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{{Calculus/Top Nav|极限/极限与连续|极限/习题}}
{{Calculus/Def|text=若<math>a</math>，<math>b</math>均为常数，则<math>\lim_{x\to a}b=b</math>。}}

; 证明
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欲证<math>\lim_{x \to a}b=b</math>，只需找到一个<math>\delta>0</math>，使得对任意<math>\varepsilon>0</math>，当<math>0<|x-a|<\delta</math>时，都有<math>|b-b|<\varepsilon</math>。由于<math>|b-b|=0</math>且<math>\varepsilon>0</math>, 则<math>|b-b|<\varepsilon</math>对任意<math>\delta</math>均成立，证毕。
{{Calculus/Def|text=若<math>a</math>为常数，则<math>\lim_{x\to a}x=a</math>。}}

; 证明

欲证<math>\lim_{x\to a}x=a</math>，只需找到一个<math>\delta>0</math>，使得对任意<math>\varepsilon>0</math>，当<math>0<|x-a|<\delta</math>时，都有<math>|x-a|<\varepsilon</math>。取<math>\delta=\varepsilon</math>，满足条件，证毕。
{{Calculus/Def|text=设<math>\lim_{x\to c}f(x)=L</math>，<math>\lim_{x\to c}g(x)=M</math>，则<math>\lim_{x\to c}\Big[f(x)+g(x)\Big]=\lim_{x\to c}f(x)+\lim_{x\to c}g(x)=L+M</math>。|title=线性规则}}

; 证明

显然，必有函数<math>\delta_f(\varepsilon)</math>和<math>\delta_g(\varepsilon)</math>，使得对任意<math>\varepsilon>0</math>，当<math>|x-c|<\delta_f(\varepsilon)</math>时，<math>\Big|f(x)-L\Big|<\varepsilon</math>；当<math>|x-c|<\delta_{g}(\varepsilon)</math>时，<math>\Big|g(x)-M\Big|<\varepsilon</math>。两式相加，得<math>\Big|f(x)-L\Big|+\big|g(x)-M\big|<2\varepsilon</math>。

由[[w:三角不等式|三角不等式]]，得<math>\bigg|[f(x)-L]+[g(x)-M]\bigg|=\bigg|[f(x)+g(x)]-(L+M)\bigg|\le\Big|f(x)-L\Big|+\Big|g(x)-M\Big|</math>。

因此，当<math>|x-c|<\delta_f(\varepsilon)</math>且<math>|x-c|<\delta_{g}(\varepsilon)</math>时，<math>\bigg|[f(x)+g(x)]-(L+M)\bigg|<2\varepsilon</math>。

设<math>\delta_{fg}(\varepsilon)</math>为<math>\delta_f(\tfrac{\varepsilon}{2})</math>和<math>\delta_g(\tfrac{\varepsilon}{2})</math>二者中较小者，则<math>\lim_{x\to c}\Big[f(x)+g(x)\Big]</math>的定义中的<math>\delta</math>即为<math>\delta_{fg}(\varepsilon)</math>，求出值为<math>L+M</math>，证毕。
{{Calculus/Def|text=设<math>\lim_{x\to c}f(x)=L</math>，<math>\lim_{x\to c}g(x)=M</math>，则<math>\lim_{x\to c}\Big[f(x)-g(x)\Big]=\lim_{x\to c}f(x)-\lim_{x\to c}g(x)=L-M</math>。|title=线性规则}}

; 证明

令<math>h(x)=-g(x)</math>，则<math>\lim_{x\to c}h(x)=-M</math>，故<math>\lim_{x\to c}\Big[f(x)-g(x)\Big]=\lim_{x\to c}\Big[f(x)+h(x)\Big]=L-M</math>，证毕。
{{Calculus/Def|text=设<math>\lim_{x\to c}f(x)=L</math>，<math>\lim_{x\to c}g(x)=M</math>，则<math>\lim_{x\to c}\Big[f(x)g(x)\Big]=\lim_{x\to c}f(x)\lim_{x\to c}g(x)=LM</math>。|title=积规则}}

; 证明

设<math>\varepsilon</math>为任意正数，则必有<math>\delta_1,\delta_2,\delta_3</math>，使得

# 当<math>0<|x-c|<\delta_1</math>时，<math>\Big|f(x)-L\Big|<\frac{\varepsilon}{2(1+|M|)}</math>；
# 当<math>0<|x-c|<\delta_2</math>时，<math>\Big|g(x)-M\Big|<\frac{\varepsilon}{2(1+|L|)}</math>；
# 当<math>0<|x-c|<\delta_3</math>时，<math>\Big|g(x)-M\Big|<1</math>。

由3得当<math>0<|x-c|<\delta_3</math>时，<math>\Big|g(x)\Big|=\bigg|g(x)-M+M\bigg|\le\Big|g(x)-M\Big|+|M|<1+|M|</math>，则当<math>0<|x-c|<\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}</math>时，由1和2得<math>\begin{align}\bigg|f(x)g(x)-LM\bigg|
&=\bigg|f(x)g(x)-Lg(x)+Lg(x)-LM\bigg|\\
&\le\bigg|f(x)g(x)-Lg(x)\bigg|+\bigg|Lg(x)-LM\bigg|\\
&=\Big|g(x)\Big|\Big|f(x)-L\Big|+|L|\Big|g(x)-M\Big|\\
&<(1+|M|)\frac{\varepsilon}{2(1+|M|)}+(1+|L|)\frac{\varepsilon}{2(1+|L|)}\\
&=\varepsilon
\end{align}</math>，证毕。
{{Calculus/Def|title=商规则|text=设<math>\lim_{x\to c}f(x)=L</math>，<math>\lim_{x\to c}g(x)=M\ne 0</math>，则<math>\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to c}f(x)}{\lim\limits_{x\to c}g(x)}=\frac{L}{M}</math>。}}

; 证明

若<math>\lim_{x\to c}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}</math>，则可令<math>h(x)=\frac{1}{g(x)}</math>，运用积规则可证商规则。下证<math>\lim_{x\to c}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}</math>：

设<math>\varepsilon</math>为任意正数，则必有<math>\delta_1,\delta_2</math>，使得

# 当<math>0<|x-c|<\delta_1</math>时，<math>\Big|g(x)-M\Big|<\varepsilon|M|\Big||M|-1\Big|</math>；
# 当<math>0<|x-c|<\delta_{2}</math>时，<math>\Big|g(x)-M\Big|<1</math>。

由2得<math>|M|=|M-g(x)+g(x)|\le|M-g(x)|+|g(x)|<1+|g(x)|</math>，则当<math>0<|x-c|<\delta_2</math>时，<math>|g(x)|>|M|-1</math>。

故当<math>0<|x-c|<\delta_2</math>时，<math>\left|\frac{1}{g(x)}\right|<\frac{1}{|M|-1}\le\Big|\frac{1}{|M|-1}\Big|</math>。

当<math>0<|x-c|<\min\{\delta_1,\delta_2\}</math>时，有

:<math>\begin{align}\left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right|&=\left|\frac{M-g(x)}{Mg(x)}\right|\\
&=\left|\frac{g(x)-M}{Mg(x)}\right|\\
&=\left|\frac{1}{g(x)}\right|\left|\frac{g(x)-M}{M}\right|\\
&<\left|\frac{1}{|M|-1}\right|\left|\frac{g(x)-M}{M}\right|\\
&<\left|\frac{1}{|M|-1}\right|\left|\frac{\varepsilon|M|\Big||M|-1\Big|}{M}\right|\\
&=\varepsilon
\end{align}</math>，证毕。
{{Calculus/Def|title=夹挤原理|text=设<math>\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}h(x)=L</math>，且在<math>c</math>的某个去心邻域内有<math>g(x)\le f(x)\le h(x)</math>，则<math>\lim_{x\to c}f(x)=L</math>。}}

; 证明

显然，必有<math>\delta</math>，使得当<math>0<|x-c|<\delta</math>时，<math>\Big|g(x)-L\Big|<\varepsilon</math>，<math>\Big|h(x)-L\Big|<\varepsilon</math>。

不等式等价于：<math>0<|x-c|<\delta</math>时，<math>L-\varepsilon<g(x)<L+\varepsilon</math>，<math>L-\varepsilon<h(x)<L+\varepsilon</math>。

因此当<math>0<|x-c|<\delta</math>时，<math>L-\varepsilon<g(x)<f(x)<h(x)<L+\varepsilon</math>，或当<math>0<|x-c|<\delta</math>时，<math>-\varepsilon<g(x)-L<f(x)-L<h(x)-L<\varepsilon</math>。

故当<math>0<|x-c|<\delta</math>时，<math>\Big|f(x)-L\Big|<\max\Big\{\Big|g(x)-L\Big|,\Big|h(x)-L\Big|\Big\}<\varepsilon</math>，证毕。
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