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[[國中數學]] > [[國中數學#算式|算式]] > 指數記號

當<math>n</math>為正整數<ref group="註">在國中階段只討論指數為正整數與0的情況(10是例外，有討論[[國中數學/科學記號|10的整數次方]])。</ref>，<math>a</math>為任意數時，我們定義<math>a^n= \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n}</math>。

如<math>5^3= 5 \times 5 \times 5=125 </math>。

== 名詞介紹 ==
在式子<math>a^n</math>當中：
#<math>a^n</math>讀作<math>a</math>的<math>n</math>次方。
#<math>a</math>稱作'''底數'''。
#<math>n</math>稱作'''指數'''。
#當指數<math>n=1</math>時，我們會省略不寫。
#當指數<math>n=2</math>時，我們有時會稱<math>a^2</math>為<math>a</math>的'''平方'''。
#當指數<math>n=3</math>時，我們有時會稱<math>a^3</math>為<math>a</math>的'''立方'''。

如：在<math>7^4</math>中，
*<math>7^4</math>的底數為<math>7</math>。
*<math>7^4</math>的指數為<math>4</math>。
*<math>7^4</math>稱作「七的四次方」。

有時人們也會將<math>a^n</math>用「a^n」這樣的形式表示。
== 底數為正整數 ==
底數為正整數的指數運算就是直接將正整數乘以<math>n</math>次。

如：<math>7^4=7 \times 7 \times 7 \times 7=2401</math>。

1的任意整數次方都是1<ref group="註">因為1自己乘幾次都是1。</ref>。

另見：
*[[國中數學/科學記號|10的整數次方]]

== 底數為0 ==
0的任意正整數次方都是0<ref group="註">因為0自己乘幾次都是0。</ref>。

== 底數為負整數 ==
底數為負整數的指數運算就是直接將負整數乘以<math>n</math>次。

如：<math>(-7)^4=(-7) \times (-7) \times (-7) \times (-7)=2401</math>。

但是必須注意：
#<math>-a^n</math>與<math>(-a)^n</math>意義不相同，<math>-a^n</math>是<math>a^n</math>的[[國中數學/相反數|相反數]]，<math>(-a)^n</math>是<math>\underbrace{(-a) \times (-a) \times (-a) \times \cdots \times (-a)}_{n}</math>。
#-1的偶數次方為1，-1的奇數次方為-1。
#當指數為奇數時，答案為'''[[國中數學/負數|負數]]'''。(即<math>(-a)^n=-a^n</math>)
#當指數為偶數時，答案為'''正數'''。(即<math>(-a)^n=a^n</math>)

== 底數為小數 ==
底數為小數的指數運算就是直接將小數乘以<math>n</math>次。

如：<math>0.3^3=0.3 \times 0.3 \times 0.3=0.027</math>。

但是必須注意：
#當底數<math>0<a<1</math>時，<math>n</math>愈大，<math>a^n</math>的值就愈'''小'''。
#當底數<math>a>1</math>時，<math>n</math>愈大，<math>a^n</math>的值就愈'''大'''。
== 底數為分數 ==
底數為分數的指數運算有兩種算法：
#直接將分數乘以<math>n</math>次。
#先將分子乘以<math>n</math>次得到<math>A</math>，再將分母乘以<math>n</math>次得到<math>B</math>，答案就是<math>\frac{A}{B}</math>。

如：
#<math>(\frac{4}{5})^3=\frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5}=\frac{64}{125}</math>。
#因為<math>4^3=4 \times 4 \times 4=64</math>，<math>5^3=5 \times 5 \times 5=125</math>，所以<math>(\frac{4}{5})^3=\frac{64}{125}</math>。

但是必須注意：
#<math>\frac{a}{b}^n</math>可能會與<math>\frac{a^n}{b}</math>的意義混淆，所以分數的次方需要先加上小括號，寫成<math>(\frac{a}{b})^n</math>。
#帶分數必須先換成假分數再作次方的運算。如<math>(1\frac{4}{11})^2=(\frac{15}{11})^2=\frac{225}{121}</math>。
#當底數<math>0<a<1</math>時，<math>n</math>愈大，<math>a^n</math>的值就愈'''小'''。
#當底數<math>a>1</math>時，<math>n</math>愈大，<math>a^n</math>的值就愈'''大'''。

== 指數與四則運算 ==
在數學式的運算中，有指數必須先算。
如：<math>3 \times 5^2=3 \times 25=75</math>，而不是<math>3 \times 5^2=15^2=225</math>。
== 指數律 ==
底下算式中，<math>a</math>、<math>b</math>是隨意兩個數<ref group="註">部分要求<math>a</math>或<math>b \neq 0</math>的原因是因為不能除以0。</ref>，<math>m</math>、<math>n</math>是兩個正整數，則：
#<math>a^m \times a^n = a^{m+n}</math>
#<math>a^m \div a^n = a^{m-n}</math>(<math>a \neq 0</math>)
#<math>(a \times b)^n = a^n \times b^n</math>
#<math>(a \div b)^n = a^n \div b^n</math>(<math>b \neq 0</math>)<ref group="註">另外常見的形式為<math>(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}</math>(<math>b \neq 0</math>)。</ref><ref group="註>為什麼底數為分數可以有第二個算法的原因。</ref>
#<math>(a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn}</math>
== 指數為0 ==
'''除了0之外'''，我們定義'''任意數的零次方為1'''，即<math>a^0=1</math>。<ref group="註">依照指數律觀點來看，<math>a^n \div a^n=a^{n-n}=a^0</math>，又<math>a^n \div a^n=1</math>是本來就成立的式子，所以<math>a^0=1</math>。不定義<math>0^0</math>的原因在這裡，因為不能除以0。</ref>
== 使用計算機計算指數 ==
在工程計算機會有「<math>x^y</math>」這樣的按鍵。根據功能的不同也有不同的輸入方式，在大部分的情況都是依序輸入「底數」→「<math>x^y</math>」→「指數」，不過還是要依據計算機功能來決定。

例如要算<math>7^4</math>就依序按下「<math>7</math>」→「<math>x^y</math>」→「<math>4</math>」即可得到螢幕顯示<math>2401</math>。

如果你只有傳統計算機，你還是可以計算指數為正整數的情形。只要依序按下「底數」→「<math>\times</math>」→「底數」→「<math>=</math>」→<math>\cdots</math>→「<math>=</math>」，按「<math>=</math>」的次數取決於指數數字，要按下「指數<math>-1</math>」次。

例如要算<math>7^4</math>就依序按下「<math>7</math>」→「<math>\times</math>」→「<math>7</math>」→「<math>=</math>」→「<math>=</math>」→「<math>=</math>」(共<math>4-1=3</math>次「<math>=</math>」)即可得到螢幕顯示<math>2401</math>。

因為螢幕顯示的數字具有上限的限制，故有時計算的結果為'''近似值'''。如「<math>2^{100}</math>」實際上是「<math>1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376</math>」，但用計算機計算「<math>2^{100}</math>」可能會出現「<math>1.2676506 \times 10^{30}</math>」或「<math>12676506E+30</math>」的字樣。那這代表的意思為何？我們會在[[國中數學/科學記號|科學記號]]做進一步的說明。

== 指數的應用 ==
*林多紙草書第79題<ref group="課外連結">[http://www.fivedream.com/page1.aspx?no=221249&step=1&newsno=28236 世界第一題趣味數學](五夢網)</ref>
*草履蟲的無性生殖<ref group="課外連結">[[:w:草履虫|草履蟲]](維基百科)</ref>。在恰當的環境下，每次分裂1隻可以分裂成2隻，再一次分裂就會從2隻變4隻，再一次分裂就會從4隻變8隻，……，所以經過<math>n</math>次分裂，原本1隻草履蟲會變成<math>2^n</math>隻草履蟲。
*如果能夠摺一張厚度<math>0.1</math>毫米的紙<math>42</math>次，那麼就可以抵達月球。

== 課外補充：指數為負整數 ==
我們知道若<math>a \neq 0</math>，則<math>a^0=1</math>。那麼根據指數律第2條<math>a^m \div a^n = a^{m-n}</math>(<math>a \neq 0</math>)，我們知道<math>a^0 \div a^n=a^{0-n}=a^{-n}</math>，又因為<math>a^0 \div a^n=1 \div a^n=\frac{1}{a^n}</math>，所以自然的，我們定義<math>a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math>(當然，<math>a \neq 0</math>)。

而利用指數律第4條，你會發現<math>(\frac{1}{a})^n=(1 \div a)^n = 1^n \div a^n=1 \div a^n=\frac{1}{a^n}</math>，所以有時也會定義<math>a^{-n}=(\frac{1}{a})^n</math>(<math>a \neq 0</math>)。<ref group="註><math>\frac{1}{a}</math>為<math>a</math>的'''倒數'''。</ref><ref group="註>這條通常用於分數。要計算<math>(\frac{3}{2})^{-5}</math>，只要算<math>(\frac{2}{3})^{5}</math>即可。</ref>
== 註釋 ==
<references group="註" />
== 課外連結 ==
<references group="課外連結" />
== 更多資料 ==
*[[高中數學/指數|指數]](高中數學)

[[Category:國中數學]]

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