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==初等函数==
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、复合函数、双曲函数、反双曲函数统称为'''基本初等函数'''。由常数字和''基本初等函数''经过有限次的四则运算和有限次的''函数复合''步骤所构成并可以用一个式子表示的函数，称为'''初等函数'''。

===幂函数===
冪函數，即多項式<math>a_0 + a_1 x +a_2 x^2 + ...... + a_n x^n</math>，其中因為 <math>\frac{dcy}{dx}=c \frac{dy}{dx}</math>（<math>c</math>為一常數），以及<math>\frac{d(y+z)}{dx} = \frac {dy}{dx} + \frac{dz}{dx}</math>成立，故以下只討論<math>x^n</math>的情況：

若<math>y = x^n</math>則<math>\frac{dy}{dx} = n x^{n-1}</math>

事實上，以上的微分式子不僅僅對正整數成立，對所有的實數n皆成立

===指数函数===
函数
<math>y=a^x</math>（a是常数，而且有a>0 ，a≠1）叫做指数函数。
其定义域区间为(-∞,+∞)。

指数函数有如下性质：
*值域是<math>\left ( 0,+\infty \right )</math>。
*单调性：<math>a>1</math>时，函数是单调增加的；<math>0<a<1</math>时，函数是单调减少的。
*<math>y=(\frac{1}{a})^x</math>的图形和<math>y=a^x</math>的图形是关于y轴对称的。

以常数<math>e=2.7182818...</math>为底数的指数函数<math>y=e^x</math>是最常用的指数函数。

===对数函数===
<math>y=\log_a{x}</math>（其中a为底数）被称为对数函数。其中<math>x=a^y</math>。
在某些时候<math>y=\ln x</math> 也被称为对数函数，这是指以常数<math>e</math>为底的对数函数.

在实分析的范畴之内<math>a>0</math>, <math>x>0</math>。

对数函数有如下性质：
*值域是<math>\left ( -\infty ,+\infty \right )</math>。

=== <math>\ln x</math> ===
<math>\ln x \equiv \log_e x</math>

<math>\ln\frac{x}{y} = \ln x - \ln y</math>                         

<math>\ln (xy) = \ln x + \ln y</math>
===三角函数===
<math>\sin {x}</math>、<math>\cos {x}</math>及以此兩函數複合的另外四個函數都稱之為三角函數，而三角函數中<math>\sin {x}</math> 和<math>\cos {x}</math>的微分如下：

*<math>\frac{d \sin {x}}{dx} = \cos {x}</math>

*<math>\frac{d \cos {x}}{dx} = - \sin {x}</math>

*<math>\frac{d \tan {x}}{dx} = \sec^2 {x}</math>

*<math>\frac{d \cot {x}}{dx} = - \csc^2 {x}</math>

*<math>\frac{d \sec {x}}{dx} = \tan {x} \sec {x}</math>

*<math>\frac{d \csc {x}}{dx} = - \cot {x} \csc {x}</math>

===反三角函数===
<math>\arcsin {x}</math>、<math>\arccos {x}</math>、<math>\arctan {x}</math>、<math>\arccot {x}</math>及與之類似的函數都稱之為反三角函數。其微分如下

*<math>\frac{d \arctan {x}}{dx}=\frac{1}{x^{2}+1}</math>

*<math>\frac{d \arccot {x}}{dx}=- \frac{1}{x^{2}+1}</math>

*<math>\frac{d \arcsin {x}}{dx}=\frac{1}{\sqrt[]{1-x^{2}}}</math>

*<math>\frac{d \arccos {x}}{dx}=- \frac{1}{\sqrt[]{1-x^{2}}}</math>

===复合函数===

複合函數是指可以寫成如下形式的函數：

<math>F(x)=f(u), u=g(x)</math>， 即<math>F(x)=f(g(x))</math> 

其微分為

<math>F'(x)=f'(u)g'(x)</math>

或將<math>g(x)</math>替換為<math>u(x)</math>而寫成

<math>\frac{d F(x)}{dx}=\frac{d f(u)}{du} \frac{d u(x)}{dx}</math>

===双曲函数===
一般而言，雙曲函數指<math>\sinh {x}</math>和<math>\cosh {x}</math>而言，且<math>\sinh {x} = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math>，<math>\cosh {x} = \frac{e^x + e^{-x}}{2}</math>，因此及指數函數的微分可得：

*<math>\frac{d \sinh {x}}{dx} = \cosh{x}</math>

*<math>\frac{d \cosh {x}}{dx} = \sinh {x}</math>

===反双曲函数===
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