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邊長為<math>2</math>的正方形，我們可以很輕易地回答面積為<math>4</math>。

可是反過來問，面積為<math>2</math>的正方形，它的邊長為何呢？

==有面積為2的正方形嗎？==
拿出一張邊長為<math>2</math>公分的色紙，以垂直邊長的方向對摺再對摺兩次，將色紙打開如下圖(點擊可以放大)中間。兩條摺痕的交點為紅點，將四個角往中間紅點摺，形成下圖最右邊的四邊形<math>ABCD</math>。
[[File:面積為2的正方形.png|thumb|left|300px|利用摺紙製作面積為<math>2</math>的正方形(使用Geogebra製作)]]
<br style="clear:both;">
請實際自己操作，你將能更加體會。
===討論===
#四邊形<math>ABCD</math>為正方形。原因是什麼呢？<ref group="註"><math>4</math>個角都是直角，而且<math>4</math>個邊長都是邊長為<math>1</math>公分的正方形之對角線，所以是正方形。</ref>
#四邊形<math>ABCD</math>的面積是多少平方公分呢？<ref group="註"><math>2</math>平方公分。</ref>
===結論===
有面積為<math>2</math>平方公分的正方形。可是它的邊長是多少公分呢？

==面積為2的正方形，邊長是多少公分呢?==
===討論===
用尺量量看，面積為<math>2</math>平方公分的正方形，它的邊長大約為多少公分？<ref group="註">大約<math>1.4</math>公分或<math>1.5</math>公分。</ref>
*算算看，這個數的[[國中數學/指數記號|平方]]是否為<math>2</math>呢？
*面積為<math>2</math>平方公分的正方形，它的邊長介於哪兩個一位小數公分之間？<ref group="註"><math>1.4</math>到<math>1.5</math>公分之間。</ref>
利用[[國中數學/指數記號#使用計算機計算指數|計算機]]算算看，在<math>1.41</math>到<math>1.49</math>之間有沒有一個數的平方是<math>2</math>？
*如果沒有，則面積為<math>2</math>平方公分的正方形，它的邊長介於哪兩個兩位小數公分之間？<ref group="註"><math>1.41</math>到<math>1.42</math>公分之間。</ref>
利用計算機算算看，在<math>1.411</math>到<math>1.419</math>之間有沒有一個數的平方是<math>2</math>？
*如果沒有，則面積為<math>2</math>平方公分的正方形，它的邊長介於哪兩個三位小數公分之間？<ref group="註"><math>1.414</math>到<math>1.415</math>公分之間。</ref>
*有沒有一個有限小數的平方剛好是<math>2</math>？<ref group="註">沒有。</ref>
===結論===
我們無法使用一個有限小數表示面積為<math>2</math>的正方形邊長。所以我們需要引進一個新的東西—「根號」來幫助我們表示這樣的邊長。
==根號==
在國中的階段，我們利用正方形的邊長與面積來了解根號的意義<ref group="註">國中只學二次方根。多次方根請見高中數學[[高中數學/指數|指數]]單元學習。</ref>。

我們定義一個面積為<math>a</math>的正方形，它的邊長為<math>\sqrt{a}</math>。

如面積為<math>2</math>的正方形，它的邊長為<math>\sqrt{2}</math>。

面積不可能為[[國中數學/負數|負數]]或0，不過我們特別定義<math>\sqrt{0}=0</math>。
 重要概念：<math>{\color{red}\sqrt{a}\geq 0}</math>，而且<math>{\color{red}a \geq 0}</math>
用這樣的概念，面積為<math>4</math>的正方形，它的邊長為<math>\sqrt{4}</math>，但是面積為<math>4</math>的正方形，它的邊長本身就是<math>2</math>，所以事實上<math>\sqrt{4}=2</math>。

同樣的，面積為<math>x^2(</math>其中<math>x>0)</math>的正方形，它的邊長為<math>\sqrt{x^2}</math>，但是面積為<math>x^2</math>的正方形，它的邊長本身就是<math>x</math>，而<math>0^2=0</math>，所以<math>\sqrt{0}=\sqrt{0^2}=0</math>，事實上
 <math>\sqrt{x^2}=x(x \geq 0) \cdots (1)</math>

反過來說，邊長為<math>\sqrt{a}</math>的正方形，它的面積為<math>a</math>。

如邊長為<math>\sqrt{3}</math>的正方形，它的面積為<math>3</math>。

又因為正方形的面積公式為邊長的平方，<math>(\sqrt{0})^2=0^2=0</math>，所以我們得到：
 <math>(\sqrt{a})^2=a(a \geq 0) \cdots (2)</math>
===例題===
例題<math>1.</math>面積為<math>1.7</math>的正方形，它的邊長為多少？
 解：面積為<math>1.7</math>的正方形，它的邊長為<math>{\color{red}\sqrt{1.7}}</math>。
例題<math>2.</math>邊長為<math>\sqrt{(-5)^2}</math>的正方形，它的面積為多少？
 解：邊長為<math>\sqrt{(-5)^2}</math>的正方形，它的面積為<math>{\color{red}(-5)^2}=25</math>。
*注意：在例題<math>2.</math>中，邊長為<math>\sqrt{(-5)^2}</math>的正方形，它的面積為<math>25</math>，但是面積為<math>25</math>的正方形實際的邊長為<math>5</math>，所以<math>\sqrt{(-5)^2}=5</math>。也就是說，在第<math>(1)</math>式中，若<math>x<0</math>，它的結果會是<math>x</math>的[[國中數學/相反數|相反數]]<math>-x</math>，即
 <math>\sqrt{x^2}=-x(x<0) \cdots (3)</math>
===習題===
習題<math>1.</math>面積為<math>\frac{15}{13}</math>的正方形，它的邊長為多少？<ref group="答案"><math>\sqrt{\frac{15}{13}}</math></ref>

習題<math>2.</math>邊長為<math>\sqrt{3.9}</math>的正方形，它的面積為多少？<ref group="答案"><math>3.9</math></ref>

==完全平方數與開根號==
在之前提到，面積為<math>x^2(</math>其中<math>x>0)</math>的正方形，它的邊長為<math>\sqrt{x^2}=x</math>。所以有一些特殊的情況是可以計算根號的值：
 當<math>\sqrt{a}</math>的<math>a</math>是某一個數的平方時。
當<math>a</math>是某一個'''整數'''的平方時，我們稱<math>a</math>為'''完全平方數'''。

前21個完全平方數如下表：
{| class="wikitable"
|-
! <math>n</math> !! 0 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5
|-
| <math>n^2</math> || 0 || 1 || 4 || 9 || 16 || 25
|-
! <math>n</math> !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 !! 10
|-
| <math>n^2</math> || 36 || 49 || 64 || 81 || 100
|-
! <math>n</math> !! 11 !! 12 !! 13 !! 14 !! 15 
|-
| <math>n^2</math> || 121 || 144 || 169 || 196 || 225
|-
! <math>n</math> !! 16 !! 17 !! 18 !! 19 !! 20 
|-
| <math>n^2</math> || 256 || 289 || 324 || 361 || 400
|}
計算出<math>\sqrt{a}</math>的過程稱作<math>a</math>'''開根號'''。如<math>9</math>開根號可以得到<math>\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3</math>。

在這裡要再次提醒：開根號的答案必定為<span style="color:red">'''正數'''</span>。
===例題===
例題<math>3.</math>計算<math>\sqrt{\frac{144}{25}}</math>之值。
 解：<math>\sqrt{\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{12^2}{5^2}}=\sqrt{(\frac{12}{5})^2}=\frac{12}{5}</math>。
例題<math>4.</math>計算<math>\sqrt{0.0289}</math>之值。
 解：<math>\sqrt{0.0289}=\sqrt{\frac{289}{10000}}=\sqrt{\frac{17^2}{100^2}}=\sqrt{(\frac{17}{100})^2}=\frac{17}{100}</math>。
===習題===
習題<math>3.</math>計算<math>\sqrt{\frac{361}{169}}</math>之值。<ref group="答案"><math>\frac{19}{13}</math></ref>

習題<math>4.</math>計算<math>\sqrt{0.81}</math>之值。<ref group="答案"><math>0.9(</math>或<math>\frac{9}{10})</math></ref>

===問題與討論===
設<math>a</math>是一個正數，則<math>a</math>與<math>\sqrt{a}</math>何者比較大？
#當<math>a=\frac{9}{4}</math>時，是<math>a</math>比較大還是<math>\sqrt{a}</math>比較大？
#當<math>a=\frac{1}{4}</math>時，是<math>a</math>比較大還是<math>\sqrt{a}</math>比較大？
#當<math>a=1.44</math>時，是<math>a</math>比較大還是<math>\sqrt{a}</math>比較大？
#當<math>a=0.04</math>時，是<math>a</math>比較大還是<math>\sqrt{a}</math>比較大？

==平方根==
對於一個數<math>a</math>，存在一個數<math>x</math>滿足<math>x^2=a</math>，則我們稱<math>x</math>為<math>a</math>的'''平方根'''。

如：<math>24^2=576</math>，所以<math>24</math>是<math>576</math>的平方根。

===檢查一個數是不是另一數的平方根===
要檢查<math>x</math>是不是<math>a</math>的平方根，只要實際計算<math>x^2(=x \times x)</math>是否等於<math>a</math>即可。

例題<math>5.</math>檢驗<math>-24</math>是否為<math>576</math>的平方根。
 解：<math>(-24)^2=(-24)\times (-24)=576</math>，所以<math>-24</math>是<math>576</math>的平方根。
===習題===
習題<math>5.</math>檢驗<math>0.2</math>是否為<math>0.4</math>的平方根。<ref group="答案">不是</ref>

習題<math>6.</math>檢驗<math>1\frac{2}{3}</math>是否為<math>1\frac{4}{9}</math>的平方根。<ref group="答案">不是</ref>

===平方根的性質===
#因為對於一個正數<math>a</math>，<math>(\sqrt{a})^2=a</math>且<math>(-\sqrt{a})^2=a</math>，所以正數<math>a</math>有兩個平方根<math>{\color{red}\sqrt{a}}</math>與<math>{\color{blue}-\sqrt{a}}</math>，其中<math>{\color{red}\sqrt{a}}</math>稱作<math>a</math>的<span style="color:red">'''正平方根'''</span>，<math>{\color{blue}-\sqrt{a}}</math>稱作<math>a</math>的<span style="color:blue">'''負平方根'''</span>，兩數互為[[國中數學/相反數|相反數]]。
#*特別的，<math>a</math>的兩個平方根可以記錄為<math>{\color{red}\pm \sqrt{a}}</math>。
#<math>0</math>只有一個平方根<math>0</math>。
#負數的平方根在國中階段是'''不存在'''的<ref group="註">在[[高中數學/複數|複數]]的世界裡，負數的平方根是存在的。</ref>。
===習題===
習題<math>7.</math>是非題，下列敘述是否正確？<ref group="答案">1、2、3為錯誤的，4是正確的。</ref>
#因為沒有一個整數、分數或小數的平方為<math>15</math>，所以<math>15</math>沒有平方根。
#<math>\sqrt{81}</math>的平方根為<math>\pm 9</math>。
#<math>0.4</math>的平方根為<math>\pm 0.2</math>。
#如果<math>a</math>是<math>17</math>的平方根，則<math>-a</math>也是<math>17</math>的平方根。

==利用計算機計算根號==
在許多計算機上有一個按鈕「<math>\sqrt{  }</math>」可以計算根號的近似值。要計算「<math>\sqrt{a}</math>」的值有部分的計算機要依序輸入「<math>\sqrt{  }</math>」→「<math>a</math>」，也有依序輸入「<math>a</math>」→「<math>\sqrt{  }</math>」或「<math>a</math>」→「<math>=</math>」→「<math>\sqrt{  }</math>」的，你應該要依據自己的計算機性能而使用。

如計算「<math>\sqrt{\frac{4}{7}}</math>」依序按下「<math>\sqrt{  }</math>」→「<math>4</math>」→「<math>\div</math>」→「<math>7</math>」就可以得到近似值<math>0.755928946</math>。

==註解==
<references group="註" />
==習題答案==
<references group="答案" />

==參見==
*[[國中數學/根式的運算|根式]]
*[[高中數學/指數|指數]](高中數學)
*[[高中數學/複數|複數]](高中數學)
[[Category:國中數學]]