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本节内容基于《Calculus: a Complete Course (Second Custom Edition)》第5.2节（Mean Value Theorem）翻译而来。

'''中值定理'''（mean value theorem）联系函数的平均变化率与瞬时变化率（导数）。

== 定义 ==
若函数<math>f(x)</math>在闭区间<math>[a, b]</math>内'''处处连续'''，且在开区间<math>(a, b)</math>内'''处处可导'''，则在<math>(a, b)</math>内至少有一点<math></math>使得
<div style="text-align: center;">
<math>\displaystyle f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math>。
</div>

上述定义中的两条前提条件不可舍去，否则便会产生反例，如下所示。
=== 存在不可导点时的反例 ===
对函数<math>f(x) = |x|</math>，若令<math>a<0</math>且<math>b>0</math>，则必有
<div style="text-align: center;"><math>
\begin{align}
\frac{f(b) - f(a)}{b - a} &= \frac{b + a}{b - a}\\
&< \frac{b}{b}\\
&= 1
\end{align}
</math>
</div>
与
<div style="text-align: center;"><math>
\begin{align}
\frac{f(b) - f(a)}{b - a} &= \frac{b + a}{b - a}\\
&= -\frac{-a-b}{-a+b}\\
&> -\frac{-a}{-a}\\
&= -1\text{。}
\end{align}
</math>
</div>
然而，此函数在<math>\mathbb{R}</math>上的导函数却为
<div style="text-align: center;"><math>
f'(x) = 
\begin{cases}
-1 & x<0\\
1 & x>0
\end{cases}
</math>。
</div>

因此，相应的<math>c</math>值不存在。

=== 存在不连续点时的反例 ===
对函数<math>f(x) = \sgn(x)</math>，若令<math>a<0</math>且<math>b>0</math>，则必有
<div style="text-align: center;"><math>
\begin{align}
\frac{f(b) - f(a)}{b - a} &= \frac{2}{b - a}\\
&> 0\text{。}
\end{align}
</math>
</div>
然而，此函数在<math>\mathbb{R}</math>上的导函数却为
<div style="text-align: center;"><math>
f'(x) = 
\begin{cases}
0 & x<0\\
0 & x>0
\end{cases}
</math>。
</div>

因此，相应的<math>c</math>值不存在。