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{{header2
|previous=[[國中數學/國中數學八年級/7-2 函數圖形與線型函數|7-2 函數圖形與線型函數]]
|next=[[國中數學/國中數學八年級/8-2 尺規作圖|8-2 尺規作圖]]
|title=[[國中數學/國中數學八年級|國中數學八年級]]
|section=8-1 角
}}
本章節要介紹基本的平面圖形「角(angle)」。
==角的分類==
國小講過「角的分類」，現重新複習如下：<br/>
<small>參見：[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92#%E8%A7%92%E7%9A%84%E7%A7%8D%E7%B1%BB 維基百科：角的種類]</small>
*銳角：角度介於<math>0</math>度到<math>90</math>度的角。
*直角：角度等於<math>90</math>度的角。
*鈍角：角度介於<math>90</math>度到<math>180</math>度的角。
*平角：角度等於<math>180</math>度的角。
*優角：角度介於<math>180</math>度到<math>360</math>度的角。
*周角：角度等於<math>360</math>度的角。
{|
|-
|[[File:Right angle.svg|left|thumb|200px|一個直角]]
|[[File:Angle obtuse acute straight.svg|left|thumb|390px|<math>\angle a</math>為銳角，<math>\angle b</math>為鈍角]]
|[[File:Full angle.svg|left|thumb|480px|一個周角]]
|}
===例子===
下圖中，<math>\triangle ABC</math>為直角三角形，<math>\angle A</math>、<math>\angle B</math>為銳角，<math>\angle C</math>為直角。<br/>
其中，<math>a</math>、<math>b</math>分別是銳角<math>\angle A</math>、<math>\angle B</math>的對邊，我們稱之為'''股'''；<math>c</math>是直角<math>\angle C</math>的對邊，我們稱之為'''斜邊'''。
[[File:直角三角形與畢氏定理.jpg|frame|left|200px|直角三角形的角|]]

==補角與餘角==
<small>參見：[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A3%9C%E8%A7%92 維基百科：補角]、[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E8%A7%92 維基百科：餘角]</small>
[[File:Supplementary angles2.svg|right|thumb|200px|一對互補角]]
===補角===
*兩個角的度數和為<math>180</math>度時，我們稱這兩個角'''''互補'''''，即<math>\angle A+\angle B=180^\circ</math>時，我們稱<math>\angle A</math>、<math>\angle B</math>互為補角，簡稱<math>\angle A</math>與<math>\angle B</math>互補。
'''Example'''：當兩個角的邊可以碰在一起形成一直線時，則這兩個角互補。(如右圖所示)
<br/>


===餘角===
*兩個角的度數和為<math>90</math>度時，我們稱這兩個角'''''互餘'''''，<math>\angle A+\angle B=90^\circ</math>時，我們稱<math>\angle A</math>、<math>\angle B</math>互為餘角，簡稱<math>\angle A</math>與<math>\angle B</math>互餘。
'''Example'''：左圖<math>\triangle ABC</math>中，兩銳角<math>\angle A+\angle B=90^\circ</math>，故直角三角形當中兩銳角<math>\angle A</math>、<math>\angle B</math>互餘。

{{ExampleRobox|title=例題<math>1</math>}}已知<math>\angle A</math>與<math>\angle B</math>互餘，<math>\angle B</math>與<math>\angle C</math>互補，則：<br/>
<math>(1)</math>若<math>\angle A</math>為<math>35^\circ</math>，則<math>\angle B</math>與<math>\angle C</math>分別是幾度？<br/>
<math>(2)</math>若<math>\angle A</math>為<math>x^\circ</math>，則<math>\angle B</math>與<math>\angle C</math>分別是幾度？(用<math>x</math>表示)
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>(1)</math>因為<math>\angle A=35^\circ</math>，<math>\angle B</math>與<math>\angle A</math>互餘，代表<math>\angle A+\angle B=90^\circ</math>，所以<math>\angle B=90^\circ-\angle A=90^\circ-35^\circ=55^\circ</math>；<br/>
而因為<math>\angle B=55^\circ</math>，<math>\angle B</math>與<math>\angle C</math>互補，代表<math>\angle B+\angle C=180^\circ</math>，所以<math>\angle C=180^\circ-\angle B=180^\circ-55^\circ=125^\circ</math>。<br/>
<math>(2)</math>因為<math>\angle A=x^\circ</math>，<math>\angle B</math>與<math>\angle A</math>互餘，代表<math>\angle A+\angle B=90^\circ</math>，所以<math>\angle B=90^\circ-\angle A=(90-x)^\circ</math>；<br/>
而因為<math>\angle B=(90-x)^\circ</math>，<math>\angle B</math>與<math>\angle C</math>互補，代表<math>\angle B+\angle C=180^\circ</math>，所以<math>\angle C=180^\circ-\angle B=[180-(90-x)]^\circ=(90+x)^\circ</math>。<br/>
{{Robox/Close}}

==對頂角==
<small>參見：[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8D%E9%A0%82%E8%A7%92 維基百科：對頂角]</small><br/>
[[File:Vertical Angles.svg||thumb|right|對頂角]]
兩直線交於一點會形成<math>4</math>個角，其中不相鄰的兩個角我們稱為'''''對頂角'''''。<br/>
如右圖，<math>\angle A</math>與<math>\angle B</math>互為對頂角；<math>\angle C</math>與<math>\angle D</math>互為對頂角。
*兩個角互為對頂角，則這兩個角度數相同。
*另外要注意的是，要'''兩直線有交點'''才會形成兩組對頂角，如果不共線的話就不會有對頂角。

{{ExampleRobox|title=例題<math>2</math>}}如右圖，已知兩直線相交於一點，而且<math>\angle 1=(3x+8)^\circ</math>，<math>\angle 3=(6x-22)^\circ</math>，則<math>\angle 2</math>為幾度？
[[File:對頂角.jpg|frame|right]]
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
∵兩直線相交於一點，∴<math>\angle 1</math>與<math>\angle 3</math>為對頂角，<br/>
即<math>3x+8=6x-22</math>，可以解出<math>x=10</math>，<br/>
所以<math>\angle 1</math>為<math>3\times 10+8=30+8=38</math>度，<math>\angle 2=180^\circ-\angle 1=180^\circ-38^\circ=142^\circ</math>。
{{Robox/Close}}

==角平分線==
<small>參見：[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%B7%9A 維基百科：平分線]</small><br/>
如下圖所示，若射線<math>OP</math>將一個角<math>\angle AOB</math>分成<math>2</math>個相同角度大小的角<math>\angle AOP</math>與<math>\angle BOP</math>，則稱射線<math>OP</math>為<math>\angle AOB</math>的'''角平分線'''。
[[File:Angle bisector OP.svg|frame|left|射線OP為∠AOB的角平分線]]
===平分後的角與原角的度數關係===
若射線<math>OP</math>為<math>\angle AOB</math>的角平分線，則<math>\angle AOP=\angle BOP=\frac{1}{2}\angle AOB</math>。
*若直線<math>L</math>上從左而右依序有三點<math>A</math>、<math>B</math>、<math>C</math>，<math>O</math>為線外一點且<math>\overline{OB}</math>垂直直線<math>L</math>，則<math>\overline{OB}</math>為平角<math>\angle ABC</math>的角平分線。

==優角==
優角即為介於180度到360度的角度。
{{ExampleRobox|title=例題<math>3</math>}}如果我們在一個圓中取一個圓心<math>O</math>點，再畫OA、OB兩條射線。<br/>
<math>(1)</math>若銳角<math>\angle AOB</math>為<math>50^\circ</math>，則其優角是幾度？<br/>
<math>(2)</math>若鈍角<math>\angle AOB</math>為<math>110^\circ</math>，則其優角是幾度？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>(1)</math>因<math>\angle AOB</math>為<math>50^\circ</math>，周角為<math>360^\circ</math>，所以優角＝360°－50°＝310°。<br/>
<math>(2)</math>因<math>\angle AOB</math>為<math>110^\circ</math>，周角為<math>360^\circ</math>，所以優角＝360°－110°＝250°。
{{Robox/Close}}

==註解==
<references group="註" />
==複習條目==
*[[國中數學/國中數學七年級/8-1 垂直與線對稱|平面圖形]]
==未來要學習的==
*[[國中數學/國中數學八年級/8-2 尺規作圖|尺規作圖：角平分線]]
*[[國中數學/國中數學八年級/8-3 三角形與多邊形的內角與外角|內角與外角]]
*[[國中數學/國中數學八年級/8-5 垂直平分線與角平分線的性質|角平分線的性質]]
[[Category:國中數學]][[Category:國中幾何]]