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|previous=[[國中數學/國中數學七年級/7-3 一元一次不等式的應用問題|7-3 一元一次不等式的應用問題]]
|next=[[國中數學/國中數學七年級/8-2 三視圖|8-2 三視圖]]
|title=[[國中數學/國中數學七年級|國中數學七年級]]
|section=8-1 垂直與線對稱
}}
本單元為國中階段第一次的幾何課程，我們將從最簡單的幾何圖形開始介紹。
==幾何圖形==
===點===
點(point)是最基本的幾何圖形，一個點只代表'''位置'''，它不具有'''大小'''與'''長度'''。
====點的命名====
通常我們會使用大寫英文字母<math>A</math>、<math>B</math>、<math>C</math>、<math>P</math>、<math>Q</math>等標示點，並稱呼為「什麼點」或「點什麼」。<br/>
Example：用大寫字母<math>A</math>標示的點我們稱為<math>A</math>點或點<math>A</math>。(如下圖所示)
===線===
任意兩點就可以決定唯一的一條直線。(這是[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E5%87%A0%E4%BD%95 歐幾里得幾何公理]之一，有興趣的同學可以點入連結參看。)
#直線
#*兩端可以無限延長的線我們稱作直線。
#*直線'''<span style="color:red">沒有</span>'''長度和寬度，也沒有方向性。
#*直線的命名：除非要特別說明這條直線過兩點<math>A</math>與<math>B</math>我們記錄成<math>\overleftrightarrow{AB}</math>之外，其餘大部分都是在直線旁邊標示大寫英文字母<math>L</math>、<math>M</math>、<math>N</math>等符號，若需要表示更多直線就會在大寫英文字母<math>L</math>左下方寫上小小的數字（稱為<span style="color:red">下標</span>），形如<math>L_1</math>、<math>L_2</math>、<math>L_3</math>……等等。
#*點<math>P</math>在直線<math>L</math>上代表'''<span style="color:red">直線</span><math>{\color{red}L}</math><span style="color:red">會通過</span><math>{\color{red}P}</math><span style="color:red">點</span>'''。
#*若<math>A</math>與<math>B</math>為任意兩點，則<math>\overleftrightarrow{AB}</math>與<math>\overleftrightarrow{BA}</math>這兩個直線的表達方式代表<span style="color:red">相同的直線</span>。
#線段
#*兩端都不可以延伸的線我們稱作線段。
#*線段具有'''<span style="color:red">長度</span>'''，但沒有寬度與方向性。
#*線段的命名：通過兩點<math>A</math>與<math>B</math>的線段我們可以記錄成<math>\overline{AB}</math>或<math>\overline{BA}</math>，其中<math>\overline{AB}</math>讀作「線段<math>AB</math>」或「<math>AB</math>線段」。
#*因為線段具有長度，故有時<math>\overline{AB}</math>會表示線段的長度。如<math>\overline{AB}</math>的長度為<math>5</math>公分，我們可以寫作<math>\overline{AB}=5</math>公分。
#*線段可以比大小：
#*#若<math>\overline{AB}</math>比<math>\overline{CD}</math>長，代表將<math>A</math>點與<math>C</math>點重合之後，<math>D</math>點會介於<math>A</math>、<math>B</math>兩點之間，此時我們可以寫作<math>\overline{AB}>\overline{CD}</math>。
#*#若<math>\overline{AB}</math>比<math>\overline{CD}</math>短，代表將<math>A</math>點與<math>C</math>點重合之後，<math>D</math>點會落在<math>\overline{AB}</math>之外，此時我們可以寫作<math>\overline{AB}<\overline{CD}</math>。
#*#若<math>\overline{AB}</math>比<math>\overline{CD}</math>等長，代表將<math>A</math>點與<math>C</math>點重合之後，<math>D</math>點會與<math>B</math>點重合，此時我們可以寫作<math>\overline{AB}=\overline{CD}</math>。
#*點<math>P</math>在<math>\overline{AB}</math>上代表'''<math>{\color{red}\overline{AB}}</math><span style="color:red">會通過</span><math>{\color{red}P}</math><span style="color:red">點</span>'''。
#射線
#*只有一端可以無限延長的線我們稱作射線。
#*射線具有'''<span style="color:red">方向性</span>'''，但沒有長度與寬度。
#*線段的命名：若<math>A</math>點不可無限延伸，但<math>B</math>點可以，我們將此射線記錄成<math>\overrightarrow{AB}</math>，讀作「射線<math>AB</math>」或「<math>AB</math>射線」。
#**注意：不可以紀錄為<math>\overrightarrow{BA}</math>，因為這代表<math>A</math>點可以無限延伸，但<math>B</math>點不可。
#**由此可知<math>\overrightarrow{AB}</math>並不等於<math>\overrightarrow{BA}</math>。
#*點<math>P</math>在<math>\overrightarrow{AB}</math>上代表<math>{\color{red}\overrightarrow{AB}}</math><span style="color:red">會通過</span><math>{\color{red}P}</math><span style="color:red">點</span>'''。

===角===
<small>參見：[[國中數學/國中數學八年級/8-1 角|國中數學/國中數學八年級/8-1 角]]</small><br/>
兩射線如果使用相同的起點，則會形成一個'''角'''，此起點我們稱為角的'''頂點'''。
{| class="wikitable"
! 角的種類
! <center>定義</center>
|-
| 銳角
| 介於0度到90度的角
|-
| 直角
| 等於90度的角
|-
| 鈍角
| 介於90度到180度的角
|-
| 平角
| 等於180度的角
|-
| 優角
| 介於180度到360度的角
|-
| 周角
| 等於360度的角
|}
====角的命名====
[[File:AngoloOttuso.png|thumb|right|500px|]]
#可以直接在角上面標示<math>1</math>、<math>2</math>、<math>3</math>、<math>4</math>、……，並稱呼為「<math>\angle 1</math>(讀作角<math>1</math>)」、「<math>\angle 2</math>」、「<math>\angle 3</math>」、「<math>\angle 4</math>」等等。
#在不會造成混淆的情況下，可以標示出頂點，並利用頂點命名。例如有一個角的頂點為<math>A</math>，我們稱此角為<math>\angle A</math>。
#若有可能造成混淆，可以在兩射線上各取一點，並以順時針或逆時針的方式報讀角的名字。如右圖為<math>\angle BAC</math>(順時針)或<math>\angle CAB</math>(逆時針)<ref group="註">數學上常常使用逆時針的命名方式，知名數學軟體Geogrbra就是使用逆時針的方式畫出角度。</ref>，但不可以稱<math>\angle ACB</math>或<math>\angle ABC</math>(即<span style="color:red">頂點必須在中間</span>)。
*下圖為一個可能會造成混淆的例子：
{| class="wikitable"
![[File:角BAC.jpg|thumb]]
|}
*如果只是說<math>\angle A</math>，不知道是要表達<math>\angle BAC</math>、<math>\angle BAD</math>還是<math>\angle CAD</math>。
*如果要表示最大的那個角，應該要用<math>\angle BAC</math>來說明比較好。

===三角形===
由三個點用線段互相連起來的圖形，我們稱為三角形。三角形具有<math>3</math>條邊、<math>3</math>個角與<math>3</math>個頂點。是中學時期學習最多的形狀。
*依內角的大小可以將三角形區分成三類：
{| class="wikitable"
! <center>三角形種類</center>
! <center>說明</center>
|-
| 銳角三角形 
| 三個內角都是銳角
|-
| 直角三角形
| 三個內角當中有一個直角
|-
| 鈍角三角形
| 三個內角當中有一個鈍角
|}
*其中，依邊的長短可以分出特別的兩類三角形：
{| class="wikitable"
! <center>三角形種類</center>
! <center>說明</center>
|-
| 等腰三角形
| 其中兩條邊等長
|-
| 正三角形
| 三條邊都等長
|}
====三角形的命名====
三角形的命名如同角的命名，可以順時針報讀或逆時針報讀，但它跟角報讀方式的不同之處在於三角形可以從任何點開始。如下圖，你可以稱下面這個三角形為<math>\triangle ABC</math>、<math>\triangle ACB</math>、<math>\triangle BAC</math>、<math>\triangle BCA</math>、<math>\triangle CAB</math>、<math>\triangle CBA</math>。<br/>
但在大部分的情形<ref group="註">在全等三角形的地方有時為了對應點的對應關係，所以我們沒有按照英文字母順序排列。</ref>我們會習慣將英文字母按照順序排列，記作<math>\triangle ABC</math>，讀作「三角形<math>ABC</math>」，很少人稱作「<math>ABC</math>三角形」。
{| class="wikitable"
| [[File:Bisambahu tringle.JPG|thumb|left]]
|}

===多邊形===
由<math>3</math>個點以上(含)，相鄰的兩點以線段連成一圈的圖形，我們稱為多邊形。
*一個<math>n</math>邊形有<math>n</math>個頂點、<math>n</math>條邊與<math>n</math>個角。
*三角形也是一種多邊形。
*國中階段會比較著墨在三角形、四邊形與正多邊形上。
*多邊形的稱呼：從某一個頂點出發，依序以順時針或逆時針的順序報讀各頂點。一樣的，習慣上我們會按照英文字母的順序報讀。
{|class="wikitable"
|[[File:Quadrilateral definition.png|thumb|center]]
|-
|此四邊形可以稱呼它為四邊形<math>ABCD</math>或四邊形<math>BADC</math>等等，但不能稱呼為四邊形<math>ACBD</math>。
|}
*多邊形的對角線：不相鄰的兩點連成的線，我們稱為<span style="color:blue">對角線</span>。[[File:Pentagram pentagon.svg|thumb|圖中畫出五邊形所有的對角線。]]
**補充：<math>n</math>邊形的對角線有<math>\frac{n \times(n-3)}{2}</math>個頂點。
*若對角線全部都在圖形之內，我們稱此圖形為<span style="color:blue">凸多邊形</span>，若有一條對角線的部分會在圖形之外，則我們稱此圖形為<span style="color:blue">凹多邊形</span>。
**在國中數學內，沒有特別強調時，談論的圖形都是凸多邊形。
{| class="wikitable"
|[[File:Polygone-convexe.png|thumb|left|凸六邊形的例子。所有對角線(紅色線段)都在圖形內。]]
|[[File:Polygone-concave.png|thumb|left|凹五邊形的例子。綠色的對角線有部分超出圖形之外。]]
|}

===圓===
<small>參見：[[國中數學/國中數學九年級/2-1 點、線、圓|國中數學/國中數學九年級/2-1 點、線、圓]]</small><br/>
在平面上，與一固定點<math>A</math>距離相同的所有點形成的圖形，我們稱為'''圓'''，其中「相同的距離」我們稱為'''半徑'''。

==垂直==
當兩直線(或線段)的夾角剛好是直角時，我們稱兩直線(或線段)垂直，並使用「<math>\bot</math>」表示。如下圖直線<math>l</math>與直線<math>g</math>垂直，我們可以寫作「<math>l \bot g</math>」。
{| class="wikitable"
| [[File:01-Lot fällen-1.svg|thumb]]
|}

===垂線===
垂線：一直線與直線<math>L</math>的夾角為直角(兩直線互相'''垂直''')，則我們稱此直線為'''<span style="color:blue">垂線</span>'''。<br/>
1.一條直線<math>L</math>的垂線有'''無限多條'''。
*如下圖當中，<math>L_{1}</math>、<math>L_{2}</math>與<math>L_{3}</math>都是<math>L</math>的垂線。
*當然，只要在畫一條直線，其夾角與直線<math>L</math>成<math>90</math>度的時候，這條直線也會是直線<math>L</math>的垂線。
{| class="wikitable"
|[[File:垂線.jpg|thumb]]
|}
2.過<math>L</math>線上一點作<math>L</math>的垂線'''<span style="color:red">只有一條</span>'''。<br/>
*如上圖當中，過<math>A</math>點且與<math>L</math>垂直的直線只有<math>L_1</math>一條。
3.過<math>L</math>線外一點作<math>L</math>的垂線'''<span style="color:red">只有一條</span>'''。

===垂足===
兩垂直的直線(或線段)所相交的點，我們稱為'''<span style="color:blue">垂足</span>'''。如上圖當中的<math>A</math>、<math>B</math>、<math>C</math>三點，分別是直線<math>L</math>與<math>L_1</math>、<math>L_2</math>、<math>L_3</math>的垂足。
==平分==
設一線段<math>\overline{AB}</math>，若點<math>P</math>在<math>\overline{AB}</math>上且滿足<math>\overline{PA}=\overline{PB}</math>，則我們稱<math>P</math>點'''<span style="color:blue">平分</span>'''<math>\overline{AB}</math>，<math>P</math>點也稱作<math>A</math>、<math>B</math>兩點的'''<span style="color:blue">中點</span>'''。
[[File:垂直平分線.jpg|thumb|垂直平分線]]
==垂直平分線(中垂線)==
若<math>P</math>點平分<math>\overline{AB}</math>，則過<math>P</math>點且與<math>\overline{AB}</math>垂直的直線我們稱為<math>\overline{AB}</math>的'''<span style="color:blue">垂直平分線</span>'''，又稱作'''<span style="color:blue">中垂線</span>'''。
#只有線段才有垂直平分線，直線與射線沒有。
#一條線段的垂直平分線只有一條。

==線對稱圖形==
#線對稱圖形的意義：將一個平面圖形沿著某一條直線對摺，如果可以使直線兩側的圖形<span style="color:red">完全重疊</span>，則此圖形為'''<span style="color:blue">線對稱圖形</span>'''。[[File:ASyFiguren.svg|thumb|一些線對稱圖形，紅色直線為對稱軸。]]<br/>
#對稱軸：在線對稱圖形中，若沿著直線<math>L</math>對摺，直線<math>L</math>兩側的圖形完全重疊，則直線<math>L</math>稱為線對稱圖形的'''<span style="color:blue">對稱軸</span>'''。
#*'''<span style="color:blue">對應點</span>'''：沿著對稱軸對摺，會剛好疊合的點。
#*'''<span style="color:blue">對應邊</span>'''：沿著對稱軸對摺，會剛好疊合的邊。
#*'''<span style="color:blue">對應角</span>'''：沿著對稱軸對摺，會剛好疊合的角。
#*一個圖形的對稱軸可能不只一條。[[File:Symmetry.jpg|thumb|虛線為對稱軸。可以注意左上方的正方形有4條對稱軸。]]所以要表達對應點、對應邊或對應角時，應該要說明「以哪條直線為對稱軸，什麼的對應什麼是什麼」。
#**例如：如下圖，以直線<math>L</math>為對稱軸，點<math>B</math>的對應點為點<math>G</math>，<math>\overline{FG}</math>的對應邊為<math>\overline{BC}</math>，<math>\angle CDE</math>的對應角為<math>\angle FED</math>。
[[File:線對稱圖形之箭頭.jpg|thumb|center|以直線L為對稱軸的箭頭]]
*註解：
*#在線對稱圖形中，對稱軸為兩側對稱點連線的<span style="color:red">垂直平分線</span>。
*#*如上圖當中，直線<math>L</math>為<math>\overline{DE}</math>的垂直平分線。
*#在線對稱圖形中，對稱線段等長，對稱角等大。
*#*如上圖當中<math>\overline{FG}</math>的對應邊為<math>\overline{BC}</math>，所以<math>\overline{FG}=\overline{BC}</math>、<math>\angle ABC</math>的對應角為<math>\angle AGF</math>，所以<math>\angle ABC=\angle AGF</math>。
===常見的線對稱圖形===
#等腰三角形
#*等腰三角形的定義：有'''兩條邊相等'''的三角形。
#*一般的等腰三角形只有一條對稱軸，此對稱軸既是底邊的垂直平分線，也會將頂角平分成兩個角度相等的角(我們稱作'''角平分線''')。
#*等腰三角形的兩個底角相等。
#正三角形
#*正三角形必定有<math>3</math>條對稱軸。
#*正三角形必然是等腰三角形，但等腰三角形不一定是正三角形。
#長方形
#*長方形的定義：有'''四個直角'''的四邊形。
#*一般的長方形有<math>2</math>條對稱軸。
#菱形
#*菱形的定義：有'''四邊等長'''的四邊形。
#*一般的菱形有<math>2</math>條對稱軸。
#正方形
#*正方形的定義：'''四邊等長'''、'''四個角都是直角'''的四邊形。
#*正方形必定有<math>4</math>條對稱軸。
#*正方形必然是長方形，但長方形不一定是正方形。
#*正方形必然是菱形，但菱形不一定是正方形。
#箏形
#*箏形的定義：有'''兩對鄰邊相等'''的四邊形。
#*箏形又稱作鳶形。
#*一般的箏形只有一條對稱軸。
#*正方形、菱形必然是箏形，但箏形不一定是正方形或菱形。
#等腰梯形
#*等腰梯形的意義：一個梯形的'''兩腰等長'''。
#*等腰梯形只有一條對稱軸。
#正多邊形
#*正多邊形的對稱軸和它的邊數一樣多。如正七邊形有七條對稱軸。
#圓形
#*圓形有無限多條對稱軸，任何一條'''直徑'''都是其對稱軸。
===常考的"非"線對稱圖形===
#內角分別是<math>30-60-90</math>度的三角形。
#一般的平行四邊形。
#一般的梯形。
===剪紙與線對稱圖形===
將一張紙對摺，並在摺線畫圖案，剪下來的圖形必定以摺線作為其對稱軸。
===方格紙與線對稱圖形===
其秘訣為：'''對稱點與對稱軸的距離相等'''，利用方格紙上的格子可以測量距離，找出對稱點然後再相連即可。

==註解==
<references group="註" />

[[Category:國中數學]]