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==定义==
===一般定义===
'''设函数<math>y=f(x)\,\!</math>在点<math>\;x_0\;</math>的某个[[邻域]]内有定义，当自变量<math>\;x\;</math>在<math>\;x_0\;</math>处取得增量<math>\Delta x</math>（点<math>\;x_0+\Delta x</math>仍在该邻域内）时，相应地函数<math>\;y\;</math>取得增量<math>\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\,\!</math>；如果<math>\Delta</math><math>\;y\;</math>与<math>\Delta</math><math>\;x\;</math>之比当<math>\Delta</math><math>x\to 0</math>时的极限存在，则称函数<math>y=f(x)\,\!</math>在点<math>\;x_0\;</math>处[[可导]]，并称这个极限为函数<math>y=f(x)\,\!</math>在点<math>\;x_0\;</math>处的'''导数'''，记为<math>f'(x_0)\;\!</math>，即'''
<div style="text-align: center;">
<math>f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}</math>，
</div>
'''也可记作<math>\left.y^\prime\right|_{x=x_0}</math>，<math>\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0}</math> 或 <math>\left.\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0}</math>'''

若将一点扩展成函数<math>f(x)</math>在其定义域包含的某[[开区间]]<math>I</math>内每一个点，那么函数<math>f(x)</math>在[[开区间]]<math>\;I\;</math>内可导，这时对于<math>\;I\;</math>内每一个确定的<math>\;x\;</math>值，都对应着<math>f(x)</math>的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作[[原函数]]<math>f(x)</math>的导函数，记作：<math>y'</math>、<math>f'(x)\;\!</math>或者<math>\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}</math>

'''导函数的定义表达式为：'''
<div style="text-align: center;">
<math>f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}</math>
</div>

值得注意的是，导数是一个数，是指函数<math>f(x)</math>在点<math>x_0</math>处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。

===几何意义===
[[Image:Derivative.jpg|right|300px]]
如右图所示，设<math>P_0</math>为曲线上的一个定点，<math>P</math>为曲线上的一个动点。当<math>P</math>沿曲线逐渐趋向于点<math>P_0</math>时，并且割线<math>P P_0</math>的极限位置<math>P_0 T</math>存在，则称<math>P_0 T</math>为曲线在<math>P_0</math>处的切线。

若曲线为一函数<math>y=f(x)</math>的图像，那么割线<math>P P_0</math>的斜率为：

<div style="text-align: center;">
<math>\tan \varphi=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}</math>
</div>

当<math>P_0</math>处的切线<math>P_0 T</math>，即<math>P P_0</math>的极限位置存在时，此时<math>\Delta x \to 0</math>，<math>\varphi \to \alpha</math>，则<math>P_0 T</math>的斜率<math>\tan \alpha</math>为：

<div style="text-align: center;">
<math>\tan \alpha=\lim_{\Delta x \to 0} \tan \varphi=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}</math>
</div>

上式与一般定义中的导数定义是完全相同，则<math>f'(x_0)=\tan \alpha</math>，故导数的几何意义即曲线<math>y=f(x)</math>在点<math>P_0 (x_0,f(x_0))</math>处切线的斜率。

:

== 函数可导的条件 ==
如果一个[[函数]]的[[定义域]]为全体[[实数]]，即函数在<math>(-\infty,+\infty)</math>上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。'''函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。'''这实际上是按照极限存在的一个[[充要条件]]（[[极限]]存在，它的左右极限存在且相等）推导而来：
<div align=center>
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \to 0^{-}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \to 0^{+}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}</math>
</div>
上式中，后两个式子可以定义为函数在<math>x_0</math>处的左右导数：
{| class="wikitable" 
|- 
|左导数：<math>f'_{-}(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^{-}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} </math>
|}
{| class="wikitable"  
|- 
|右导数：<math>f'_{+}(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^{+}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} </math>
|}
用两个函数的例子来说明函数可导的条件。
[[Image:function_sgnx.jpg|center|400px|thumb|sgn函数，符号函数]]
1.上面这个符号函数在<math>x=0</math>处可导吗？
<div class="NavFrame" style="text-align: left;">
<div class="NavHead" style="text-align: center;">解答</div>
<div class="NavContent">
*求出导数在<math>x=0</math>处的左右导数，根据函数可导的条件再进行判断：
::该函数在<math>x=0</math>处的左导数为：<math>f'_{-}(0)=\lim_{ x \to 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{ x \to 0^{-}}\frac{-1-0}{x-0} =\lim_{ x \to 0^{-}} - \frac{1}{x}</math>
::这个极限发散，不存在，故这个符号函数在<math>x=0</math>处不可导。
</div></div>

[[Image:function_absx.jpg|center|400px|thumb|绝对值函数]]
2.上面这个[[绝对值]]函数在<math>x=0</math>处可导吗？
<div class="NavFrame" style="text-align: left;">
<div class="NavHead" style="text-align: center;">解答</div>
<div class="NavContent">
*求出导数在<math>x=0</math>处的左右导数，根据函数可导的条件再进行判断：
::该函数在<math>x=0</math>处的左导数为：<math>f'_{-}(0)=\lim_{ x \to 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{ x \to 0^{-}}\frac{-x-0}{x-0} =-1</math>
::该函数在<math>x=0</math>处的右导数为：<math>f'_{+}(0)=\lim_{ x \to 0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{ x \to 0^{+}}\frac{x-0}{x-0} =1</math>
::该函数在<math>x=0</math>处的左右导数皆存在，但由于左右导数不相等，故这个绝对值函数在<math>x=0</math>处不可导。
*注意：上面所用的定义式为推导定义式。
</div></div>
以上两个函数都是在定义域内连续的函数，由此就可以得出一个结论：'''连续的函数不一定处处可导。'''

但'''处处可导的函数一定处处连续'''。
<div class="NavFrame" style="text-align: left;">
<div class="NavHead" style="text-align: center;">证明如下</div>
<div class="NavContent">
*证明：设函数<math>f(x)</math>上一点<math>x_0</math>，函数在这一点可导，即<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>存在，其中
<div style="text-align: center;">
<math>\Delta y=f(x_0+ \Delta x)-f(x_0)</math>
</div>
<div style="text-align: center;">
所以：<math>\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y=\lim_{\Delta x \to 0}\left( \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x \right)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x = 0</math>
</div>
::即函数<math>f(x)</math>在<math>x_0</math>处连续。
</div></div>

== 导数的求导法则 ==
在解决函数的导数问题上，利用定义是在过于麻烦。故利用定义来引申出几个基本的求导法则，以利于更好地解决各类求导的问题。

=== 四则运算的求导法则 ===
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|-
| colspan=2 align=center bgcolor=#e3e3e3| '''求导法则'''
|-
|1||<math>[u(x) \pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)</math>
|-
|2||<math>[u(x) v(x)]'=u'(x) v(x)+u(x) v'(x)</math>
|-
|3||<math>\left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right] '=\frac{u'(x) v(x)-u(x) v'(x)}{v^2 (x)}</math>
|-
|}
特别地，对于常数<math>C</math>：
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|-
|4||<math>[C v(x)]'=C v'(x)</math>
|-
|5||<math>\left[ \frac{C}{v(x)} \right] '=\frac{-C v'(x)}{v^2 (x)}</math>
|}

以上法则的证明中，对于1，可以利用极限的运算法则验证；对于2，可以直接使用导数定义证明，证明如下：
*证明<math>[u(x) v(x)]'=u'(x) v(x)+u(x) v'(x)</math>
<div class="NavFrame" style="text-align: left;">
<div class="NavHead" style="text-align: center;">证明如下</div>
<div class="NavContent">
**证：<math>[u(x) v(x)]'=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}</math>（导数的定义式）
:::::<math>=\lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \cdot v(x+\Delta x) + u(x) \cdot \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x} \right]</math>
:::::<math>=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} v(x+\Delta x) + u(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x} </math>
:::::<math>=u'(x) v(x)+u(x) v'(x)</math>

或

:::::<math>=v(x) \frac{du(x)}{dx} + u(x) \frac{dv(x)}{dx}</math>
</div></div>

=== 复合函数求导 ===
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|-
| colspan=2 align=center bgcolor=#e3e3e3| '''求导法则'''
|-
|1||<math>\{u[v(x)]\}'=u'[v(x)]v'(x)</math>
|-
|}

=== 反函数的求导 ===
;设函数<math>y=f(x)</math>在<math>x</math>的某个邻域内连续，严格单调，且在<math>x</math>可导而且<math>f'(x) \ne 0</math>成立。则它的反函数<math>x=f^{-1}(y)</math>在<math>y</math>可导，且有：
:<math>[f^{-1}(y)]'=\frac{1}{f'(x)}</math>或者<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac {dx}{dy}}</math>

我们可以用一个例子来说明：试求函数<math>y= \arcsin x (|x|<1)</math>的导函数。

'''解'''：
<blockquote>
<math>y=\arcsin x (|x|<1)</math>是<math>x=\sin y (\left| y \right| < \frac{\pi}{2})</math>的反函数，且<math>x=\sin y</math>在<math>I_y = \left( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right)</math>开区间上严格单调、可导，且<math>(\sin y)' = \cos y >0</math>因此由反函数求导法则可得：在对应区间<math>I_y = (-1,1)</math>内有：
</blockquote>
<center>
<math>(\arcsin x)'=\frac {1}{(\sin y)'} = \frac {1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin ^{2} y}} = \frac{1}{\sqrt {1-x^2}}</math>
</center>

=== 参数方程和极坐标方程的求导 ===
对于[[参数方程]]：
<math>\begin{cases} x=\psi (t) \\ y=\phi (t) \end{cases}(\alpha \le t\le\beta)</math> ,其中<math>\phi (t)</math>和<math>\psi (t)</math>可导，且<math>x=\psi (t)</math>严格单调(?)，<math>\psi '(t) \ne 0</math>，根据复合函数求导法则和反函数求导法则可得参数方程的导数为：
<center>
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\phi '(t)}{\psi '(t)}</math>
</center>

对于[[极坐标]][[方程]]<math>\begin{cases} x=\rho (\theta) \cos \theta \\ y=\rho (\theta) \sin \theta \end{cases}</math>，根据参数方程的求导法则可得极坐标方程的导数为：
<center>
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left[ \rho (\theta) \sin \theta \right] '}{\left[ \rho (\theta) \cos \theta \right] '} = \frac{\rho _{\theta}^{'} \sin \theta + \rho \cos \theta}{\rho _{\theta}^{'} \cos \theta - \rho \sin \theta}</math>
</center>

=== 隐函数的求导 ===
*有关隐函数的定义，参见[[隐函数]]。

隐函数的求导方法的基本思想是要把[[方程]]<math>F(x,y)=0</math>中的看作<math>x</math>的函数<math>y(x)</math>，方程两端对<math>x</math>求导，然后再解出隐函数的导数<math>\frac{dy}{dx}</math>。

;给出一个例子来进一步说明：
:试求由方程<math>\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}</math>所确定的<math>y</math>关于<math>x</math>的隐函数的导数<math>\frac{dy}{dx}</math>，其中<math>(x,y>0)</math>。
;解：
:方程的两边同时对<math>x</math>求导得：
<center>
<math>\frac{d(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{dx} = \frac{d \sqrt{a}}{dx}</math>
</center>
<center>
<math>\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{dy}{dx}= 0</math>
</center>
<center>
<math>\frac{dy}{dx}=-\sqrt{\frac{y}{x}} (x,y>0)</math>
</center>

*通过例题，应当注意方程两边求导的对象是<math>x</math>，而<math>y</math>是用<math>x</math>表示的，相当于一个<math>x</math>的复合函数，故根据复合函数的求导法则：<math>[f(y)]'=f'(y) \cdot y_x^{'}</math>。本题中<math>f(y)=\sqrt{y},f'(y)=\frac{1}{2} y^{-\frac{1}{2}},y_x^{'}=\frac{dy}{dx}</math>

===高阶导数===


'''参数方程的高阶求导'''

对于[[参数方程]]：
<math>\begin{cases} x=\psi (t)\\ y=\phi (t) \end{cases}</math>，其中<math>\phi (t)</math>和<math>\psi (t)</math>二阶可导，且<math>\psi '(t) \ne 0</math>，则由<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\phi '(t)}{\psi '(t)}</math>，有


<math>
\frac{{{{\rm{d}}^2}y}}{{{\rm{d}}{x^2}}} </math>
<math>= \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}}\left( {\frac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}x}}} \right) </math>

<math>
= \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}}\left( {\frac{{\phi '(t)}}{{\psi '(t)}}} \right)</math>

<math>= \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\phi '(t)}}{{\psi '(t)}}} \right) \cdot \frac{{{\rm{d}}t}}{{{\rm{d}}x}}</math>

<math>= \frac{{\phi ''(t)\psi '(t) - \phi '(t)\psi ''(t)}}{{{{[\psi '(t)]}^2}}} \cdot \frac{1}{{\psi '(t)}}</math>

== 基本函数的导数 ==
{| class="wikitable" style="align:center; text-align:center" 
|-
| colspan=2 align=center bgcolor=#e3e3e3| '''基本导数公式'''
|-
|1||<math>C'=0</math>
|-
|2||<math>(x^\mu)'=\mu x^{\mu-1}</math>
|-
|3||<math>(\sin x)'=\cos x</math>
|-
|4||<math>(\cos x)'=-\sin x</math>
|-
|5||<math>(\tan x)'=\frac{1}{{\cos ^2}x}={\sec ^2}x</math>
|-
|6||<math>(\cot x)'=-\frac{1}{{\sin ^2}x}=-{\csc ^2}x</math>
|-
|7||<math>(\sec x)'={\sec x}{\tan x}</math>
|-
|8||<math>(\csc x)'=-{\csc x}{\cot x}</math>
|-
|9||<math>(\ln x)'=\frac{1}{x}</math>
|-
|10||<math>(\log_{a} x)'=\frac{1}{x \ln a}</math>
|-
|11||<math>(e^x)'=e^x</math>
|-
|12||<math>(a^x)'=a^x \ln a</math>其中<math>a>0,a \ne 1</math>
|-
|13||<math>(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|14||<math>(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|15||<math>(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}</math>
|-
|16||<math>(\arccot x)'=-\frac{1}{1+x^2}</math>
|-
|}

== 导数的应用 ==
[[物理学]]、[[几何学]]、[[经济学]]等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。例如，在物理学中，速度被定义为位置函数的导数，即：<math>v(t)={ds \over dt}</math>；而加速度被定义为速度函数的导数，即：<math>a(t)={dv \over dt}</math>。另外，导数还可以表示曲线在一点的[[斜率]]，以及经济学中的[[边际]]和[[弹性]]。
:

== 相关内容 ==
* [[../导数练习/]]
{{Wikipedia|导数}}
[[Category:數學分析]]