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我們知道直線段的長度怎麼算： <math>L(\overline{AB})=\vert (x_A,y_A,z_A)-(x_B,y_B,z_B)\vert=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2}</math> 。因此我們可以用直線逼近的方式來定義曲線的弧長。

'''定義： '''曲線 <math>\boldsymbol{\alpha}</math> 在區間 <math>[a,b]\subset I</math> 的弧長為 <math>L(\boldsymbol{\alpha},[a,b])=\sup_{\lbrace t_k \rbrace_n} \sum_{k=1}^{n}\vert\boldsymbol{\alpha}(t_k)-\boldsymbol{\alpha}(t_{k-1})\vert</math> ，其中<math>\lbrace t_k \rbrace_n</math>為<math>[a,b]</math>的分割。若曲線可微，則我們可以得 <math>L(\boldsymbol{\alpha},[a,b])=\int_{a}^{b} \vert\boldsymbol{\alpha}^\prime(t)\vert\, dt</math> 。

若我們試著改變曲線參數，新參數 <math>u=u(t)</math> 可微且嚴格遞增，而 <math>\boldsymbol{\alpha}_u (u(t))=\boldsymbol{\alpha}(t)</math> ，我們對新的參數算弧長 <math>L(\boldsymbol{\alpha}_u,[u(a),u(b)])=\int_{u(a)}^{u(b)} \vert\boldsymbol{\alpha}_u^\prime\vert\, du=\int_{u(a)}^{u(b)} \vert\boldsymbol{\alpha}^\prime\vert \vert \frac{dt}{du} \vert \, du=\int_{u(a)}^{u(b)} \vert\boldsymbol{\alpha}^\prime\vert \frac{dt}{du} \, du=\int_{a}^{b} \vert\boldsymbol{\alpha}^\prime\vert\, dt=L(\boldsymbol{\alpha},[a,b])</math> 。由此我們發現，曲線線段的弧長跟所取得曲線參數無關。

由於上述結果，我們可以對任意正則曲線取'''弧長參數''' <math>s(t)=\int_{t_0}^{t} \vert\boldsymbol{\alpha}^\prime(t)\vert\, dt</math> 。若我們將 <math>s</math> 對 <math>t</math> 微分 <math>\frac{ds}{dt}=\vert\boldsymbol{\alpha}^\prime(t)\vert</math> ，假如 <math>t</math> 也為弧長參數，則我們發現<math>\vert\boldsymbol{\alpha}^\prime(t)\vert=\frac{ds}{dt}=1</math> ；反過來說若 <math>\vert\boldsymbol{\alpha}^\prime(t)\vert=1</math> ，則 <math>t=s+t_0</math> 是弧長參數，即是說弧長參數與切向量長度等於 1 是充分必要條件。由於此方便的特性，我們往後會常使用弧長參數來探討曲線性質。