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'''常微分方程'''是未知函数只含有一个自变量的微分方程。

其实，在之前的学习过程中，你'''已经'''研究过一些非常简单的微分方程的解。比如说

: <math>\int f(x) \mathrm{d}x=g(x)</math>

其中<math>g(x)</math>为函数，你实际上是在解微分方程

: <math> g'(x) = f(x) \,</math>

== 符号和术语 ==
使用恰当的符号可以让我们解微分方程更容易。 

本文将主要使用以下四个符号来表示<math>f</math>的导数：

*<math>\mathrm{D}y</math>
* <math>f'</math>
* <math>\mathrm{d}f</math>
* <math>{\mathrm{d}f \over \mathrm{d}x}</math>（用于可分离变量方程）

=== 术语 ===
考虑如下微分方程

: <math>3 f^{\prime \prime}(x)+5xf(x)=11</math>

方程中导数最高为2阶，因此我们说该方程为'''二阶微分方程'''。

== 一些简单的微分方程 ==
求解微分方程的一个关键思想是积分。

我们来考虑下面这个二阶微分方程

: <math>f''(x)=2 \,</math>

我们怎么解决这个问题呢？方程告诉我们，求两次导以后，得到常数2，所以，如果我们积分两次，应该就能算出答案。 

积分一次： 	

: <math>\int f''(x) \,dx = \int 2 \,dx</math>
: <math>f'(x)=2x+C_1 \,</math>

我们已经把困难的二阶微分方程转化成了一个简单点的方程，即

: <math>f'(x)=2x+C_1 \,</math>

这个等式告诉我们，把函数求一次导，可以得到<math>2x+C_1</math>。我们再积分一次，就能算出答案了。

: <math>\int f'(x) \,dx = \int 2x+C_1 \,dx</math>
: <math>f(x)=x^2+C_1x+C_2 \,</math>

这就是微分方程的'''解'''。对'''任意'''<math>C_1</math>和 <math>C_2</math>，都有<math>f''=2 \,</math>。

<math>C_1</math>和<math>C_2</math>与'''初始条件'''的值有关。如果待解方程给定了初始条件，我们可以在积分之后替换进去。

=== 例题 ===
求解 <math>f''(x)=2 \,</math>，初始条件为<math>f'(0)=3 \,</math>，<math>f(0)=2 \,</math>。

解答过程会比上面多这么几步：

: <math>f'(0)=2(0)+C_1 \,</math>
: <math>3=C_1 \,</math>
: <math>\int f'(x) \,dx = \int 2x+3 \,dx</math>
: <math>f(x)=x^2+3x+C_2 \,</math>
: <math>f(0)=0^2+3(0)+C_2 \,</math>
: <math>2=C_2 \,</math>
: <math>f(x)=x^2+3x+2 \,</math>

如果没有初始条件，我们算出的答案就叫'''通解'''；如果有初始条件，就叫'''特解'''。

== 基本一阶微分方程 ==
在本节中，我们将研究'''四种'''微分方程：

* 可分离变量方程
* 齐次方程
* 线性方程
* 全微分方程

此外，还有许多其他形式的微分方程，将在下一节中讨论。

=== 可分离变量方程 ===
'''可分离变量方程'''基本形式为（这里使用<math>{dy \over dx}</math>更方便）

:<math>{dy \over dx} = {f(x) \over g(y)}</math>

之前我们只处理过<math>g(y) = 1</math>的微分方程。上面那个可分离变量方程怎么解决呢？

我们把变量<math>x</math>和<math>dx</math>、<math>y</math>和<math>dy</math>放到一起

:<math>g(y)\ dy = f(x)\ dx</math>

两边分别对<math>y</math>和<math>x</math>积分

:<math>\int g(y)\,dy=\int f(x)\,dx+C</math>

便能得到解答。

==== 例题 ====
求解

:<math>{dy \over dx} = 3x^2y</math>

分离变量
:<math>{dy \over y} = (3x^2)\,dx</math>

两边积分
:<math>\int {dy \over y} = \int 3x^2\,dx</math>
:<math>\ln{y}=x^3+C \,\!</math>
:<math>y=e^{x^3+C}</math>

令<math>k = e^C</math>，其中<math>k</math>为常数，得到

:<math>y=ke^{x^3}</math>

这便是上述方程的通解。

==== 验算 ====
这一步不是必要的，但是可以用来验证答案的正确性。

我们算出来的答案是
:<math>y=ke^{x^3}</math>

题目是
:<math>{dy \over dx} = 3x^2y</math>

把答案对<math>x</math>微分，得

:<math>{dy \over dx} = 3kx^2e^{x^3}</math>

由于<math>y=ke^{x^3}</math>，所以
:<math>{dy \over dx} = 3x^2y</math>

我们得到了题给的微分方程，因此我们的答案是正确的。

=== 齐次方程 ===
'''齐次方程'''形式为 
:<math>{dy \over dx} = f({y \over x})</math>

这看起来很困难，但我们可以令<math>v = {y \over x}</math>，得到

:<math>{dy \over dx} = f(v)</math>

现在只需处理<math>f(v)</math>而非<math>f({y \over x})</math>了。

再用<math>v</math>来表示<math>y</math>，即<math>y=vx</math>，

:<math>{dy \over dx} = {dvx \over dx} = v+x{dv \over dx}</math>

于是
:<math>v+x{dv \over dx} = f(v)</math>
:<math>x{dv \over dx} = f(v)-v</math>
:<math>{dv \over dx} = {f(v)-v \over x}</math>

就变成了可分离变量方程。

==== 例题 ====
求解
:<math> {dy \over dx} = {y^2 + x^2 \over yx}</math>

我们把式子写成这样
:<math> {dy \over dx} = {y^2 \over yx} + {x^2 \over yx}</math>
:<math> {dy \over dx} = {x \over y} + {y \over x}</math>

令<math>v = {y \over x}</math>，得到

:<math> {dy \over dx} = {1 \over v} + v</math>

再用<math>v</math>来表示<math>y</math>

:<math> v+x{dv \over dx} = {1 \over v} + v</math>

两边消去<math>v</math>，化简

:<math> x{dv \over dx} = {1 \over v}</math>

分离变量
:<math> v\, dv = {dx \over x}</math>

两边积分
:<math> {1 \over 2}v^2+C= \ln(x) \,</math>
:<math> {1 \over 2}\left({y \over x}\right)^2= \ln(x)-C</math>
:<math> y^2 = 2x^2 \ln(x) - 2Cx^2 \,</math>
:<math> y = x\sqrt{2 \ln(x) - 2C}</math>

这便是上述方程的通解。

=== 线性方程 ===
'''一阶线性微分方程'''形式为
:<math> a(x){dy \over dx} + b(x)y=c(x)</math>

注意到方程两边同时乘或除<math> x </math>的任意非零函数，都不会对解产生影响。

乍一看，等式左边不能直接积分。但是，有一个特殊情况。如果<math> b </math>是<math> a </math>的导数，我们就可以这么办

:<math>a(x){dy \over dx} + b(x)y = a(x){dy \over dx} + y{da \over dx}
= {d \over dx}a(x)y </math>

现在，积分就很简单了。

我们把原方程两边同时乘以任意一个函数<math> I(x) </math>，得到

:<math> aI{dy \over dx} + bIy=cI</math>

我们假设如下条件：

:<math> \frac{d}{dx}aI = bI </math>

如果这个条件满足，就可以用上面说的那种办法了。

这个条件其实等价于

:<math> \frac{1}{I}\frac{dI}{dx} = \frac{b-\frac{da}{dx}}{a} </math>

积分，得

:<math> \ln I(x) = \int \frac{b(z)}{a(z)}dz - \ln a(x) + c \quad</math>
:<math> I(x)=\frac{k}{a(x)}e^{\int \frac{b(z)}{a(z)}dz}</math>

把常数<math> k </math>设为1，不会对结果产生影响。

代入原方程，得

:<math> e^{\int \frac{b(z)}{a(z)}dz}{dy \over dx} + 
e^{\int \frac{b(z)}{a(z)}dz} \frac{b(x)}{a(x)}y
=e^{\int \frac{b(z)}{a(z)}dz}\frac{c(x)}{a(x)}</math>

化简，得 

:<math> {d \over dx}(ye^{\int \frac{b(z)}{a(z)}dz}) = 
e^{\int \frac{b(z)}{a(z)}dz}\frac{c(x)}{a(x)}</math>

两边积分并除以<math>e^I</math> 得

:<math> y = e^{-\int \frac{b(z)}{a(z)}dz}
\left(\int e^{\int \frac{b(z)}{a(z)}dz}\frac{c(x)}{a(x)}dx + C\right)
</math>

我们称<math>I</math>为'''积分因子'''。类似的方法也可用于其他一些微积分问题。

====例题====

求解

:<math>\frac{dy}{dx} + y \tan x = 1</math>，初始条件为<math>y(0)=0</math>

首先算出积分因子<math>I</math>

:<math>I=e^{\int \tan x dx} = e^ {\ln \sec x} = \sec x </math>

方程两边同时乘<math>I</math>，得

:<math>\sec x \frac{dy}{dx} + y \sec x \tan x = \sec x </math>

或

:<math> \frac{d}{dx} y\sec x = \sec x </math>

积分，得

:<math> y = \cos x \int_0^x \sec z \, dz = \cos x \ln (\sec x + \tan x) </math>

=== 全微分方程 ===
'''全微分方程'''形式为
:<math> f(x,y)dx+g(x,y)dy=0 </math>

且有性质
:<math> D_xf=D_yg </math>（即<math> f </math>对<math> x </math>的导数等于<math> g </math>对<math> y </math>的导数）

（如果微分方程没有这个性质，那么我们就不能再继续解下去了。）

因此，如果我们有一个全微分方程，那么就存在一个函数<math> h(x,y) </math>使得

:<math> D_yh=f </math>，且<math> D_xh=g </math>

于是解的形式为
:<math> h(x,y)=c </math>

便可通过积分找到<math> h(x,y) </math>。

== 基本二阶和高阶常微分方程 ==
<math> n </math>阶常微分方程的通解会含有<math> n </math>个积分常量。要把它们都计算出来，我们还需要<math> n </math>个方程。大多数情况下，题目会给定

: 边缘条件，即<math> x </math>取两个不同的值时<math> y </math>及其导数的值

或者

: 初始条件，即<math> x </math>取某一值时<math> y </math>及其前<math> n-1 </math>阶导数的值。

=== 可降阶常微分方程 ===
一、如果自变量<math> x </math>不出现在微分方程中，那么我们便可以把二阶微分方程降为一阶微分方程。

考虑方程

: <math>F\left(y,\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2}\right)=0</math>

令

: <math>u=\frac{dy}{dx}</math>

则

: <math>\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dy}\cdot u</math>

将这两个表达式代入原方程，我们得到

: <math>F\left(y,u,\frac{du}{dy}\cdot u\right)</math>=0

这便是一个一阶微分方程。

==== 例题 ====
求解

: <math>1+2y^2\frac{d^2y}{dx^2}=0</math>

其中当<math>x=0</math>时，<math>y=y'=1</math>。

首先，我们进行代换，得到

: <math>1+2y^2 u \frac{du}{dy}=0</math>

这是一个一阶常微分方程。整理并分离变量，得

: <math>udu=-\frac{dy}{2y^2}</math>

两边积分，得

: <math>\frac{u^2}{2}=c+\frac{y}{2}</math>

我们知道了当<math>x=0</math>时<math>y</math>和<math>u</math>的值，所以我们可以求出<math>c</math>

: <math>c=\frac{u^2}{2}-\frac{y}{2}=\frac{1^2}{2}-\frac{1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0</math>

接下来

: <math>\frac{dy}{dx}^2=u^2=\frac{1}{y}</math>

然后开平方根

: <math>\frac{dy}{dx}=\pm \frac{1}{\sqrt{y}}</math>

要找到根号外面是取正号还是取负号，我们可以再用一遍初始条件，便可以把符号排除，得到

: <math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{y}}</math>

其解为

: <math>\frac{2}{3}y^\frac{3}{2}= x+d</math>

因为当<math>x=0</math>时<math>y=1</math>，所以<math>d=\frac{2}{3}</math>，于是

: <math>y=\left(1 + \frac{3x}{2} \right)^\frac{2}{3}</math>

二、如果因变量<math> y </math>不出现在微分方程中，那么我们也可以把二阶微分方程降为一阶微分方程。

考虑方程

:<math>F\left(x,\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2}\right)=0</math>

令

:<math>u=\frac{dy}{dx}</math>

则

:<math>\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{du}{dx}</math>

将这两个表达式代入原方程，我们得到

:<math>F\left(x,u,\frac{du}{dx}\right)</math>=0

这便是一个一阶微分方程。

=== 线性常微分方程 ===
称形如

: <math>\frac{d^ny}{dx^n}+a_1(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+ ... +a_n y=F(x)</math>

的常微分方程为'''线性'''。这类方程比典型的非线性常微分方程更容易解决。初等函数只能解决少数特殊情况，但一般的线性常微分方程的解法超出本书讨论范围。

若对任意<math>x</math>，<math>F(x)=0</math>，则称该常微分方程'''齐次'''。

一般的线性方程有这么两个有用的性质：

# 一个齐次线性方程的解的任意线性组合都是该方程的解；
# 如果已知一个非齐次线性方程的解，我们给它加上对应的齐次线性方程的任意一个解，就会得到该非齐次线性方程的另一个解。

==== 常数变易法 ====
假设我们有一个线性常微分方程

: <math>\frac{d^ny}{dx^n}+a_1(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+ ... +a_n(x)y=0</math>

并且我们知道它的一个解为<math>y=w(x)</math>。

由性质可知<math>y=wz</math>总是原方程的一个解，因此方程便变为<math>z</math>的<math>n</math>阶线性方程。

我们知道<math>z</math>为常数是方程的一个解，因此<math>z</math>的这个常微分方程一定不含有<math>z</math>项，所以它实际上是一个<math>n-1</math>阶线性常微分方程，这样便使方程降了一阶。

===== 例题 =====
求解

: <math>\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{2}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{6}{x^2}y=0</math>

方程的一个解为<math>y=x^2</math>，因此我们把<math>y=zx^2</math>代入方程，得到

: <math>\left( x^2\frac{d^2z}{dx^2}+4x\frac{dz}{dx}+2z\right) 
+\frac{2}{x} \left( x^2\frac{dz}{dx}+2xz \right) -\frac{6}{x^2}x^2 z=0</math>

化简，得

: <math>x^2\frac{d^2z}{dx^2}+6x\frac{dz}{dx}=0</math>

这是一个<math>\frac{dz}{dx}</math>的一阶方程，解得

:<math>z=C x^{-5}</math>，<math>y=C x^{-3}</math>

由于方程是线性的，两个解的线性组合便是通解，即

:<math>y=C_1 x^{-3} + C_2 x^2</math>

==== 常系数线性齐次常微分方程 ====
假设我们有一个常微分方程

: <math> (D^n+a_1 D^{n-1}+ ... + a_{n-1}D+a_0)y=0</math>

我们猜测有一个解为

: <math>y=e^{px}</math>

这个函数<math>D^ny=p^ny</math>，因此方程变为

: <math> (p^n+a_1 p^{n-1}+ ... + a_{n-1}p+a_0)y=0</math>

<math>y=0</math>显然是一个解，不考虑。我们只需研究

: <math> p^n+a_1 p^{n-1}+ ... + a_{n-1}p+a_0=0</math>

这是原方程的'''特征方程'''。

这个方程可以有多达<math>n</math>个解<math>p_1,p_2,...,p_n</math>，每一个<math>p</math>都对应着原方程的一个解。

由于方程是线性的，<math>n</math>个解的线性组合便是通解，即

:<math>y=C_1 e^{p_1 x} +C_2 e^{p_2 x} + ... + C_n e^{p_n x}</math>

===== 二阶 =====
如果常微分方程是二阶

: <math>D^2 y + bDy+cy=0</math>

那么特征方程就是二次方程

: <math>p^2+bp+c=0</math>

其根为

: <math>p_{\pm}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4c}}{2}</math>

依<math>b^2-4c</math>的符号不同，我们有以下三种情况：

一、<math>b^2-4c>0</math>

此时方程有两个不同实根，我们可直接写出解

:<math> y=C_1e^{p_{+}}+C_2e^{p_{-}}</math>

二、<math>b^2-4c<0</math>

此时方程有两个虚根。我们可以像上面那样直接把它们写到表达式中，但其实还有另一种更好的形式。

令<math>k^2=4c-b^2</math>，则解为

:<math>y=C_{+}e^{ikx-\frac{bx}{2}}+C_{-}e^{-ikx-\frac{bx}{2}}</math>

这个表达式如果是实数，两个<math>C</math>必定共轭，即

:<math>C_{\pm}=C e^{\pm ia}</math>

代入，得

:<math>y=C e^\frac{-bx}{2}\cos (kx+c)</math>

三、<math>b^2-4c=0</math>

此时方程有两个相等的实根<math>p=-\frac{b}{2}</math>。我们得使用另一种方法来找到另一个不同的解。

为此，我们使用常数变易法。用<math>p</math>表示<math>b</math>和<math>c</math>，待解方程变为

: <math>D^2 y -2pDy+p^2y=0</math>

从这个特征方程我们可以知道方程的一个解是<math>y=e^{px}</math>，因此我们令<math>y=ze^{px}</math>，得到

: <math> (e^{px}D^2z+2pe^{px}Dz+p^2e^{px}z)-2p(e^{px}Dz+pe^{px}z)+p^2e^{px}z=0 </math>

所以<math>D^2z=0</math>，于是

: <math>z=C_1x+C_2</math>，<math>y=(C_1x+C_2)e^{px}</math>

所以这第二个解就是第一个解乘<math>x</math>。

高阶方程的处理方法也是这样的。比如说，如果特征方程是这样的：

: <math>(p-1)^4(p-3)(p^2+1)^2=0</math>

那么对应的常微分方程的通解就是

: <math>y=(C_1+C_2x+C_3x^2+C_4x^3)e^x + C_5e^{3x}+ C_6 \cos (x+c_1) +C_7x \cos(x+c_2)</math>

过程中最困难的部分就是找到特征方程的解。