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|previous=[[國中數學/國中數學八年級/1-1 乘法公式|1-1 乘法公式]]
|next=[[國中數學/國中數學八年級/1-3 多項式的乘除運算|1-3 多項式的乘除運算]]
|title=[[國中數學/國中數學八年級|國中數學八年級]]
|section=1-2 多項式的加減運算}}
本章節要來談談數學上很常使用的基本式子：多項式(polynomial)，並且談談它們的加減運算模式。它們的乘除模式留到下一節[[國中數學/國中數學八年級/1-3 多項式的乘除運算|1-3 多項式的乘除運算]]講解。
==多項式==
在一個式子中，若文字符號(通常是<math>x</math>)與數字只利用<span style="color: blue">'''加法'''</span>與<span style="color: blue">'''乘法'''</span>做運算而得，那這樣的式子我們稱為<span style="color: blue">'''多項式'''</span>。例如：<math>x^{2}+3</math>是由<math>x \times x+3</math>得到的式子，所以它是一個多項式；<math>x^{2}-3</math>是由<math>x \times x+(-3)</math>得到的式子，它也是一個多項式。而依此定義，事實上<math>x^2y^3+z=x \times x \times y \times y \times y+z</math>也是多項式，不過在中學階段，只會學習含有一個文字符號的多項式<ref group="註">唯一的例外是[[國中數學/國中數學七年級/4-1 二元一次方程式|二元一次式]]。</ref>。
===多項式的判別===
#多項式是一個式子，所以多項式本身<span style="color: red">沒有等號</span>。
#*<math>x^2+3=7</math>不是多項式。
#文字符號<span style="color: red">不能出現在分母</span>，因為它用到了除法<ref group="註">如果未知數出現在式子的分母，這樣的式子我們稱之為<span style="color: red">分式</span>，這是高中會習得的教材。</ref>。可是文字符號<span style="color: red">可以出現在分子</span>，因為我們在七年級上學期[[國中數學/國中數學七年級/3-1 一元一次式|3-1 一元一次式]]有提到<math>\frac{ax}{b}=\frac{a}{b}x</math>，它是一個乘法運算。
#*<math>\frac{5}{x}</math>、<math>\frac{5x^3+7}{2x}</math>不是多項式，但<math>\frac{x}{5}</math>、<math>\frac{5x^3+7}{2}</math>是。
#文字符號<span style="color: red">不能出現在絕對值內</span>。但如果絕對值內沒有未知數的話也是可以的。
#*<math>\left\vert x-4 \right\vert</math>、<math>\left\vert x \right\vert-4</math>不是多項式，但<math>x-\left\vert 4 \right\vert</math>是多項式。
#文字符號<span style="color: red">不能出現在次方</span>。另外未知數的次方要是<span style="color: red">正整數</span>或<math>{\color{red}0}</math>。
#*<math>3^x</math>、<math>x^{0.3}</math>不是多項式。
#文字符號<span style="color: red">不能出現在根號內</span><ref group="註">關於根號，請見[[國中數學/國中數學八年級/2-1 二次方根的意義|2-1 二次方根的意義]]。</ref>。
#*<math>\sqrt{6x}</math>不是多項式。
===多項式的名詞===
接下來介紹多項式的相關名詞。在底下的介紹若沒有特別說明，我們都是以多項式<math>3x^{2}-5x+7</math>為例子。
#<span style="color: blue">'''項'''</span>：多項式當中，使用<span style="color: red">加號（＋）</span>分開的各部分</span>。
#*在例子<math>3x^{2}-5x+7</math>中，<math>3x^{2}-5x+7=3x^{2}+(-5x)+7</math>，所以<math>3x^{2}-5x+7</math>有三個項：<math>3x^2</math>、<math>-5x</math>、<math>7</math>。
#*對於項的辨識，作者建議學生將前面的「運算符號(<math>+</math>與<math>-</math>)」都視為「性質符號」。對於這兩個名詞陌生的同學，請參考[[國中數學/國中數學七年級/1-1 正數與負數|國中七年級 1-1 正數與負數]]的內容。
#<span style="color: blue">'''單項式'''</span>(monomial)：<span style="color: red">只有一個項</span>的多項式<ref group="註">課外參考資料：[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%96%AE%E9%A0%85%E5%BC%8F 維基百科：單項式]。</ref>。
#*<math>3x^2</math>、<math>-5x</math>、<math>7</math>都是單項式。
#<span style="color: blue">'''次數'''</span>：多項式的所有項當中，<span style="color: red">文字符號次數最大</span>的數字。
#*在例子<math>3x^{2}-5x+7</math>中，所有項次數最大的是<math>3x^2</math>，它是二次方，所以次數為<math>2</math>。
#*次數會記錄為<math>deg</math>(多項式)，如<math>deg(3x^2-5x+7)=2</math>。
#<span style="color: blue">'''係數'''</span>：每一項出現的<span style="color: red">數字</span>部分。
#*在例子<math>3x^{2}-5x+7</math>中，各項係數為<math>3</math>、<math>-5</math>、<math>7</math>。
#*各個項的係數可以直接稱呼「<math>x</math>的幾次方項係數」，也可以省略稱呼為「幾次項係數」。如<math>3x^{2}-5x+7</math>的<math>x^{2}</math>項係數是<math>5</math>，也可以說二次項係數為<math>5</math>。
#*沒有文字符號的項稱作<span style="color: blue">'''常數項'''</span>(constant term)。
#*若多項式沒有某一項，則稱該項係數為<math>0</math>。如<math>3x^{2}-5x+7</math>沒有<math>x^{3}</math>項，所以<math>x^{3}</math>項係數是<math>0</math>。
#<span style="color: blue">'''常數多項式'''</span>：任何一個數字。如：<math>7</math>、<math>0</math>、<math>4.91</math>、<math>-\frac{3}{7}</math>、圓周率<math>\pi</math>。
#*【課外補充】其中如果不是<math>0</math>的任意數，我們稱作<span style="color: blue">'''零次多項式'''</span>；若此多項式為<math>0</math>，我們稱作<span style="color: blue">'''零多項式'''</span>。
#<span style="color: blue">'''升冪排列'''</span>：將多項式的項依照次方數'''由小到大'''排列。
#<span style="color: blue">'''降冪排列'''</span>：將多項式的項依照次方數<span style="color: red">由大到小</span>排列。是最常使用的排列方式。
#*<math>3x^{2}-5x+7</math>為降冪排列，因為次數從<math>2</math>降到<math>0</math>；而此多項式的升冪排列為<math>7-5x+3x^{2}</math>。
{{ExampleRobox|title=例題<math>1</math>}}
有一個多項式為<math>5x-3x^{5}+2x^{2}-7</math>，請問：
#此多項式總共有幾項？
#此多項式各項係數是多少？
#此多項式為幾次多項式？
#此多項式的升冪排列與降冪排列為何？
{{Robox/Close}}

{{Robox|theme=5|title=解}}
#此多項式總共有<math>4</math>項，它們分別是<math>5x</math>、<math>-3x^{5}</math>、<math>2x^{2}</math>、<math>-7</math>。
#各項係數依序為<math>x^{5}</math>項係數為<math>-3</math>；<math>x^{2}</math>項係數為<math>2</math>；<math>x</math>項係數為<math>5</math>，常數項為<math>-7</math>
#最高次方為<math>5</math>，所以是五次多項式。
#此多項式的升冪排列為<math>-7+5x+2x^{2}-3x^{5}</math>，降冪排列為<math>-3x^{5}+2x^{2}+5x-7</math>。
{{Robox/Close}}

<big>'''隨堂練習'''</big>

有一個多項式為<math>2-4x^{3}-2x^{2}</math>，請問：
#此多項式總共有幾項？
#此多項式<math>x</math>項係數是多少？
#此多項式為幾次多項式？
#此多項式的升冪排列與降冪排列為何？<ref group="解答">
{| class="wikitable"
|-
|1. <math>3</math>項。
|-
|2. <math>0</math>。
|-
|3. <math>3</math>次多項式。
|-
|4.升冪排列為<math>2-2x^{2}-4x^{3}</math>；降冪排列為<math>-4x^{3}-2x^{2}+2</math>。
|}</ref>

==多項式的加法==
多項式的加法運算方式就是<span style="color: red">'''同類項合併'''</span>，搭配'''去括號規則'''，可以使用橫式計算也可以使用直式計算。<br/>

而介紹同類項合併之前，介紹一下何謂「同類項」：
  同類項：兩個單項式中，其未知數相同，未知數的次方數也相同。
根據這個定義，以下是幾個例子：
#<math>x+3</math>與<math>2x-3</math>不是同類項，因為它們<span style="color: blue">'''不是單項式'''</span>。
#<math>4x</math>與<math>4y</math>不是同類項，因為<span style="color: blue">'''未知數不相同'''</span>。
#<math>4x^{2}</math>與<math>5x^{3}</math>不是同類項，因為<span style="color: blue">'''未知數的次方數不相同'''</span>。
#<math>7x^{2}y</math>與<math>-\frac{3}{5}x^{2}y</math>是同類項，因為未知數相同，未知數的次方數也相同。
#<math>7x^{2}y</math>與<math>-\frac{3}{5}xy^{2}</math>不是同類項，因為雖然未知數相同，但<span style="color: blue">'''未知數<math>{\color{blue}x}</math>的次方數不相同'''</span>，<math>y</math>的次方數也不相同。
#<span style="color: red">任意兩個常數都是同類項</span>，如圓周率<math>\pi</math>與<math>\frac{15}{7}</math>。
接下來就是同類項合併的主要公式了，這裡的<math>a</math>與<math>b</math>都是常數，<math>X</math>可以是任意形式的單項式(只要是相同的即可)：
#<math>aX+bX=(a+b)X</math>
#<math>aX-bX=(a-b)X</math>
底下來做一個練習：
{{ExampleRobox|title=例題<math>2</math>}}
化簡下列各式：
#<math>(-7y)+12y</math>
#<math>(-11a^{2}b^{3})-5a^{2}b^{3}</math>
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
#<math>(-7y)+12y=[(-7)+12]y=5y</math>。
#<math>(-11a^{2}b^{3})-5a^{2}b^{3}=[(-11)-5]a^{2}b^{3}=-16a^{2}b^{3}</math>。
{{Robox/Close}}
在上面的例題<math>2</math>的第1題中，<math>X=y</math>；第2題中，<math>X=a^{2}b^{3}</math>。


<big>'''隨堂練習'''</big>

化簡下列各式：
#<math>(-13x)+(-15x)</math>
#<math>7xy^{2}-(-5xy^{2})</math>
#<math>13x-x</math><ref group="解答">
{| class="wikitable"
|-
|1. <math>-28x</math>
|-
|2. <math>12xy^{2}</math>
|-
|3. <math>12x</math>
|-
|}</ref>
<br/>
接下來練習比較複雜的例子：
{{ExampleRobox|title=例題<math>3</math>}}
化簡下列各式，答案使用降冪排列表示：
#<math>2y^{2}+3y-4+5y^{2}+6y+7</math>
#<math>7x-8x^{2}+10x-9x^2+2-7</math>
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>\begin{alignat}{2}
1. & 2y^{2}+3y-4+5y^{2}+6y+7 \\
& = (2+5)y^{2}+(3+6)y+[(-4)+7] \\
& = 7y^{2}+9y+3 \\
\end{alignat}</math>
<br/>
<math>\begin{alignat}{2}
2. & 7x-8x^{2}+10x-9x^2+2-7 \\
& = [(-8)-9]x^{2}+(7+10)x+(2-7) \\
& = -17x^{2}+17x-5 \\
\end{alignat}</math>
{{Robox/Close}}


<big>'''隨堂練習'''</big>

化簡下列各式：
#<math>-x^{2}+3x-4+5x^{2}-6x+12</math>
#<math>5a^{2}+7-4a^{2}+9a-5-9a</math>
#<math>13y^{2}+11y-12+15-10y-13y^{2}</math><ref group="解答">
{| class="wikitable"
|-
|1. <math>4x^{2}-3x+8</math>
|-
|2. <math>a^{2}+2</math>
|-
|3. <math>y+3</math>
|-
|}</ref>
<br/>
接下來練習兩個多項式相加的運算。
{{ExampleRobox|title=例題<math>4</math>}}
化簡下列各式，答案使用降冪排列表示：
#<math>(7y^{2}-8y-12)+(-5y^{2}-4y+7)</math>
#<math>(23x-14x^{2}+19)+(18x^{2}+12-11x)</math>
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>\begin{alignat}{2}
1. & (7y^{2}-8y-12)+(-5y^{2}-4y+7) \\
& = 7y^{2}-8y-12-5y^{2}-4y+7 \\
& = (7-5)y^{2}+[(-8)-4)]y+[(-12)+7] \\
& = 2y^{2}+(-12)y+(-5)=2y^{2}-12y-5 \\
\end{alignat}</math>
<br/>
<math>\begin{alignat}{2}
2. & (23x-14x^{2}+19)+(18x^{2}+12-11x) \\
& = 23x-14x^{2}+19+18x^{2}+12-11x \\
& = [(-14)+18]x^{2}+(23-11)x+(19+12) \\
& = 4x^{2}+12x+31 \\
\end{alignat}</math>
{{Robox/Close}}
<big>'''隨堂練習'''</big>

計算下列各式：
#<math>(-4x^{2}+9x+12)+(11x^{2}-9x+5)</math>
#<math>(5a^{2}+7)+(-4a^{2}+9a-5)</math>
#<math>(13y^{3}+11y^{2}-12y+15)+(7+10y-11y^{2}-13y^{3})</math><ref group="解答">
{| class="wikitable"
|-
|1. <math>7x^{2}+17</math>
|-
|2. <math>a^{2}+9a+2</math>
|-
|3. <math>-2y+22</math>
|-
|}</ref>
<br/>
我們注意到上面隨堂練習的第3小題，<math>13y^{3}+11y^{2}-12y+15</math>與<math>7+10y-11y^{2}-13y^{3}</math>都是三次多項式，但是加起來的結果卻是一次式<math>-2y+22</math>。事實上，兩個同次數的多項式相加，答案的次數可能會少於原本的次數。那如果我們確定兩個相加的多項式次數不相同的時候，得到的和會發生什麼事呢？
{{ExampleRobox|title=例題<math>5</math>}}
設多項式<math>A=5x^{2}+7x-4</math>，多項式<math>B=2x^{3}-6x^{2}-3</math>，則：
#多項式<math>A</math>與多項式<math>B</math>的次數各為何？
#計算<math>A+B</math>。<math>A+B</math>的次數是多少？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
#多項式<math>A</math>的次數為<math>2</math>次，多項式<math>B</math>的次數為<math>3</math>次。
#計算<math>A+B</math>的過程如下所示：
#*<math>\begin{alignat}{2}
A+B & = (5x^{2}+7x-4)+(2x^{3}-6x^{2}-3) \\
& = 5x^{2}+7x-4+2x^{3}-6x^{2}-3 \\
& = 2x^{3}+(5-6)x^{2}+7x+[(-4)+(-3)] \\
& = 2x^{3}+(-1)x^{2}+7x+(-7) = 2x^{3}-x^{2}+7x-7  \\
\end{alignat}</math>
#*<math>A+B</math>的次數為<math>3</math>次。
{{Robox/Close}}
在上面這個例子，我們發現：最高次方的係數是無法「被撼動的」，所以當兩個次數不同的多項式相加，其結果的次數跟次數比較大的多項式相同。<br/>
<big>'''隨堂練習'''</big>
<br/>
設多項式<math>A=x^{2}-4x+5</math>，多項式<math>B=9x-3</math>，則：
#多項式<math>A</math>與多項式<math>B</math>的次數各為何？
#計算<math>A+B</math>。<math>A+B</math>的次數是多少？<ref group="解答">
#多項式<math>A</math>的次數為<math>2</math>次，多項式<math>B</math>的次數為<math>1</math>次。
#<math>A+B=x^{2}+5x+2</math>，<math>A+B</math>的次數為<math>2</math>次。</ref>
==多項式的減法==
多項式的減法運算方式與多項式的加法運算類似，只是在去括號規則的地方要注意'''變號'''的問題。<br/>

==註解==
<references group="註" />
==習題解答==
<references group="解答" />
[[Category:國中數學]]