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本页面收集人民教育出版社出版的六年级下册数学课本的主要知识点，供学习之用。
== 1 负数 ==

=== 负数的含义、读写法 ===
'''负数'''：表示与正数'''相反意义的量'''的数。（例如：-3, -500, -4.7等）

'''读法'''：先读'''“负”'''，再读数。（如：-3，读作：负三）

'''写法'''：先写'''负号“-”'''，再写数。（如：负零点三七五，写作：-0.375）

（注：正数的正号“+”可以省略，也可以加上，读时先读“正”，再读数；写时先写正号“+”，再写数。）

'''0既不是正数，也不是负数。'''

=== 解决问题 ===
四个同学分别以大树为起点，按下面的方向和距离走：

小红：我向西走4m；

小明：我向西走2m；

小丽：我向东走2m；

小东：我向东走4m。

如何在一条直线上表示他们的行走距离和方向呢？

'''阅读和理解'''

'''方向相反'''：两人向东，两人向西。（正负数正好可以表示相反意义的量）

'''路程不同'''：有的是2米，有的是4米。（正数和负数可以表示走的路程）

'''分析与解答'''

'''确定起点'''：以大树为起点，表示为0；

'''确定方向'''：以东为正，以西为负。（0右边为正，左边为负）

'''表示小数、分数'''：在小数的范围之内取值。（如：0.25，将0和1之间的线段四等分，最靠近0的点表示0.25；-1.5，平分-2和-1间的线段，中间的点即为-1.5。）

结果：

[[File:人教版数学六下第一单元解决问题答案.jpg|thumb|题目的解答]]

'''回顾与反思'''

用有正数、负数的直线（数轴）可以表示'''相反的方向'''。

[[File:Number-line.svg|center|数轴（与本题目无关）]]

== 2 百分数（二） ==

=== 折扣 ===
超市降价销售商品，叫'''打折扣销售'''，俗称'''“打折”'''。

'''打几折=十分之几=百分之几十'''

（如：打九折=十分之九=90%；打八八折=十分之八点八=88%）

打折后的价格='''原价×折扣'''

打折后降价多少元='''原价×(1-折扣)'''

=== 成数 ===
农业收成、各行各业的变化用'''成数'''表示。

'''几成=十分之几=百分之几十'''

（如：二成=十分之二=20%；七成五=十分之七点五=75%）

增长（减少）后的数值='''增长（减少）前的数值×(1-成数)'''

=== 税率 ===
按一定比率给国家上缴的集体和个人收入的一部分叫'''纳税'''。

'''税收'''

缴纳的税款：'''应纳税额'''

应纳税部分的比率：'''税率'''

税收='''应纳税额×税率'''

=== 利率 ===
存入银行的钱：'''本金'''

取款时银行多支付的钱：'''利息'''

（本金与利息的和：'''本息和'''）

单位时间内利息与本金的比率：'''利率'''

利息='''本金×利率×存期'''

本息和=①'''本金×利率×存期（利息）+本金'''

②'''本金×（1+利率×存期）'''

=== 解决问题 ===
某品牌的裙子搞促销活动，在A商场打五折销售，在B商场按“每满100元减50元”的方式销售。妈妈要买一条标价230元的这种品牌的裙子。

（1）在A、B两个商场买，各应付多少钱？

（2）选择那个商场更省钱？

'''阅读与理解'''

“每满一百元减五十元”含义：'''总价中，每个一百元减去五十元，未满一百不计。'''

'''分析与解答'''

A商场：230×50%=115（元）

B商场：230÷100=2······30（元）…………'''230里面有两个100'''。

230-50×2=230-100=130（元）…………'''减去两个50'''。

115元<130元

答：在A商场应付115元，在B商场应付130元；选择A商场省钱。

'''回顾与反思'''

当价格'''不到一百'''时：A商场实惠；

当价格'''不是整百'''时：A商场实惠；

当价格'''是整百'''时：两商场一样实惠。

== ※ 生活与百分数 ==

=== 活动一 ===

调查利率：可以自行去银行调查或在互联网查询。以下以中国农业银行官网存款利率（2022年3月26日）为例：
{| class="wikitable"
|'''活期、定期'''
|'''项目'''
|'''存期'''
|'''年利率'''（%）
|-
|活期
| colspan="2" |
|0.30
|-
| rowspan="10" |定期
| rowspan="6" |整存整取
|三个月
|1.35
|-
|半年
|1.55
|-
|一年
|1.75
|-
|二年
|2.25
|-
|三年
|2.75
|-
|五年
|2.75
|-
| rowspan="3" |零存整取、整存零取、存本取息
|一年
|1.35
|-
|三年
|1.55
|-
|五年
|1.55
|-
|定活两便
| colspan="2" |按一年以内定期整存整取同档次利率打6折
|}

国家调整利率的原因：

1、货币宽松，国家经济陷入停滞，国家为了保证经济正常运作，房地产等不会因此而过快崩溃，降低利率，提高市场的货币投放，促进经济增长。

2、利率是调节货币政策的重要工具。当经济过热、通货膨胀上升时，便提高利率、收紧信贷；当过热的经济和通货膨胀得到控制时，便会把利率适当地调低。

=== 活动二 ===
李奶奶手中有两万元，请你用一下三种方式：普通储蓄存款、国债、理财产品设计存款方案，使六年后收益最大。

查找资料，设计方案。

== 3 圆柱与圆锥 ==

=== 圆柱 ===

==== 圆柱的定义与形状 ====

两底面为'''相等'''并可以'''完全重合'''的'''圆'''，侧面为'''曲面'''的立体图形，叫作'''圆柱体'''，简称'''圆柱'''。
[[File:Cylinder_geometry.svg|thumb|162px|right|圆柱示意图]]
'''底面'''：圆柱的'''上、下两个面'''。

'''侧面'''：圆柱'''周围的面'''。'''（上、下底面除外）'''

'''高（h）'''：圆柱两个底面的'''距离'''。

'''底面半径（r）'''

快速旋转一个'''一条边被固定在木棒上长方形'''所形成的立体图形是'''圆柱'''。


[[File:Revolución cilindro.gif|thumb|快速旋转一个一条边被固定在木棒上的长方形所形成的图形是圆柱]]

'''圆柱体的展开图'''：将圆柱体的两个底面剪开可以得到'''两个圆形'''，将侧面沿高剪开可以得到一个'''长方形'''。

[[File:ZylinderNetz.svg|thumb|圆柱体展开图]]

==== 圆柱的表面积 ====

圆柱的两个底面积='''2×圆周率×半径×半径'''（'''2πr²'''）

圆柱的侧面积：

圆柱侧面展开后是一个长方形，它的长是圆柱'''底面积的周长'''（'''πd=2πr'''），他的宽是'''圆柱的高'''（'''h'''）

所以圆柱的侧面积='''底面积的周长×高'''（'''πdh/2πrh'''）

圆柱的表面积（S）='''圆柱的两个底面积+圆柱的侧面积'''（'''2πr²+πdh/2πrh'''）

有时需要看情况求圆柱的表面积（如厨师帽只有'''一个底面'''）

==== 圆柱的体积 ====

如图所示，将圆柱的底面分为'''许多个扇形'''，再将这些扇形拼成一个'''近似长方体的立体图形'''。（扇形越多，这个立体图形就'''越接近长方体'''）

[[File:圆柱体推导过程示意图.jpg|thumb|将圆柱变为长方体]]

①长方体的长为'''圆柱底面积周长的一半'''（'''πr'''），宽为'''圆柱底面积的半径'''（'''r'''），高为'''圆柱的高'''（'''h'''）。

那么圆柱的体积（V）='''底面积周长的一半×底面积的半径×高'''='''πr²h'''。

②长方体的底面积为'''圆柱的底面积（S）'''，高为'''圆柱的高（h）'''。

那么圆柱的体积（V）='''底面积×高'''='''Sh'''。

=== 圆锥 ===

==== 圆锥的定义和形状 ====

底面是'''圆'''，侧面是'''曲面'''，而且'''有一个顶点'''的立体图形叫作'''圆锥体'''，简称'''圆锥'''。

'''底面'''：圆锥'''下面'''的部分。

'''侧面'''：圆锥'''表面除底面'''的部分。

'''顶点'''：圆锥'''顶部的点'''。

'''高（h）'''：圆柱的顶点到底面的'''距离'''。

'''底面半径（r）'''

[[File:Cone (geometry).svg|thumb|162px|right|圆锥示意图]]

'''测量圆锥的高'''：1、拿出两个'''板子'''，分别将两个板子分别水平地放在'''圆锥底面的下面'''和'''顶点的上面'''；

2、用尺子测量'''底下板子的上面'''与'''顶上板子的底部'''的距离，这个距离就是圆锥的高。

快速旋转一个'''一条直角边贴在木棒上的直角三角形'''，可以得到一个'''圆锥'''。

[[file:Cone revolution.gif|thumb|快速旋转一个一条直角边贴在木棒上的直角三角形会形成一个圆锥]]

==== 圆锥的体积 ====

一个圆锥的体积是和它等底等高的圆柱的体积的'''三分之一'''。

所以圆锥的体积（V）=①'''<math>\frac{1}{3}</math>×底面积×高'''='''<math>\frac{1}{3}</math>Sh'''；

②'''<math>\frac{1}{3}</math>×π×底面半径×底面半径×高'''='''<math>\frac{1}{3}</math>πr²h'''

== 4 比例 ==

=== 比例的意义和基本性质 ===

==== 比例的意义 ====
表示两个比相等的式子叫作'''比例'''。（例：2.4 : 1.6=60 : 40或<math>\frac{2.4}{1.6}</math>=<math>\frac{60}{40}</math>）

==== 比例的基本性质 ====
组成比例的四个数叫作比例的'''项'''，两端的两项叫做比例的'''外项'''，中间的两项叫做比例的'''内项'''。（如：在2.4 : 1.6=60 : 40和<math>\frac{2.4}{1.6}</math>=<math>\frac{60}{40}</math>中，2.4和40是外项，1.6和60是内项。）

'''比例的基本性质'''：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

==== 解比例 ====
根据比例的基本性质，如果知道比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫作'''解比例'''。

如：2.4 : x=60 : 40

解：2.4×40=60x…………依照比例的基本性质将比例转化为方程

60x=96

x=1.6

=== 正比例与反比例 ===

==== 正比例 ====

两种相关联的量，一种量变化，另一种两也跟着变化，如果这两种量的比值一定，这两种量就叫做'''成正比例的量'''，这两种量的关系叫'''正比例关系'''。

（如：一种商品的单价是固定的，那么买这种东西的数量和这些商品的总价是成正比例的量，它们的关系是正比例关系。）

正比例关系可用'''下面的式子'''表示（<math>x</math>、<math>y</math>为两种相关联的量，<math>k</math>是它们的比值（一定））：

:<math>\frac{y}{x} = k</math>

正比例关系可以用图像清楚直观地表示出来，这个图像叫'''正比例关系图像'''。

[[File:Variables proporcionals.png|thumb|291px|正比例关系图像]]

==== 反比例 ====
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果这两种量的乘积一定，那么这两个量是成反比例的量，这两种量的关系叫反比例关系。

（如：杯子里的水的多少是固定的，水的高度随着杯子的底面积增加而减少，那么水的高度和杯子的底面积是成反比例的量，这两种量的关系叫做反比例关系。）

反比例关系可以用下面的式子来表示（<math>x</math>、<math>y</math>为两种相关联的量，<math>k</math>是它们的乘积（一定））：

<math>xy=k</math>

=== 比例的应用 ===

==== 比例尺 ====

===== 比例尺的定义 =====

一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作'''比例尺'''。（可表示为'''图上距离 : 实际距离=比例尺'''或'''图上距离/实际距离=比例尺'''）

===== 比例尺的类型 =====

①'''数值比例尺'''：1 : 100000000或<math>\frac{1}{100000000}</math>；（表示图上1厘米等于实际1亿厘米（1000千米））

'''线段比例尺'''：

[[File:Graphical scale.gif|thumb|线段比例尺]]。（表示图上1单位长度等于10千米）

（'''将线段比例尺转换为数值比例尺'''（以上面的线段比例尺为例）：

图上距离 : 实际距离

=1cm : 10km

=1cm : 1000000cm

=1 : 1000000

②'''缩小比例尺'''：图上距离相较实际距离缩小的比例尺；（如：1 : 100000000）

'''放大比例尺'''：图上距离相较实际距离放大的比例尺。（如：2 : 1）

===== 已知图上距离与比例尺，求实际距离 =====
①根据“'''图上距离 : 实际距离=比例尺'''”写出含有未知项的比例；

②'''解比例'''；

③将厘米转换为'''其他单位'''。

或

①根据“'''实际距离=图上距离÷比例尺'''”求出实际距离；

②将厘米转化为'''其他单位'''。

===== 已知实际距离及比例尺，求图上距离及画图 =====
①将其他单位转化为'''厘米'''；

②根据“'''图上距离=实际距离×比例尺'''”，求出图上距离；

③'''画图'''。

==== 图形的放大和缩小 ====

===== 放大和缩小的定义 =====
让图形的'''形状'''和'''位置'''不变，'''大小'''变化的运动，叫作'''放大'''（图形变大）或'''缩小'''（图形缩小）。

===== 按比例放大或缩小 =====

'''按几比一放大（缩小），就是把<u>图形的边长</u>放大（缩小）几倍。'''（如：按2 : 1放大，就是把图形各边的边长放大2倍）

注意：图形各边的边长放大（缩小）几倍，'''不代表'''图形的面积放大（缩小）几倍。

==== 用比例解决问题 ====
===== '''解决问题1''' =====

张大妈上个月用了8吨水，水费28元；李奶奶上个月用了10吨水，其应缴水费多少元？

'''阅读与理解'''

本题中不知道水的单价，但水的价格是一定的。用的水量和水费成'''正比例关系'''，也就是说，它们的比值（水的单价）一定。

'''分析与解答'''

解：设李奶奶应缴水费<math>x</math>元。

<math>\frac{28}{8}</math>=<math>\frac{x}{10}</math>

8<math>x</math>=28×10

<math>x</math>=35

答：李奶奶应缴水费35元。

（也可以先求出每吨水的价钱，再求李奶奶应缴的水费。）

'''回顾与反思'''

本题的关键点在于找到不变的比值。只要找到两个量间不变的比值，就可以用正比例关系解出该题。

===== '''解决问题2''' =====
一个办公楼平均每天照明用电100千瓦时。改用节能灯以后，平均每天只用电25千瓦时。原来5天的用电量现在可以用多少天？

'''阅读和理解'''

总用电量一定，已知的平均每天用电和用电时间成反比例关系，也就是说两个量的乘积（总用电量）一定。

'''分析与解答'''

解：设原来五天的用电量现在可以用<math>x</math>天。

25<math>x</math>=100×5

x=20

答：原来5天的用电量现在可以用20天。

（也可以先求出总用电量，再求出现在的用电天数。）

'''回顾与反思'''

本题的关键点在于找到不变的乘积。只要找到不变的比值，就可以用反比例关系解答。

== ※ 自行车里的数学 ==

=== 活动一 ===

已知前齿轮齿数、后齿轮齿数与车轮半径，求自行车蹬一圈的路程。

因为前齿轮转一圈的长度等于链条所走的长度，而后齿轮也要走过同样的长度，所以'''前齿轮齿数×前齿轮转数=后齿轮齿数×后齿轮转数'''。

因为后齿轮转数和后轮转数保持一致，又因为'''自行车蹬一圈的路程=后轮周长×后轮转数'''，所以'''自行车蹬一圈的路程=2×车轮半径×π×后轮转数'''（'''2πr×后轮转数'''）。

=== 活动二 ===

调查变速自行车前后齿轮的齿数，看它们有多少种组合，并思考哪种组合蹬的路程最远。

调查自行车前后齿轮的齿数并统计组合：可以自己找一辆自行车数一数前后齿轮上的齿数，将它们记录在一张纸上，用搭配的知识算出它们的组合。

哪种齿轮组合蹬的路程最远：'''前齿轮齿数最多，后齿轮齿数最少的组合蹬的路程最远。'''

理由：前齿轮齿数越多，齿轮转一圈的长度越远；后齿轮齿数越少，齿轮转一圈的圈数越多。前齿轮齿数最多，后齿轮齿数越少，此时后齿轮转动的圈数是'''最多的'''，相应的，后轮转动的圈数是最多的，蹬一圈的长度也越长。

== 5 数学广角──鸽巢问题 ==

=== 鸽巢问题的解释 ===

像下面这样子的问题是'''鸽巢问题'''：

将3支笔放入2个笔筒中，'''总有'''一个笔筒中'''至少'''有两只铅笔。

'''总有'''：每次都会发生，没有例外。

'''至少'''：最少，不会出现比这个更少的情况。

'''可以这样解释鸽巢问题'''：

先放两支笔，每支笔分别放在一个笔筒里…………'''最倒霉原则'''（考虑最不可能出现题设的情况）

此时还剩下一支笔，这支笔只能放在已经分别有了一支笔的两个笔筒之一。这时无论放进那个笔筒里，每个笔筒都会有两支笔。所以会出现题目中的情况。

整个过程可以用'''以下的式子'''表示：

3÷2=1······1

3…………三支笔（鸽巢问题中的“鸽子”）

2…………两个笔筒（鸽巢问题中的“鸽巢”）

1（商）…………每个笔筒首先放进去的笔的数量

1（余数）…………后来放进笔筒中的笔

=== 如何保证能摸出不同类型的“鸽子” ===

盒子里有大小相同的红球和蓝球各4个，要想'''保证'''摸出的球有一个蓝球，'''至少'''要摸出几个球？

'''保证'''：一定，一定会。

'''至少'''：最少要，不能摸出比这更少的球。

答：至少得摸出5个。

'''可以这样解释'''：

如果摸出的球≤4个，那有可能摸出来的都是红球，因为红球有4个。…………'''最倒霉原则'''

如果摸出的球是5个或5个以上，那么不论怎么摸，都会摸出1个或1个以上的蓝球，因为红球只有4个。

所以至少得摸出5个球。

== 6 整理和复习 ==

=== 数与代数 ===

==== 数的认识 ====

===== 数的分类 =====

===== 数轴 =====

===== 十进制计数法，数位和计数单位 =====

===== 因数和倍数 =====

===== 小数和分数 =====

==== 数的运算 ====

===== 运算和运算的意义 =====

===== 整数、小数、分数的四则运算 =====

===== 四则运算间每个数的关系 =====

===== 四则运算混合运算的顺序 =====

===== 运算定律 =====

===== 估算 =====

===== 解决问题 =====

==== 式与方程 ====

===== 式的作用与表示 =====

===== 方程与等式 =====

===== 等式的性质 =====

==== 比和比例 ====

===== 比和比例的意义、组成和基本性质 =====

===== 比与分数、除法的关系 =====

===== 正比例与反比例 =====

=== 图形与几何 ===

==== 图形的认识与测量 ====

===== 图形的分类 =====

===== 平面图形 =====

====== 直线、射线和线段 ======

====== 角 ======

====== 三角形 ======

====== 平行四边形 ======

====== 圆 ======

====== 图形的周长和面积 ======

===== 立体图形 =====

====== 长方体和正方体 ======

====== 圆柱和圆锥 ======

====== 图形的表面积和体积 ======

==== 图形的运动 ====

==== 图形和位置 ====

=== 统计与概率 ===

==== 数据的收集、整理与分析 ====

==== 统计表和统计图 ====

==== 可能性 ====

=== 数学思考 ===

=== 综合与实践 ===

==== 绿色出行 ====

==== 北京五日游 ====

==== 邮票中的数学问题 ====

==== 有趣的平衡 ====

== 课本扩展 ==

=== 千分数和万分数 ===

=== 圆柱容球 ===

=== 反比例关系图像 ===

=== 文字式比例尺 ===

=== 抽屉（鸽巢）问题的提出 ===

=== 七桥问题 ===

=== 绿色出行 ===

=== 同比和环比 ===


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[[Category:小学]]
[[Category:小学數學]]