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|title=[[國中數學/國中數學八年級|國中數學八年級]]
|section=2-1 二次方根的意義}}

本單元將介紹二次方根。部分內容需要用到第一冊[[國中數學/國中數學七年級/2-5 指數律|2-5 指數律]]。

==正方形面積與邊長==

===完全平方數===
[[File:邊長1~4正方形.jpg|500xpx|thumb|right|圖一。面積為<math>1,4,9,16cm^2</math>的正方形。]]
圖一為4個面積分別為<math>1,4,9,16cm^2</math>的正方形，邊長分別為<math>1,2,3,4cm</math>。<br>
因為<math>1,4,9,16</math>都是一個'''整數'''的平方，也就是可以被寫成<math>n^2</math>(<math>n</math>為正整數)的形式，所以這些數被稱為「完全平方數」。若一正方形的面積是完全平方數，則其邊長必為一個正整數。<br>

===根號===
那假如今天有一個正方形面積為<math>2,3,5,6,7</math>而不是完全平方數，其邊長應該怎麼表示呢？所以<math>\sqrt{\quad}</math>就在這時出現了。<br>
當有一個正方形面積為<math>a</math>，其邊長就是<math>\sqrt{a}</math>(讀作「根號<math>a</math>」)；當有一個正方形邊長是<math>\sqrt{a}</math>，其面積就為<math>(\sqrt{a})^2 = a</math>。<br>
如面積為<math>2</math>的正方形，其邊長就為<math>\sqrt{2}</math>；邊長為<math>\sqrt{15}</math>的正方形，其面積就為<math>15</math>。<br>

==根號a==
===以指數表示根號a===
<math>\sqrt{a}</math>其實是可以用指數來表示的，為<math>\sqrt{a}=a^{1 \over 2}(a>0)</math>。<br>
證明：<br>
<math>
\begin{align}
& \text{令 } \sqrt{a} = m, a^{\frac{1}{2}} = n (a > 0) \\
& \Rightarrow (\sqrt{a})^2 = m^2, (a^{\frac{1}{2}})^2 = n^2 \\
& \Rightarrow \sqrt{a} \times \sqrt{a} = m^2, a^{\frac{1}{2} \times 2} = n^2 \\
& \Rightarrow a = m^2, a = n^2 \\
& \Rightarrow m = n \\ 
& a > 0 \text{  則  } \  \sqrt{a} \text{  及  } \  a^z \text{  皆 大 於 零  }
\end{align}
</math>

===(根號a)的平方===
根據上述的推論以及指數律，<br>
<math>(\sqrt{a})^2=(a^{1 \over 2})^2=a^{{1 \over 2} \times 2}=a^1=a</math>
===根號(a的平方)===
同樣根據上述的推論以及指數律，<br>
<math>\sqrt{a^2}=(a^2)^{1 \over 2}=a^{2 \times {1 \over 2}}=a^1=a</math>



[[Category:國中數學]]