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有了參數式後，我們就不可免除的要來微分一下，我們稱 <math>\boldsymbol{\alpha}(t)</math> 的一階導數 <math>\boldsymbol{\alpha}^\prime (t)=(x^\prime (t),y^\prime (t),z^\prime (t))</math> 為曲線 <math>\boldsymbol{\alpha}</math> 於 <math>t</math> 的'''切向量'''（或'''速度向量'''，以物理學的角度來看）。若切向量 <math>\boldsymbol{\alpha}^\prime (t)\neq 0</math> ，則我們定義過 <math>\boldsymbol{\alpha}(t)</math> 方向向 <math>\boldsymbol{\alpha}^\prime (t)</math> 的直線為 <math>\boldsymbol{\alpha}</math> 在<math>\boldsymbol{\alpha}(t)</math> 的'''切線'''，並且我們可定義'''單位切向量''' <math>\boldsymbol{T}(t)=\frac{\boldsymbol{\alpha}^\prime (t)}{\vert \boldsymbol{\alpha}^\prime (t)\vert}</math> 為與切向量同向而長度為1之向量。

有時我們會發現，光有可微性仍然無法保證曲線能長得很平滑，如以下這個例子：

'''例:''' <math>\boldsymbol{\alpha}:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}^2, \boldsymbol{\alpha}(t)=(t^3,t^2), t\in \mathbb{R}</math> 。
[[File:Α(t)graph.gif|替代=先单调低再单调增，在原点出有一个拐点|缩略图|223x223像素|α(t)的图像]]
這個例子中，我們可以看到曲線上會有一個轉折。探究原因，我們發現在 <math>\boldsymbol{\alpha}(0)=(0,0)</math> 這點，切向量 <math>\boldsymbol{\alpha}^\prime (0)=(0,0)</math> ，我們稱這種切向量（一階導數）等於零的點為'''奇點'''。若我們把單位切向量函數 <math>\boldsymbol{T}(t)</math> 的參數 <math>t</math> 對 <math>0</math> 作逼近，我們會發現其左極限和右極限是不相等的，即是說奇點的存在容許了這種單位切向量的轉折，也因此奇點的切線是未定義的。為了確保切線能存在，我們便定義正則曲線：

'''定義:''' 一個可微參數曲線 <math>\boldsymbol{\alpha}:I\mapsto \mathbb{R}^3</math> 為正則曲線，當 <math>\boldsymbol{\alpha}^\prime (t)\neq \mathbf{0}</math> 對於所有 <math>t\in I</math> 。