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== '''指數記法''' ==
=== 緒論 ===
* 在數學中，我們把一個數字<math>n</math>，連乘<math>a</math>次時，可以簡記為 <math>{\color{Orange}{n^a}}</math>，讀做「<math>n</math>的<math>a</math>次方」。這種運算方式也被稱為冪運算。<br>
* 在這個例子中，我們稱<math>n</math>為這個指數的「'''底數'''」，<math>a</math>為這個指數的「'''指數'''」。<br>

=== 指數記法（0與1） ===
* 當一個指數律，其指數為1時，通常會省略不記。例如：<math>{\color{Orange}{5^1}}</math>會記為<math>{\color{Orange}{5}}</math>。<br>
* 當一個指數律，底數為0時，例如<math>0^1</math>、<math>0^2</math>、<math>0^3</math>等，<math>{\color{Orange}{0^n}}</math><math>(n \neq 0)</math>的值都會是<math>{\color{Orange}{0}}</math>。<br>
* 當一個指數律，底數為1時，例如<math>1^1</math>、<math>1^2</math>、<math>1^3</math>等，<math>{\color{Orange}{1^n}}</math>的值都會是<math>{\color{Orange}{1}}</math>。<br>
* 當一個指數律，指數為0時，例如<math>1^0</math>、<math>2^0</math>、<math>3^0</math>等，<math>{\color{Orange}{n^0}}</math>的值都會是<math>{\color{Orange}{1}}</math>。<br>

=== 隨堂練習1 {{小学数学-习题图标}} ===

# <math>7\times7\times7\times7\times7\times7</math>的指數記法為：
# <math>(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)</math>的指數記法為：
# <math>0^0</math>的值為：
# <math>1^{1000}</math>的值為：
{{Tool expandable box|答案|2={{小学数学-答案图标}}<br>
1. <math>7^6</math><br>
2. <math>(-3)^4</math><br>
3. 無意義<br>
4. <math>1</math><br>
}}

== '''指數的運算''' ==

=== 指數的值 ===
* 承 ''隨堂練習1'' ，我們知道如何簡記冗長的乘法表達式，接著要來運算它。<br>
* <math>(-3)^4</math>的值即為<math>(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)</math>，也就是<math>81</math>。<br>
* <math>-3^4</math>的值即為<math>3\times3\times3\times3</math>，也就是<math>-81</math>，'''請務必記得觀察負號的位置。'''<br>

=== 含指數的四則運算 ===
* 在四則運算時，我們將指數視為一個括號「<math>()</math>」，應該先算。<br>
* 例如，<math>500</math>÷<math>(-5)^2</math>應該先算<math>(-5)^2</math>，再將<math>500</math>÷<math>25</math>，其值為<math>20</math>。<br>
* 切記，指數運算完畢後再遵循'''「先乘除後加減」'''的規定。<br>

=== 比較指數的大小 ===
* 如果<math>a</math>是正數且<math>a>1</math>，<math>n</math>越大，<math>a^n</math>值會越大；
* 如果<math>b</math>是正數且<math>b<1</math>，<math>n</math>越大，<math>b^n</math>值會越小。

=== 趣味應用 ===
* 一張紙摺疊32次後，可以到達月球。
* 假設你原來的能力為1，每天進步百分之一，一平年之後你的能力會是37.8。(<math>(1.01)^{365}\approx37.8</math>)
* 假設你原來的能力為1，每天退步百分之一，一平年之後你的能力會剩下0.03。(<math>(0.99)^{365}\approx0.03</math>)

=== 隨堂練習2 {{小学数学-习题图标}} ===

# <math>(-2)^4</math>的值為：
# <math>-2^3</math>的值為：
# <math>64</math>÷<math>(-2)^2</math>的值為：
# 令<math>a=(1.5)^{100}</math>，<math>a=(1.5)^{101}</math>，<math>a=(1.5)^{102}</math>，試比較<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>的大小。
# 令<math>d=(0.5)^{100}</math>，<math>e=(0.5)^{101}</math>，<math>f=(0.5)^{102}</math>，試比較<math>d</math>、<math>e</math>、<math>f</math>的大小。
{{Tool expandable box|答案|2={{小学数学-答案图标}}<br>
1. <math>16</math><br>
2. <math>-8</math><br>
3. <math>16</math><br>
4. <math>a<b<c</math><br>
5. <math>d>e>f</math>
}}

== '''科學記號''' ==
=== 緒論 ===
* 當我們在表示一個極大的數或極小的數時，我們通常會使用科學記號來表示它。像<math>22,000,000</math>或是<math>0.0000035</math>這種數就非常適合用科學記號來表示。

=== 10的次方及其位值 ===
* 在科學記號中，我們會使用到10的次方來表示。我們知道<math>10^1</math>就是<math>10</math>、<math>10^2</math>就是<math>100</math>、<math>10^3</math>就是<math>1000</math>……
* 那麼小數應該如何表示呢？
{| class="wikitable"
|+ 10的次方及其位值表
|-
! 位名 !! 千位 !! 百位 !! 十位 !! 個位 !! 十分位 !! 百分位 !! 千分位
|-
| 位值 || <math>1000</math> || <math>100</math> || <math>10</math> || <math>1</math> || <math>0.1</math> || <math>0.01</math> || <math>0.001</math>
|-
| 10的次方 || <math>10^3</math> || <math>10^2</math> || <math>10^1</math> || <math>10^0</math> || <math>10^{-1}</math> || <math>10^{-2}</math> || <math>10^{-3}</math>
|}
* 透過觀察上面的表格。其實不難發現，每當位值變為<math>10</math>倍時，<math>10</math>的次方會增加<math>1</math>；每當位值變為<math>\frac{1}{10}</math>倍時，<math>10</math>的次方會減少<math>1</math>。因為<math>1</math>是<math>10</math>的<math>0.1</math>倍，我們規定<math>1=10^0</math>。同理也可以應用在<math>0.1=10^{-1}</math>、<math>0.01=10^{-2}</math>，以此類推。
*'''<span style="color:orange;">事實上，如果<math>{\color{Orange}{m}}</math>是正整數，則<math>{\color{Orange}{(0.1)^{m}=10^{-m}}}</math>。</span>'''
* 補充：科學上也常常使用底數為<math>10</math>的指數記法來表示長度單位。例：一奈米=<math>10^{-9}m</math>。

=== 表示方式 ===
* 以<math>a \times 10^{m}</math>來表示，其中<math>1 \leq a < 10</math>。<br>
* 訣竅：例如<math>1000000</math>，<math>1</math>後面有<math>6</math>個零，那麼此數必是<math>10</math>的<math>6</math>次方。<br>例如<math>0.000001</math>，<math>1</math>在小數點第<math>6</math>位，那麼此數必是<math>10</math>的<math>-6</math>次方。

[範例一] <math>140000</math>以科學記號表示：<br> <math>=1.4 \times 100000</math><br> <math>=1.4 \times 10^5</math><br>

[範例二] <math>0.00000037</math>以科學記號表示：<br> <math>=3.7 \times 0.0000001</math><br> <math>=3.7 \times (0.1)^7</math><br> <math>=3.7 \times 10^{-7}</math>

=== 隨堂練習3{{小学数学-习题图标}} ===
1. 判斷下列何者是正確的科學記號：(複選題)<br>
　　(A) <math>16.25 \times 10^7</math><br>
　　(B) <math>4.25 \times 10^{-1}</math><br>
　　(C) <math>7.6 \times 8^{-5}</math><br> 
　　(D) <math>8.5 \times 10^3</math><br>
　　(E) <math>24.25 \times (-5)^7</math><br>
　　(F) <math>5.84 \times 10^{-8}</math><br><br>
2. 請將數字轉換為正確的科學記號：<br>
　　(1) <math>48000</math><br>
　　(2) <math>1890000</math><br>
　　(3) <math>0.000007</math><br>
{{Tool expandable box|答案|2={{小学数学-答案图标}}<br>
1. <math>B D F</math><br>
2. <math>(1) 4.8 \times 10^4</math><br>
2. <math>(2) 1.89 \times 10^6</math><br>
2. <math>(3) 7 \times 10^{-6}</math><br>
}}

== '''科學記號的應用''' ==
=== 轉換 ===
=== 比較大小 ===
=== 隨堂練習4 ===