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{{header2
|previous=[[國中數學/國中數學七年級/6-2 正比與反比|6-2 正比與反比]]
|next=[[國中數學/國中數學七年級/7-2 解一元一次不等式|7-2 解一元一次不等式]]
|title=[[國中數學/國中數學七年級|國中數學七年級]]
|section=7-1 一元一次不等式
}}
在生活情境當中，有一些'''限制'''的情況，比方說：
#未滿<math>18</math>歲的青少年不宜觀看限制級電影。<ref group="註">資料來源：[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%BB%E5%BD%B1%E5%88%86%E7%B4%9A%E5%88%B6%E5%BA%A6 電影分級制度]</ref>
#如果車子的高度高於<math>3.5</math>公尺不能通過一些隧道。
#汽車在一般道路上通常速限不高於每小時<math>50</math>公里。
#在<u>台北市</u>搭乘公車時，兒童身高未滿<math>115</math>公分者免費，或身高滿<math>115</math>公分而未滿<math>6</math>歲且持有身份證明之兒童免費，免費兒童應由已購全票之乘客攜帶，最多以<math>2</math>人為限，逾限仍須購買車票。<ref group="註">資料來源：[http://www.busgroup.org.tw/WebMaster/?section=46 台北市公共汽車客運同業公會]</ref>
在第七章，我們將會探索這類問題。而本節首先帶領各位認識這類問題的式子以及列式。
==不等號的認識==
要學習本章節，首先要先認識以下的不等號以及其常見用語：(以下整理自各大版本之數學課本)
{| class="wikitable"
! <center>不等號</center>
! <center>名稱</center>
! <center>常見用語</center>
|-
| <center><math>></math></center>
| <center>大於</center>
| <center>高於、多於、超過、比…大</center>
|-
| <center><math><</math></center>
| <center>小於</center>
| <center>低於、少於、比…小、未滿、未達、不到、不夠、不足</center>
|-
| <center><math>\geq</math></center>
| <center>大於等於</center>
| <center>不小於、不低於、不少於、至少、最少為、以上(含)</center>
|-
| <center><math>\leq</math></center>
| <center>小於等於</center>
| <center>不大於、不高於、不多於、至多、最多為、不超過、不逾、以下(含)</center>
|-
|-
| <center><math>\neq</math></center>
| <center>不等於</center>
| <center>不是、不相等、相異</center>
|-
|}
{{ExampleRobox|title=例題<math>1</math>}}將以下敘述寫成不等式。<br/>
<math>(1) x</math>不超過<math>13</math>。<br/>
<math>(2) 2y</math>比<math>32</math>大。<br/>
<math>(3) a</math>的<math>7</math>倍多<math>4</math>不低於<math>29</math>。<br/>
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>(1)</math>「不超過」指的是<math>\leq</math>，所以「<math>x</math>不超過<math>13</math>」可以寫作<math>x \leq 13</math>。<br/>
<math>(2)</math>「比…大」指的是<math>></math>，所以「<math>2y</math>比<math>32</math>大」可以寫作<math>2y > 32</math>。<br/>
<math>(3)</math>「不低於」指的是<math>\geq</math>，而<math>a</math>的<math>7</math>倍多<math>4</math>是<math>7a+4</math>，所以「<math>a</math>的<math>7</math>倍多<math>4</math>不低於<math>29</math>」可以寫作<math>7a+4 \geq 29</math>。<br/>
{{Robox/Close}}
'''小測'''
<quiz>

{「<math>x</math>超過<math>12</math>」可以寫成以下哪一個不等式？
|type="()"}
- <math>x<12</math>
+ <math>x>12</math>
- <math>x \leq 12</math>
- <math>x \geq 12</math>

{「<math>2y+3</math>不大於<math>9</math>」可以寫成以下哪一個不等式？
|type="()"}
- <math>2y+3<9</math>
- <math>2y+3>9</math>
+ <math>2y+3 \leq 9</math>
- <math>2y+3 \geq 9</math>

{「<math>5z-7</math>至少是<math>66</math>」可以寫成以下哪一個不等式？
|type="()"}
- <math>5z-7<66</math>
- <math>5z-7>66</math>
- <math>5z-7 \leq 66</math>
+ <math>5z-7 \geq 66</math>

{「<math>36</math>比<math>4y-9</math>大」可以寫成以下哪一個不等式？
|type="()"}
+ <math>4y-9<36</math>
- <math>4y-9>36</math>
- <math>4y-9 \leq 36</math>
- <math>4y-9 \geq 36</math>

{哪一個敘述'''不能'''寫成「<math>x<7</math>」？
|type="()"}
- <math>x</math>未達<math>7</math>
- <math>x</math>不到<math>7</math>
+ <math>x</math>不逾<math>7</math>
- <math>x</math>不足<math>7</math>

{「<math>5x+2</math>不小於<math>3x-7</math>」可以寫成以下哪一個不等式？
|type="()"}
- <math>5x+2<3x-7</math>
- <math>5x+2>3x-7</math>
- <math>5x+2 \leq 3x-7</math>
+ <math>5x+2 \geq 3x-7</math>
</quiz>
<br/>
===一元一次不等式===
形如<math>x \leq 13</math>、<math>2y > 32</math>、<math>7a+4 \geq 29</math>等只有出現一個未知數('''一元''')，而且未知數的最高次方為<math>1</math>('''一次''')的'''不等式'''，我們稱這些式子為<span style="color:red">一元一次不等式</span>。<br/>
===生活應用===
認識了常見用語之後，讓我們來看看生活的應用：
{{ExampleRobox|title=例題<math>2</math>}}已知<u>台灣</u>高鐵公司規定：未滿<math>12</math>歲之兒童得購買孩童票<ref group="註">資料來源：[https://m.thsrc.com.tw/tw/Article/ArticleContent/43d5e5e2-3777-46b9-bc8f-8b5b579b50ed 台灣高鐵網站]</ref>。若<u>雨婷</u>需要購買兒童票，而且<u>雨婷</u>今年<math>x</math>歲，則依題意可以列出一元一次不等式為何？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}因為<u>雨婷</u>需要購買兒童票，所以<u>雨婷</u>的年齡未滿<math>12</math>歲，又因為「未滿」是「<math><</math>」，<u>雨婷</u>的年齡是<math>x</math>歲，所以依題意可以列出一元一次不等式<math>x<12</math>。而又因為年齡永遠是正數，所以<math>x>0</math>，於是綜合起來為「<math>0<x<12</math>」<ref group="註">有些版本會忽略<math>x>0</math>這個部分，因為情境中<math>x>0</math>是自然發生的。</ref>
{{Robox/Close}}
'''習題'''<br/>
<math>1.</math>我國高速公路的最高限速為<math>100</math>公里，已知<u>以涵</u>因為超速所以收到罰單，而當時<u>以涵</u>開車的時速為每小時<math>x</math>公里，則依題意可以列出一元一次不等式為何？<ref group="習題解答"><math>x>110</math>（有10公里的寬限值）</ref><br/>
<math>2.</math><u>紹華</u>的媽媽規定<u>紹華</u>每天使用電腦的時間不多於<math>3</math>小時，若<u>紹華</u>今天沒有違規，而且<u>紹華</u>使用電腦<math>y</math>小時，則依題意可以列出一元一次不等式為何？<ref group="習題解答"><math>0 \leq y \leq 3</math></ref><br/>
{{ExampleRobox|title=例題<math>3</math>}}便利商店每個飯糰<math>32</math>元，每瓶綠茶<math>25</math>元，<u>小玉</u>買了<math>x</math>個飯糰和<math>1</math>瓶綠茶，而且<u>小玉</u>的花費不超過<math>200</math>元，則依題意可以列出一元一次不等式為何？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}因為<u>小玉</u>買飯糰花了<math>32x</math>元，買綠茶花了<math>25 \times 1 =25</math>元，所以總花費為<math>32x+25</math>，又題目說且<u>小玉</u>的花費不超過<math>200</math>元，「不超過」指的是「<math>\leq</math>」，所以依題意可以列出一元一次不等式「<math>32x+25 \leq 200</math>」。
{{Robox/Close}}

'''習題'''<br/>
<math>3.</math><u>達達</u>原本有存款<math>50</math>元，他想要每天存<math>20</math>元，則<math>x</math>天之後他的存款將超過<math>500</math>元。請依題意列出一元一次不等式。<ref group="習題解答"><math>50+20x>500</math></ref><br/>
<math>4.</math><u>美琪</u>有存款<math>y</math>元，<u>美玲</u>的存款有<math>150</math>元。已知<u>美琪</u>存款的<math>2</math>倍少<math>10</math>元不少於<u>美玲</u>的存款，請依題意列出一元一次不等式。<ref group="習題解答"><math>2y-10 \geq 150</math></ref><br/>
<br/>
在這邊提醒一件事，在進行列式的時候，要注意數量之間的關係，而且也根據題意判別是「<math>></math>(大於)」、「<math><</math>(小於)」、「<math>\geq</math>(大於或等於)」或「<math>\leq</math>(小於或等於)」。
{{ExampleRobox|title=例題<math>4</math>}}<u>婉芬</u>前三次的數學小考分別是<math>88</math>、<math>91</math>、<math>x</math>分，而且<u>婉芬</u>前三次的數學小考平均不到<math>90</math>分，則依題意可以列出一元一次不等式為何？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}因為<u>婉芬</u>前三次小考的總分為<math>(88+91+x)</math>分，所以平均為<math>\frac{88+91+x}{3}</math>分，又題目說<u>婉芬</u>前三次的數學小考平均不到<math>90</math>分，「不到」指的是「<math><</math>」，所以依題意可以列出一元一次不等式「<math>\frac{88+91+x}{3}<90</math>」。
{{Robox/Close}}
例題<math>4</math>還有一個另解，那就是平均不到<math>90</math>分，代表總分不到<math>90 \times 3=270</math>分，所以也可以列式為<math>88+91+x<270</math>。

==一元一次不等式的解==
滿足一元一次不等式的所有數值我們稱作一元一次不等式的'''解'''。舉例說明如下：
*以<math>x \leq 13</math>為例：
#「<math>x=12</math>」是「<math>x \leq 13</math>」的解，因為將<math>x=12</math>代入<math>x \leq 13</math>得到<math>12 \leq 13</math>，符合不等式。
#「<math>x=13</math>」是「<math>x \leq 13</math>」的解，因為將<math>x=13</math>代入<math>x \leq 13</math>得到<math>13 \leq 13</math>，符合不等式(<math>\leq</math>只要「小於」或「等於」'''任一個成立'''即可)。
#「<math>x=14</math>」'''不是'''「<math>x \leq 13</math>」的解，因為將<math>x=14</math>代入<math>x \leq 13</math>得到<math>14 \leq 13</math>，'''不符合'''不等式。
*以<math>2y>32</math>為例：
#「<math>y=15</math>」'''不是'''「<math>2y>32</math>」的解，因為將<math>y=15</math>代入<math>2y>32</math>得到<math>30>32</math>，不符合不等式。
#「<math>y=16</math>」也'''不是'''「<math>2y>32</math>」的解，因為將<math>y=16</math>代入<math>2y>32</math>得到<math>32>32</math>，不符合不等式。
#「<math>y=17</math>」是「<math>2y>32</math>」的解，因為將<math>y=17</math>代入<math>2y>32</math>得到<math>34>32</math>，符合不等式。
#「<math>y=16.1</math>」也是「<math>2y>32</math>」的解，因為將<math>y=16.1</math>代入<math>2y>32</math>得到<math>32.2>32</math>，符合不等式。
我們可以發現一元一次不等式的解在<span style="color:red">'''沒有要求'''</span>的情況下會有'''無限多個'''。
{{ExampleRobox|title=例題<math>5</math>}}<math>x=5</math>、<math>x=6</math>、<math>x=7</math>三數中，有哪些是<math>3x+1 \geq 2x+7</math>的解？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>(1)</math>將<math>x=5</math>代入<math>3x+1 \geq 2x+7</math>可得<math>3 \times 5+1 \geq 2 \times 5+7</math>，計算化簡得<math>16 \geq 17</math>不符合不等式，故<math>x=5</math>不是<math>3x+1 \geq 2x+7</math>的解。<br/>
<math>(2)</math>將<math>x=6</math>代入<math>3x+1 \geq 2x+7</math>可得<math>3 \times 6+1 \geq 2 \times 6+7</math>，計算化簡得<math>19 \geq 19</math>符合不等式，故<math>x=6</math>是<math>3x+1 \geq 2x+7</math>的解。<br/>
<math>(3)</math>將<math>x=7</math>代入<math>3x+1 \geq 2x+7</math>可得<math>3 \times 7+1 \geq 2 \times 7+7</math>，計算化簡得<math>22 \geq 21</math>符合不等式，故<math>x=7</math>是<math>3x+1 \geq 2x+7</math>的解。<br/>
故是<math>3x+1 \geq 2x+7</math>的解有<math>x=6</math>與<math>x=7</math>。
{{Robox/Close}}
'''小測'''
<quiz>

{哪些是不等式「<math>y\leq 15</math>」的解？(複選題)
|type="[]"}
+ <math>13</math>
+ <math>14</math>
+ <math>15</math>
- <math>15.1</math>
+ <math>14.9</math>

{哪些是不等式「<math>3x+1\geq 16</math>」的解？(複選題)
|type="[]"}
- <math>4</math>
+ <math>5</math>
+ <math>6</math>
- <math>4\frac{2}{3}</math>
+ <math>\frac{21}{4}</math>

{「<math>a=15</math>」為以下哪些一元一次不等式的解？(複選題)
|type="[]"}
- <math>a<15</math>
+ <math>a \geq 15</math>
+ <math>2a \leq 40</math>
- <math>2a+3>a+20</math>
- <math>3a+16<4a+1</math>

</quiz>
===生活應用===
不等式的解可以應用在生活上。以下是幾個例子：
{{ExampleRobox|title=例題<math>6</math>}}<u>金聯</u>超市周年慶，全店商品依原價打七折出售。<u>偉德</u>有<math>70</math>元，<br/>
<math>(1)</math>假設他可以購買原價<math>x</math>元的商品，依題意我們可以列出一元一次不等式為何？<br/>
<math>(2)</math>他夠不夠買一包原價<math>90</math>元的消化餅呢？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>(1)</math>原價<math>x</math>元的商品，打七折之後為<math>0.7x</math>元，因為<u>偉德</u>可以購買原價<math>x</math>元的商品，所以<math>0.7x</math>不超過<math>70</math>，即<math>0.7x \leq 70</math>。<br/>
<math>(2)</math>將<math>x=90</math>代入<math>0.7x \leq 70</math>可以得到<math>0.7 \times 90 \leq 70</math>，化簡得<math>63 \leq 70</math>符合不等式，故<u>偉德</u>夠買一包原價<math>90</math>元的消化餅。
{{Robox/Close}}
'''習題'''<br/>
<math>5.</math><u>小佳</u>手機的基本費為<math>300</math>元，每通話一秒需支付<math>0.06</math>元。若<u>小佳</u>上個月總共的電話帳單不少於<math>450</math>元，而且她上個月總共通話<math>x</math>秒，則：<br/>
*<math>(1)</math>依題意可以列出一元一次不等式為何？<ref group="習題解答"><math>300+0.06x \geq 450</math></ref><br/>
*<math>(2)</math><u>小佳</u>上個月可能總共通話<math>200</math>秒嗎？<ref group="習題解答">不可能。</ref><br/>
'''進階挑戰'''<br/>
<math>6.</math><u>孟臻</u>參加數學競試，總共<math>25</math>題，答對一題得<math>4</math>分，答錯一題倒扣<math>1</math>分，沒做答不得分也不倒扣。已知<u>孟臻</u>未作答<math>3</math>題，而且她的分數高於<math>70</math>分。<br/>
*<math>(1)</math>依題意可以列出一元一次不等式為何？<ref group="習題解答"><math>4x-(22-x)>70</math></ref><br/>
*<math>(2)</math><u>俊澤</u>說：「<u>孟臻</u>可能只答對<math>18</math>題。」你認為<u>俊澤</u>說的是否合理？<ref group="習題解答">不合理，因為此時<u>孟臻</u>只得到<math>68</math>分，沒有高於<math>70</math>分。</ref><br/>

==一元一次不等式解的圖形==
每個人繪製一元一次不等式的圖形不盡相同，但是都會秉持一個原則：<span style="color:red">有等號為實心，沒等號為空心</span>。以下是一些常見的繪製圖形：
{| class="wikitable"
! <center>不等式</center>
! <center>圖形畫法<math>1</math></center>
! <center>圖形畫法<math>2</math></center>
|-
| <center><math>x>2</math></center>
| <center>[[File:X＞2.jpg|thumb|500px]]</center>
| <center>[[File:X大於2.jpg|thumb|500px]]</center>
|-
| <center><math>x<2</math></center>
| <center>[[File:X＜2.jpg|thumb|500px]]</center>
| <center>[[File:X小於2.jpg|thumb|500px]]</center>
|-
| <center><math>x \geq 2</math></center>
| <center>[[File:X大於等於2.jpg|thumb|500px]]</center>
| <center>[[File:X≧2.jpg|thumb|500px]]</center>
|-
| <center><math>x \leq 2</math></center>
| <center>[[File:X≦2.jpg|thumb|500px]]</center>
| <center>[[File:X小於等於2.jpg|thumb|500px]]</center>
|-
|}

==習題解答==
<references group="習題解答" />

==註解==
<references group="註" />

==參考資料==
#[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E7%AD%89%E8%99%9F 維基百科：不等號]
#[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F 維基百科：不等式]

==以後會用到不等式的單元==
*[[國中數學/國中數學八年級/2-1 二次方根的意義|根號]]
*[[國中數學/國中數學八年級/4-2 配方法與公式解|配方法與公式解]]
*[[國中數學/國中數學八年級/8-7 三角形的邊角關係|三角形的邊角關係]]
*[[國中數學/國中數學九年級/4-1 二次函數的圖形|二次函數]]
*[[高中數學/高中數學一年級/1-2 式的運算#一元一次不等式|一元一次不等式(高中數學)]](討論兩段式的一元一次不等式)
*[[高中數學/高中數學一年級/6-1 基本計數原理#邏輯與命題|邏輯與命題(高中數學)]]
[[Category:國中數學]]