查看“︁微积分学/基础知识”︁的源代码

{{Calculus/Top Nav|预备知识|代数}}
{{wikipedia|一阶逻辑}}
{{wikipedia|集合}}
{{wikipedia|函数}}

=== 零、基本邏輯 ===

==== 1. 推理與真假值 ====
推理是種符號組合的遊戲，比如說，一般人都會認為「如果這本書不在圖書館，（則）這本書一定是被借走了」，這樣的話，若圖書館裡沒有這本書，那'''理應'''有「這本書被借走了」的結論。說的抽象一點，若有「A則B」和「A」，那會得到「B」，這是一條（目前人類公認）的'''語言推理規則'''，它通常被稱為'''肯定前件'''。

可以發現上一段的討論，是建立在'''任何一段敘述都有真有假'''的前提上。為了方便以後的討論，如果一段敘述為真，我們會說「這段敘述的真值為<math>\top</math>」；反之如果一段敘述為假，我們會說「這段敘述的真值為<math>\bot</math>」。

==== 2. 邏輯連接詞 ====
數學的敘述裡總會包含「非/不」、「則」、「且」和「或」這些詞彙，這些詞彙被統稱為邏輯連接詞，仔細來說，它們代表

* 「非A」 為真，意思是A為假，可記為「<math>\neg</math> A」。
* 「A則B」為真，意思是不可能有A為真但B為假的狀況，可記為「A <math>\Rightarrow</math> B」。
* 「A且B」為真，意思是A與B都為真，可記為「A <math>\wedge</math> B」。
* 「A或B」為真，意思是A與B至少一者為真，可記為「A <math>\vee</math> B」。

以下的'''真值表'''更清楚地展示以上的語義說明
{| class="wikitable"
|+
|
{| class="wikitable"
!A
!<math>\neg</math> A
|-
|<math>\top</math>
|<math>\bot</math>
|-
|<math>\bot</math>
|<math>\top</math>
|}
|
{| class="wikitable"
!A
!B
!A <math>\Rightarrow</math> B
|-
|<math>\top</math>
|<math>\top</math>
|<math>\top</math>
|-
|<math>\top</math>
|<math>\bot</math>
|<math>\bot</math>
|-
|<math>\bot</math>
|<math>\top</math>
|<math>\top</math>
|-
|<math>\bot</math>
|<math>\bot</math>
|<math>\top</math>
|}
|
{| class="wikitable"
!A
!B
!A <math>\wedge</math> B
|-
|<math>\top</math>
|<math>\top</math>
|<math>\top</math>
|-
|<math>\top</math>
|<math>\bot</math>
|<math>\bot</math>
|-
|<math>\bot</math>
|<math>\top</math>
|<math>\bot</math>
|-
|<math>\bot</math>
|<math>\bot</math>
|<math>\bot</math>
|}
|
{| class="wikitable"
!A
!B
!A <math>\vee</math> B
|-
|<math>\top</math>
|<math>\top</math>
|<math>\top</math>
|-
|<math>\top</math>
|<math>\bot</math>
|<math>\top</math>
|-
|<math>\bot</math>
|<math>\top</math>
|<math>\top</math>
|-
|<math>\bot</math>
|<math>\bot</math>
|<math>\bot</math>
|}
|}

===== 3.量詞與變數 =====
「存在實數大於零」，或是「對任意實數x和y，x=y 或 x<y 或 x>y」是大家所孰悉的數學敘述。但仔細來說，以上兩句代表

「存在x，x是實數且 x> 0」

「對所有x和所有y，若x為實數且y為實數 x=y 或 x<y 或 x>y」

也就是說，「所有/任意」和「有/存在」這兩種詞彙，都須依托於'''變數'''的幫助，才能清楚的表達意義，所以這兩種詞會被統稱為'''量詞'''。

===一、集合：===

集合的觀念與「'''屬於'''」這個謂詞是密不可分的。某個物體稱為「集合」意思是有其他東西屬於它。

'''集合的定义'''：一般地，我们把研究对象称为元素，一些元素组成的总体称为集合。

'''集合的特点'''：<blockquote>确定性：一个元素要么是集合<math>A</math>的元素，要么不是集合<math>A</math>的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。</blockquote><blockquote>互异性：集合中的元素不重复。</blockquote><blockquote>无序性：集合中的元素不考虑顺序。</blockquote>
===二、区间、邻域︰===

'''区间'''是一类数的集合，在数学中经常使用。

*'''有限区间'''
:设<math>a,b\in R</math>。

:数集<math>\left \{ x|a<x<b \right \}</math>　称为'''开区间'''，记作<math>\left ( a,b \right )</math>　即<math>\left ( a,b \right )=\left \{ x|a<x<b \right \}</math>。

:数集<math>\left \{ x|a\leq x\leq b \right \}</math>　称为'''闭区间'''，记作<math>\left [ a,b \right ]</math>　即<math>\left [ a,b \right ]=\left \{ x|a\leq x\leq b \right \}</math>。

:同样，把

:<math>(a,b]=\left \{ x|a<x\leq b \right \}</math>，

:<math>[a,b)=\left \{ x|a\leq x<b \right \}</math>

:称为'''半开区间'''。

*'''邻域'''
:以点<math>a</math>为中心的任何区间称为<math>a</math>的'''邻域'''，记作<math>U(a)</math>。邻域一般为'''有限区间'''

:设<math>\delta</math>是任一正数，则区间<math>\left ( a-\delta ,a+\delta \right )</math>就是点<math>a</math>的一个邻域，称此为点<math>a</math>的<math>\delta</math>邻域，记作<math>U(a,\delta)</math>，

:即<math>U\left ( a,\delta \right )=\left \{ a-\delta <x<a+\delta \right \}</math>，亦可记作<math>U\left ( a,\delta \right )=\left \{ x|\left \vert x-a \right \vert <\delta\right \}</math>

:称<math>a</math>为此'''邻域的中心'''，<math>\delta</math>为'''邻域的半径'''。

:同时，把点<math>a</math>的<math>\delta</math>邻域去掉中心<math>a</math>后，称为点<math>a</math>的'''去心的<math>\delta</math>邻域'''。

*'''无限区间：'''

:<math>\left ( a,+\infty  \right )=\left \{ x|a<x \right \}</math>，

:<math>[a,+\infty )=\left \{ x|a\leq x \right \}</math>，

:<math>\left ( -\infty ,b \right )=\left \{ x|x<b \right \}</math>，

:<math>(-\infty ,b]=\left \{ x|x\leq b \right \}</math>，

:<math>\left ( -\infty ,+\infty \right )</math>即区间元素<math>x</math>属于全体实数<math>R</math>。

===三、常量与变量：===
在一个变化过程中，固定不变的量叫做'''常量'''，变化的量叫做'''变量'''。

如对于过程：路程＝速度×时间，公式表达为<math>s=vt</math>。

在此公式中，如果一辆小车以60km/h匀速直线运动，则速度<math>v</math>为常量，因为随着时间<math>t</math>的增大，路程<math>s</math>也会增大，所以<math>t</math>和<math>s</math>是变量。

也可以说<math>s</math>是<math>t</math>的函数。

补充：一次函数解析式为<math>y=kx+b</math>，特别的，当<math>b=0</math>，函数变为<math>y=kx</math>，此时，称它是正比例函数。

===四、函数：===
对于集合<math>A</math>中的任何一个元素，在集合<math>B</math>中都有唯一的元素与它对应，这样的关系叫从集合<math>A</math>到集合<math>B</math>的'''映射'''或'''函数'''。

大多数情况下，映射规则是有序的。

函数表示形为：<math>y=f(x)</math>。

其中<math>y</math>是函数值（或在不引起歧义的情况下，简称为函数），<math>f</math>是对应法则，<math>x</math>是自变量。

注意：有些地方称<math>y</math>为因变量，在数学中，这种表述是不严谨的，应引起注意。

{{Calculus/Top Nav|预备知识|代数}}
{{Calculus/TOC}}