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{{Wikipedia|多项式}}

== 多項式的定義 ==
多項式，即式子<math>f(x) = a_n x^n + ...... + a_1 x + a_0</math>，而且若<math>n</math>為正整數，則稱此式為多項式
{{wikipedia|多項式}}
=== 名詞解釋 ===
項：多項式中每一個<math>x^n</math>皆稱之為多項式的項

次數：多項式<math>x^n</math>中每一項的n為此項的次數

同次項：若有多個多項式，其中每一項的<math>x^k</math>項稱之為同次項

首項：指多項式的項中次數最大者，若多項式首項為<math>n</math>，則稱此多項式為<math>n</math>'''次多項式'''

項數：顧名思義，即為多項式項的數目

係數：指任意多項式<math>a_n x^n</math>中的<math>a_n</math>且<math>a_n</math>為多項式

零次多項式(單項式，有時不被視為多項式)：指多項式<math>f(x)</math>中，<math>f(x)=c</math>，而沒有其他<math>x^n</math>的項，其中<math>c</math>為常數

零多項式：零次多項式中的<math>c=0</math>者稱

=== 多項式及非多項式 ===
多項式裡面的任意<math>x^n</math>的<math>n</math>必須為正整數，否則不能稱之為多項式

以下的式子為多項式：

<math>x^{10} + 60x^8 - 33x^5 +42x^2 - 3</math>、<math>(\sqrt{2} - \sqrt[3]{5})x^2 - \sqrt[4]{6}</math>、<math>\pi ^e x^{10^{10}} - 6x +1</math>、<math>(3 + i)x^5 - 2i x^2 + 1</math>

以下的式子不為多項式：

<math>2x^3 + 10x^{-1}</math>、<math>5x ^ {\sqrt 2} + x^{3\pi} + 2x - 1</math>、<math>x^3 - 5x^{\frac{2}{3}} + 4\sqrt{x} -3\sqrt[3]{x^5}</math>、<math>\sqrt{1 + x^2}</math>

=== 習題 ===

== 多項式的計算 ==
多項式有類似於一般數字的運算，凡舉加減乘除在多項式中都有相對應的算法
  當中間有些項的係數為零時，最好將這些項也給寫出來，以減少錯誤，而寫答案時，係數為零的項可省略不寫
=== 加法 ===
若有兩個多項式<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>，它們的同次項可相加，例子如下：
例：<math>f(x)=2x^4 + 3 x^3 +2 x^2 +5x + 5 </math>、<math>g(x)=5 x^4 +10 x^3 + x^2 + 3 x + 2</math>則

<math>f(x) + g(x)=(2 x^4 + 3 x^3 +2 x^2 + 5x + 5)  +  (5 x^4 +10 x^3 + x^2 +3x + 2) = 7x^4 + 13 x^3 + 3 x^2 + 8 x + 7 </math>

=== 減法 ===

例：<math>f(x)= 36 x^5 + 7 x^4 + 66 x^3 + 36 x^2 +66x + 6 </math>、<math>g(x)= 5 x^5 - 73 x^4 -11 x^3 - 11 x^2 + 5 x + 3</math>則

<math>f(x) - g(x)= (36{\color{Orange}-5})x^5 + (7{\color{Orange}+73})x^4 + (66{\color{Orange}+11}) x^3 + (36{\color{Orange}+11}) x^2 + (66{\color{Orange}-5}) x + (6{\color{Orange}-3}) = 31x^5 + 80x^4 + 77 x^3 + 47 x^2 + 61 x + 3</math>

=== 乘法 ===
多項式的乘法，<math>f(x)g(x)</math>就是<math>f(x)</math>的每一項，都乘以<math>g(x)</math>的每一項，有次方的就累積。<br>
例：<math>f(x)=x^2+x+36, g(x)=x^2+x+11</math><br>
則：<math>f(x)g(x)=36x^2+ 36x+ 36*11+ 11x^2+ 11x+ x^3+ x^2+ x^4+ x^3= x^4+ (1+1)x^3+ (36+11+1)x^2+ (36+11)x+ (36*11)= x^4+2x^3+48x^2+47x+396
</math>

===除法===
多項式除法，如<math>f(x)</math>除以<math>g(x)</math>，意即求出商式<math>q(x)</math>和餘式<math>r(x)</math>，

使得<math>f(x)=q(x)g(x)+r(x)</math>，其中<math>\deg(r)<\deg(g)</math>
==== 多項式長除法 ====
多項式與多項式之間的長除法，步驟類同於數與數之間的長除法

{{ExampleRobox|title=例子：用多項式長除法求解<math>x^2+36x+155</math> 除以 <math>x+5</math>}}如下寫上被除式與除式
:<math>\begin{array}{rl}\\
x+5\!\!\!\!&\big)\!\!\!\begin{array}{lll}
\hline
\,x^2+36x+155
\end{array}\end{array}</math>

首先要消掉<math>x^2</math>這一項，<math>x</math>乘上<math>x+5</math>是二次多項式，把<math>x</math>記到商式部份
:<math>\begin{array}{rl}&~~\,x\\
x+5\!\!\!\!&\big)\!\!\!\begin{array}{lll}
\hline
\,x^2+36x+155
\end{array}\\
\end{array}</math>

把<math>x(x+5)=x^2+5x</math>寫到被除式的下方
:<math>\begin{array}{rl}&~~\,x\\
x+5\!\!\!\!&\big)\!\!\!\begin{array}{lll}
\hline
\,x^2+36x+155
\end{array}\\
&\!\!\!\!-\underline{(x^2+5x)~~~}\\
\end{array}</math>

與被除式相減 
:<math>\begin{array}{rl}&~~\,x\\
x+5\!\!\!\!&\big)\!\!\!\begin{array}{lll}
\hline
\,x^2+36x+155
\end{array}\\
&\!\!\!\!-\underline{(x^2+5x)~~~~~~~~~~~}\\
&\!\!\!\!~~~~~(36{\color{Orange}-5})x+155~~~\\
\end{array}</math>

把相減得到的結果看成另外一個被除式，重復以上步驟
:<math>\begin{array}{rl}&~~\,x+31\\
x+5\!\!\!\!&\big)\!\!\!\begin{array}{lll}
\hline
\,x^2+36x+155
\end{array}\\
&\!\!\!\!-\underline{(x^2+5x)~~~~~~~~~~~}\\
&\!\!\!\!~~~~~~~~~~~~~31x+155~~~\\
&\!\!\!\!~~~~~~~-\underline{(31x+155)~~~}\\
&\!\!\!\!~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0~~~\\
\end{array}</math>

在這個例子中商式為<math>x+31</math>，餘式為0
{{Robox/Close}}

====綜合除法====
一般的綜合除法能計算除式形如<math>x-k</math>的除法。

<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{r} ~\\ k \\ ~\end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        f(x) & ~\\
        ~  & ~\\
        \hline
        q(x) & r\\
    \end{array}
\end{array}</math>

得出形如<math>f(x)=(x-k)q(x)+r</math>的恆等式。

{{ExampleRobox|title=例子：用綜合除法求解<math>x^3 - 12x^2 - 42</math>除以<math>x-3</math>}}在頂部寫上被除式的各項系數，左邊寫上k
:<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{r} \\ 3 \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     &   &     \\
        \hline 
    \end{array}
\end{array}</math>

把被除式最高次項的系數寫下來
:<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{r} \\ 3 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     &   &     \\
        \hline 
        1 &     &   &     \\
    \end{array}
\end{array}</math>

乘上左邊的常數再放上第二行
:<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{r} \\ 3 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &   3 &   &     \\
        \hline 
        1 &     &   &     \\
    \end{array}
\end{array}</math>

與上面的系數相加，寫到下面
:<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{c} \\ 3 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &   3 &   &     \\
        \hline 
        1 &  -9 &   &     \\
    \end{array}
\end{array}</math>

重複乘法加法運算，直到除法結束
:<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{c} \\ 3 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        1 & -12 &   0 & -42 \\
          &   3 & -27 & -81 \\
        \hline 
        1 & -9 & -27 & -123 
    \end{array}
\end{array}</math>

結果得出商式為<math>x^2 - 9x - 27</math>，餘式為<math>-123</math>
{{Robox/Close}}

====餘式定理====
多項式<math>f(x)</math>除以<math>x-a</math>的餘式為<math>f(a)</math>，<math>(x-a)|f(x)\Leftrightarrow f(a)=0</math>

{{Robox|theme=3|title=证明餘式定理}}由多項式除法得到：
<math>f(x)=(x-a)q(x)+r</math><br/>
因為除式為一次多項式，所以餘式一定是常數，代入<math>x=a</math>，得到<math>f(a)=r</math><br/>
{{Robox/Close}}

{{Example|<math>f(x)=x^2+36x+155</math> 除以 <math>x+5</math>的餘式為<math>f(-5)=(-5)^2+36(-5)+155=25-180+155=0</math><br/>
<math>f(x)=x^3 - 12x^2 - 42</math>除以<math>x-3</math>的餘式為<math>f(3)=(3)^3-12(3)^2-42=27-108-42=-123</math><br/>
<math>f(x)=x^3 - 7x - 55</math>除以<math>x-4</math>的餘式為<math>f(4)=(4)^3 - 7(4) - 55 = 64-28-55 = 36-55 = -19</math>}}

=== 習題 ===
#求<math>f(x)=2x^4 + 3 x^3 +2 x^2 +5x + 5</math> 除以<math>x + 2</math>的餘式
#用長除法求<math>f(x)=x^3 + 36 x^2 +36x + 155</math> 除以<math>x^2 + 5 x + 5</math>的餘式

== 因式分解 ==
因式分解和整式的乘法一样，是一种整式的恒等变形，但因式分解的结果与整式乘法正好相反.例如有恒等式<math>\left ( a+b \right )\left ( m+n \right )=am+bm+an+bn</math>从左向右是整式乘法，从右向左是因式分解.
因式分解的基本方法有4种:提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法.
例如：<math>x^2+47x+396</math><br>
首先，先要找和為47、積為396的兩個數，396為36、11之積，<math>36+11=47</math><br>
所以<math>x^2+47x+396=x^2+(36+11)x+(36*11)=(x+36)(x+11)</math>

*<math>x^2+31x-180</math><br>
常數項小於0，首先，先要找和為31、積為—180的兩個數，一正一負，—180為—5、36之積，
36＋(－5)＝36'''<span style="color:orange;">－５</span>'''＝31<br>
所以<math>x^2+31x-180=x^2+(36-5)x+((-5)*36)=(x+36)(x-5)</math>



=== 習題 ===

== 最大公因式和最小公倍式 ==
=== 輾轉相除法 ===
== 方程式求解 ==
若設一個多項式<math>f(x)=0</math>，則使此式成立的所有<math>x</math>我們稱之為此多項式的解，而求出此<math>x</math>的過程稱之為求解，以下為各種求解的方法和一些定理的介紹：

=== 代數基本定理 ===
每個複係數的多項式至少有一個複數解

==== 證明 ====
=== 一次因式檢驗法 ===
=== 根式解 ===
=== 一元二次方程式 ===
任意的一元二次方程式<math>ax^2 + bx + c = 0</math>，它的解都可用以下公式來表示：
<math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>

{{ExampleRobox|title=例子：找出<math>4x^2+7x-2</math>的所有根}}即求<math>4x^2+7x-2=0</math>的所有解。

代入<math>a=4, b=7, c=-2</math>到求根公式，得到：

<math>x=\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4(4)(-2)}}{2(4)}=\frac{-7\pm\sqrt{49+32}}{8}=\frac{-7\pm\sqrt{81}}{8}=\frac{-7\pm9}{8}</math>

<math>x=\frac{2}{8}, x=\frac{-16}{8}</math>

<math>x=\frac{1}{4}, x=-2</math>

{{Robox/Close}}

這個公式也可以應用在二次多項式的因式分解。

{{ExampleRobox|title=例子：因式分解<math>4x^2+7x-2</math>}}從上例中我們得到多項式的根為<math>x=\frac{1}{4}</math> and <math>x=-2</math>，於是多項式可分解成：<br/>
<math> 4x^2+7x-2=C(x+2)(x-\frac{1}{4})=C(x^2+\frac{7}{4}x-\frac{1}{2})</math><br/>
可見 <math>C=4</math>時等式成立，於是多項式可因式分解為：<br />
<math>4x^2+7x-2=4(x+2)(x-\frac{1}{4})=(x+2)(4x-1)</math>
{{Robox/Close}}

可是當<math>4ac>b^2</math>時方程根不是實數，不可以因式分解。

==== 配方法 ====
由乘法公式<math>(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2</math>，可以對任意一元二次方程式<math>ax^2 + bx + c = 0</math>進行配方，而以上的公式解也是由配方法推導出來的，推導過程如下：

#<math>ax^2 + bx + c = 0 \Rightarrow x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0</math>

#<math>x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \frac{c}{a} = 0</math>

#<math>x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 + \frac{c}{a} =  \left ( \frac{b}{2a} \right )^2</math>

#<math>x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 + \frac{c}{a} =  \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 \Rightarrow x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^2  =  \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac{c}{a}</math>

#<math>x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^2  =  \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac{c}{a} \Rightarrow (x + \frac{b}{2a})^2 = \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac{4ac}{4a^2} = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}</math>

#<math>(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \Rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>

#<math>x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>

===== 根與係數的關係 =====
設一元二次方程式<math>ax^2 + bx + c = 0</math>的解為w和z，則有以下關係式：
*<math>w+z = - \frac{b}{a} </math>
*<math>wz = \frac{c}{a}</math>

這兩個公式由設w和z為符合一元二次方程式公式解的寫法來求出

===[[一元三次方程式]]===

=== [[一元四次方程式]] ===
==== 根與係數的關係 ====

=== 勘根定理 ===
=== 習題 ===

[[Category:数学]]