<br/>
<math>(B) 12</math>為合數，<math>(C) 79</math>為質數，故選<math>(C)</math>。
{{Robox/Close}}
'''習題'''<br/>
下列四個數，哪一個不是質數？(96.第一次基測第7題)<ref group="習題解答"><math>(D)</math>。</ref><br/>
<math>\begin{matrix}
(A)41  &&(B)61  &&(C)71  &&(D)91
\end{matrix}</math>

==質因數分解與標準分解式==
===質因數===
當一個正整數<math>p</math>既是<span style="color:red">質數</span>，也是正整數<math>n</math>的因數，則我們稱<math>p</math>為<math>n</math>的<span style="color:blue">質因數</span>。<br/>
例如：<math>15</math>的因數有<math>1,3,5,15</math>，其中<math>3,5</math>都是質數，故<math>3,5</math>是<math>15</math>的質因數。<br/>
'''習題'''<br/>
<math>(1)</math>請列出所有<math>42</math>的因數。<ref group="習題解答"><math>1,2,3,6,7,14,21,42</math>。</ref><br/>
<math>(2)</math><math>42</math>的質因數有哪些？<ref group="習題解答"><math>2,3,7</math>。</ref><br/>
===質因數分解===
國小學過使用<span style="color:red">短除法</span>將一個整數做質因數分解。而短除法的計算步驟如下：<br/>
1.如果<math>n</math>是質數則不用做以下的事情。<br/>
2.找出正整數<math>n</math>的質因數<math>p</math>，並計算<math>n \div p</math>的結果，在<math>n</math>周圍畫出「L」，並將質因數<math>p</math>放置在「L」左邊，計算出來的商放置在「L」下層。<br/>
*以<math>48</math>做例子：
*<math>48</math>的質因數有一個是<math>2</math>，所以先用<math>2</math>，而<math>48 \div 2 = 24</math>，所以寫法是：
*<math>\begin{array}{lcl}
2\underline{)48}\\
{\color{White}0\underline{)}}24\\
\end{array}</math>
3.如果上一步的結果為質數，那麼就結束；如果不是，就一直重複第2個步驟。
*以<math>48</math>做例子：
*因為<math>24</math>不是質數所以要繼續，<math>24</math>的質因數有一個是<math>2</math>，所以用<math>2</math>除，而<math>24 \div 2 = 12</math>，所以寫法是：
*<math>\begin{array}{lcl}
2\underline{)48}\\
2\underline{)24}\\
{\color{White}0\underline{)}}12\\
\end{array}</math><br/>
*因為<math>12</math>不是質數所以要繼續，<math>12</math>的質因數有一個是<math>2</math>，所以用<math>2</math>除，而<math>12 \div 2 = 6</math>，所以寫法是：
*<math>\begin{array}{lcl}
2\underline{)48}\\
2\underline{)24}\\
2\underline{)12}\\
{\color{White}0\underline{)0}}6\\
\end{array}</math><br/>
*因為<math>6</math>不是質數所以要繼續，<math>6</math>的質因數有一個是<math>2</math>，所以用<math>2</math>除，而<math>6 \div 2 = 3</math>，所以寫法是：
*<math>\begin{array}{lcl}
2\underline{)48}\\
2\underline{)24}\\
2\underline{)12}\\
2\underline{){\color{White}0}6}\\
{\color{White}0\underline{)0}}3\\
\end{array}</math><br/>
*因為<math>3</math>是質數所以結束了。
4.將所有「L」外圍(左邊與最下面)的數字寫成連乘法就完成<span style="color:blue">質因數分解</span>。
*以<math>48</math>為例，<math>48=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3</math>。

===標準分解式===
由[[國中數學/國中數學七年級/1-4 指數記法與科學記號|1-4 指數記法與科學記號]]單元知道相同數字連乘可以寫成指數的形式。將<math>n</math>的質因數分解表示成'''質因數由小到大排列'''且寫成'''質因數次方'''的形式，我們稱這樣的式子為<math>n</math>的<span style="color:blue">標準分解式</span>。
*以<math>48</math>為例，<math>48=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^{4} \times 3</math>，<math>2^{4} \times 3</math>稱為<math>48</math>的標準分解式。

===倍數判別法===
在上面的說明當中，找出一個整數的質因數是相當難的事情。如<math>221</math>的質因數是多少？或是[https://zh.wikipedia.org/wiki/RSA%E5%8A%A0%E5%AF%86%E6%BC%94%E7%AE%97%E6%B3%95 RSA-155]<math>39505874583265144526419767800614481996020776460304936454139376051579355626529450683609
727842468219535093544305870490251995655335710209799226484977949442955603</math>的質因數分解為何？<br/>
所以學習一些質數倍數的判別法就顯得相當重要。底下列出質數<math>2,3,5,11</math>的質數判別法。其餘的質數判別法或是合數倍數判別法，可以參考[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E9%99%A4%E8%A7%84%E5%88%99 整除規則]。
{| class="wikitable"
! 質數
! 倍數判別法
! 例子
|-
| <center><math>2</math></center>
| <center>末位數字為<math>0,2,4,6,8</math>。</center>
| <math>0</math>是<math>2</math>的倍數。<ref group="註">[https://www.storm.mg/lifestyle/2253192 0是偶數嗎？]</ref>
|-
| <center><math>3</math></center>
| <center>各位數字和為<math>3</math>的倍數。</center>
| <math>123456</math>是<math>3</math>的倍數，因為<math>1+2+3+4+5+6=21</math>，<math>21</math>是<math>3</math>的倍數。<ref group="註">有些人會主張最後的結果要是一位數，這個結果稱為數字的'''數根'''，在這個例子<math>123456</math>的數根為<math>2+1=3</math>。所以有另外一個說法為數根為<math>0,3,6,9</math>的整數都是<math>3</math>的倍數。</ref>
|-
| <center><math>5</math></center>
| <center>末位數字為<math>0,5</math>。</center>
| <math>12345</math>是<math>5</math>的倍數。
|-
| <center><math>11</math></center>
|<center>個位數字為第<math>1</math>位，十位數字為第<math>2</math>位，百位數字為第<math>3</math>位，……，依此類推，</center><br/> 
<center>奇數位數字和與偶數位數字相減的結果為<math>0</math>或<math>11</math>的倍數。</center>
| <math>{\color{red}4}{\color{blue}0}{\color{red}3}{\color{blue}0}{\color{red}8}{\color{blue}4}</math>是<math>11</math>的倍數，因為奇數位數字和為<math>{\color{blue}4+0+0=4}</math>，偶數位數字和為<math>{\color{red}8+3+4=15}</math>，<math>{\color{blue}4}-{\color{red}15}=-11</math>為<math>11</math>的倍數。<ref group="註">可以用大的減小的避免負數的情形。</ref>
|}

==註解==

<references group="註" />

==習題解答==

<references group="習題解答" />

[[Category:國中數學]]