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上一节中我们给出了数列和函数的极限的定义。以下我们将研究与极限相关的一些性质。如上一节的评论中最后一条指出的，数列的极限可以看成是函数极限的特列，所以我们将主要讨论函数极限的性质，间或给出数列极限的情况。

==极限的性质==
{{Calculus/Def
|title=性质 1（极限的唯一性）：
|text=函数在某点或无穷远处的极限（数列的极限）如果存在（无论是一个确定的数值还是无穷大），那么只有一个。
}}
这个性质告诉我们，求某个函数或数列的极限时，只需要找到一个极限值就可以了。这个性质也可以用于证明极限不存在。

'''例一'''

证明函数<math>f(x) = \sin(x)</math>在<math>x</math>趋于正无穷大时没有极限。这里的证明会运用[[w:反证法|反证法]]。

假设函数<math>f(x) = \sin(x)</math>在<math>x</math>趋于正无穷大时有极限，那么由'''性质 1'''可知，极限只有一个。设这个极限为<math>L</math>。根据极限的定义，对任意的正实数<math>\epsilon</math>，都存在正实数<math>M</math>，使得对任意<math>x > M</math>，都有<math>\vert f(x) - L \vert < \epsilon</math>。现选取<math>\epsilon = \frac13</math>，则存在对应的<math>M</math>。选择一个<math>k\in\mathbb{N}</math>，使得<math>2k \pi > M</math>，那么<math>(2k+1) \pi > M</math>。这时候<math>f</math>的值是：<math> f(2k \pi) = \sin(2k \pi) = 1</math>和<math> f((2k+1) \pi) = \sin((2k+1) \pi) = -1</math>，所以有
:<math>\vert 1- L \vert < \frac13 \, , \qquad \vert -1- L \vert < \frac13</math>
也就是说，极限<math>L</math>同时满足<math> L \in (\frac23, \frac43)</math>和<math>L \in (-\frac23, -\frac43)</math>，但这不可能，因为这两个区间交集是空集（没有共同元素）。综上所述，初始的假设不成立，函数<math>f </math>在<math>x</math>趋于正无穷大时没有极限。

{{Calculus/Def
|title=性质 2（极限的局部有界性）：
|text=如果函数<math>f(x)</math>在某点<math>c</math>有（有限的）极限<math>L </math>，那么函数<math>f(x)</math>点<math>c</math>附近有界。
}}
这个性质可以从极限的定义导出。由于<math>x</math>离点<math>c</math>足够近的时候，<math>f(x)</math>和<math>L </math>的差别就会足够小，所以不可能趋于无穷大。这个性质还有若干个不同的版本，比如，如果函数<math>f(x)</math>在某点<math>c</math>有（有限的）极限<math>L </math>，那么对一个大于<math>L </math>的常数<math>M</math>，函数<math>f(x)</math>点<math>c</math>附近必然小于常数<math>M</math>。

{{Calculus/Def
|title=性质 3（极限的保号性）：
|text=如果一个函数在某一点附近大于等于0，并且在趋于这一点时有极限，那么极限也大于等于0。

如果一个函数在自变量充分大（充分小）的时候恒大于等于0，并且在正无穷（负无穷）处有极限，那么极限也大于等于0.

如果一个数列的每一项都大于等于0，并且有极限，那么它的极限大于等于0.
}}
极限的保号性在证明不等式或求极限的时候都有用处。需要注意的是，即使函数在一点附近严格大于0，极限也可能等于0，所以保号性只限于宽松的不等号，而不能应用于严格的不等号：一个函数在某一点附近严格大于0，并且在趋于这一点时有极限，并不能推出极限也大于0。

从极限的保号性可以推出极限的另一个性质：
{{Calculus/Def
|title=推论 1：
|text=
{{Calculus/Def 
|text=如果两个函数<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>在某一点<math>c</math>附近有极限：<math>\lim_{x \to c } f(x) = L_1, \qquad \lim_{x \to c } g(x) = L_2</math>

并且<math>f(x)</math>总是大于等于<math>g(x)</math>，那么极限<math>L_1 \geqslant L_2</math>。
}}
{{Calculus/Def 
|text=
如果两个函数<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>在自变量充分大（充分小）的时候有极限，比如：<math>\lim_{x \to +\infty} f(x) = L_1, \qquad \lim_{x \to +\infty} g(x) = L_2</math>

并且<math>f(x)</math>恒大于等于<math>g(x)</math>，那么极限<math>L_1 \geqslant L_2</math>。
}}
{{Calculus/Def 
|text=
如果两个数列<math>\{a_n\}_{n=1}^{\infty} </math>和<math>\{b_n\}_{n=1}^{\infty} </math>都有极限：<math>\lim_{n \to \infty} a_n = L_1, \qquad \lim_{n \to \infty} b_n = L_2</math>

并且<math>\forall n , \, a_n \geqslant b_n </math>，那么极限<math>L_1 \geqslant L_2</math>。
}}
}}

'''例二'''

证明<math>\pi > 3</math>。

让我们计算单位圆内接正多边形的面积<math>P(n)</math>：<math>P(n) = \frac{n}{2}\sin\left( \frac{2\pi}{n} \right).</math>当<math>n=12</math>的时候，面积<math>P(n) = 3</math>。使用平面几何可以证明<math>P(2n) > P(n)</math>，并且由于正多边形随着边数的增加越来越近似圆形，我们有<math>\lim_{n\to\infty}P(n) = \pi</math>考虑数列：
:<math>a_n = P(12 \cdot 2^n) \, , \qquad b_n = P(24).</math>
数列<math>\{a_n\}_{n=1}^{\infty} </math>的每一项都比前一项大，所以<math>\forall n, \, a_n >a_1 = P(24) = b_n</math>，所以根据'''性质 3'''，
:<math> \pi = \lim_{n\to\infty} a_n \geqslant \lim_{n\to\infty} b_n = P(24) > P(12) = 3.</math>

从'''性质 3'''还可以推出一个在实际中十分有用的结果：
{{Calculus/Def
|title=推论 2（夹逼定理）：
|text= 
{{Calculus/Def
|text= 如果两个函数<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>在某一点<math>c</math>附近有同一个极限：<math>\lim_{x \to c } f(x) =  \lim_{x \to c } g(x) = L</math>

并且另一个函数<math>h(x)</math>总是介于<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>之间：<math>  f(x) \leqslant h(x) \leqslant g(x).</math>

那么<math>h(x)</math>在点<math>c</math>附近也有极限，并且极限是<math>L</math>。
}}
{{Calculus/Def
|text=
如果两个函数<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>在自变量充分大（充分小）的时候有同一个极限，比如：<math>\lim_{x \to +\infty} f(x) =  \lim_{x \to +\infty} g(x) = L </math>

并且另一个函数<math>h(x)</math>总是介于<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>之间：<math>  f(x) \leqslant h(x) \leqslant g(x).</math>

那么<math>h(x)</math>在趋向正无穷大时也有极限，并且极限是<math>L</math>。
}}
{{Calculus/Def
|text=
如果两个数列<math>\{a_n\}_{n=1}^{\infty} </math>和<math>\{b_n\}_{n=1}^{\infty} </math>都有同一个极限：<math>\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = L.</math>

并且另一个数列<math>\{c_n\}_{n=1}^{\infty} </math>总是介于<math>\{a_n\}_{n=1}^{\infty} </math>和<math>\{b_n\}_{n=1}^{\infty} </math>之间：<math>  a_n \leqslant c_n \leqslant b_n.</math>

那么数列<math>\{c_n\}_{n=1}^{\infty} </math>的极限也存在，并且极限是<math>L</math>。
}}
}}

夹逼定理有助于解决许多求极限的问题。当一个函数（或数列）的极限比较难求的时候，可以用两个函数“夹迫”它，然后证明这两个函数有相同的极限，然后运用夹逼定理就可以得到原来的函数也有相同的极限。

'''例三'''

求函数<math>f \, : \, x \mapsto \frac{\sin(x)}{x}</math>当<math>x</math>趋于<math>0</math>时的极限。

这是一个很重要的基本极限。首先从几何上可以证明如下的不等关系：
:<math>\cos (x) < \frac{\sin(x)}{x} < 1  </math>
然而两边的函数<math>g \, : \, x \mapsto \cos(x)</math>和<math> h \, : \, x \mapsto 1</math>在<math>x</math>趋于<math>0</math>时的极限都是1，所以根据夹逼定理，<math>f (x) = \frac{\sin(x)}{x}</math>当<math>x</math>趋于<math>0</math>时的极限也是1。

'''例四'''

求数列<math>a_n = (2^n + 3^n + 4^n)^{1/n}</math>的极限。

欲运用夹逼定理求数列<math>\{a_n\}_{n=1}^{\infty} </math>的极限，则需要对每一项<math>a_n</math>进行上限和下限的估计。首先显然有：<math>a_n = (2^n + 3^n + 4^n)^{1/n} > (4^n)^{1/n} = 4</math>，另一方面，<math>a_n < (4^n + 4^n + 4^n)^{1/n} = (3 \cdot 4^n)^{1/n} = 4 \cdot \sqrt[n]{3} </math>。而我们知道：<math>\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{3} = 1 </math>，所以<math>\lim_{n\to\infty} 4 \cdot \sqrt[n]{3} = 4 </math>。所以根据夹逼定理，数列<math>\{a_n\}_{n=1}^{\infty} </math>的极限是<math>4</math>。

{{Calculus/Def
|title=性质 4（极限的运算法则）：
|text=假设函数<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>在<math>x</math>趋于某一点<math>c</math>时有（有限的）极限：
:<math>\lim_{x \to c } f(x) = L_1, \qquad \lim_{x \to c } g(x) = L_2</math>
那么：
#<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>的和函数在<math>c</math>附近有极限，而且<math>\lim_{x \to c } f(x)+g(x) = L_1+L_2.</math>
#<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>的差函数在<math>c</math>附近有极限，而且<math>\lim_{x \to c } f(x)-g(x) = L_1-L_2.</math>
#<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>的乘积函数在<math>c</math>附近有极限，而且<math>\lim_{x \to c } f(x) \cdot g(x) = L_1 \cdot L_2 .</math>
#若<math>k</math>是一个常数，那么函数<math>k \cdot f(x)</math>在<math>c</math>附近有极限，而且<math>\lim_{x \to c } k \cdot f(x) = k \cdot L_1 .</math>
#若<math>\frac{1}{g(x)}</math>在<math>c</math>附近有定义，并且<math>L_2 \neq 0</math>，那么<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>的商函数在<math>c</math>附近有极限，而且<math>\lim_{x \to c } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2} .</math>
}}
以上是当极限存在并且有限时的极限运算法则。当自变量不是趋向某一点，而是趋向正无穷大（负无穷大），又或者是只是从单侧趋向一点时，极限的运算法则一样成立。如果<math>L_1</math>和<math>L_2 </math>中有一个或两个是无穷大，那么我们有以下的运算法则：
{{Calculus/Def
|title=性质 4（极限的运算法则 续）：
|text=假设函数<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>在<math>x</math>趋于某一点<math>c</math>时有极限：
:<math>\lim_{x \to c } f(x) = L_1, \qquad \lim_{x \to c } g(x) = L_2</math>
#若其中的<math>L_1</math>和<math>L_2 </math>都不是0，那么即使其中恰有一个是正无穷（负无穷），'''性质 4'''中极限的运算法则一样成立。
#如果两个极限<math>L_1</math>和<math>L_2 </math>都是无穷，'''性质 4'''中乘积函数和一个常数乘以函数的极限的运算法则一样成立。
#如果<math>L_1</math>和<math>L_2 </math>都是正无穷（负无穷），那么和函数与差函数极限的运算法则不变。
}}
对于其它的情况，极限的运算法则不再成立。例如<math>L_1 = -\infty</math>，<math>L_2 = +\infty</math>的时候<math>\lim_{x \to c } f(x)+g(x)</math>不一定存在，即使存在，也可能是任何数。这些情况被称为极限的未定式。

极限的运算法则对具体计算函数的极限值十分有用。求复杂函数的极限时，可以将其拆分为较为简单的函数经过四则运算后的结果，分别对其中的每部分求极限，然后按照极限的运算法则求出原来复杂函数的极限。以下是一个例子：

'''例五'''

求分式多项式函数<math>f \, : \, x \mapsto \frac{x^4 - 3x^3 + x -19}{4 x^4 + x^2 - 7 x +2}</math>当<math>x</math>趋于正无穷大时的极限。

当<math>x</math>趋于正无穷大时，分式的分子和分母都趋于正无穷大，所以商函数极限的运算法则并不适用，但我们可以将这个分式稍作变形：
<math> \frac{x^4 - 3x^3 + x -19}{4 x^4 + x^2 - 7 x +2} =  \frac{1 - 3\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} -19 \frac{1}{x^4}}{4 + \frac{1}{x^2} - 7\frac{1}{x^3} + 2\frac{1}{x^4}}</math>
这时分子分母都有有限的极限，所以可以应用商函数极限的运算法则：
:<math> \displaystyle
\begin{align} 
\lim_{x\to +\infty} \frac{x^4 - 3x^3 + x -19}{4 x^4 + x^2 - 7 x +2} &= \lim_{x\to +\infty} \frac{1 - 3\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} -19 \frac{1}{x^4}}{4 + \frac{1}{x^2} - 7\frac{1}{x^3} + 2\frac{1}{x^4}} \\
&=  \frac{\lim_{x\to +\infty}\left( 1 - 3\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} -19 \frac{1}{x^4} \right)}{\lim_{x\to +\infty} \left(4 + \frac{1}{x^2} - 7\frac{1}{x^3} + 2\frac{1}{x^4} \right)}  \\
&=  \frac{ 1 - 3\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x} + \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^3} -19 \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^4} }{ 4 + \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2} - 7\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^3} + 2\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^4} }  \\
&= \frac14
\end{align}
</math>
 
{{Calculus/Def
|title=性质 5（复合函数极限法则）：
|text=设函数<math>f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>和<math>g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>。函数<math>f</math>在<math>x</math>趋于某一点<math>c</math>时有极限：<math>\lim_{x \to c } f(x) = l \in \mathbb{R}</math>，函数<math>g</math>在<math>x</math>趋于点<math>l</math>时有极限：<math>\lim_{x \to l } g(x) = L</math>。那么：复合函数<math>g \circ f : \, x \mapsto g(f(x))</math>当<math>x</math>趋于点<math>c</math>时有极限<math>\lim_{x \to c } g \circ f(x) = L</math>。
}}
有了极限的四则运算法则和复合函数的极限法则，我们就可以计算大部分初等函数的极限。

'''例六'''

求函数<math>f \, : \, x \mapsto e^{-(3 - 2x)^3}</math>当<math>x</math>趋于<math>2</math>时的极限。

这里的函数<math>f </math>是一个复合函数：<math>f = g \circ h</math>，其中的两个函数是<math>g : x \mapsto e^x</math>和<math>h : x \mapsto -(3 - 2x)^3</math>。利用性质 5中的法则，我们可以将复和函数的极限拆分：
:<math>\lim_{x\to 2} e^{-(3 - 2x)^3} = e^{\lim_{x\to 2} -(3 - 2x)^3} = e^{ -(3 - \lim_{x\to 2} 2x)^3} = e^{ -(3 - 4)^3} = e^1 = e.</math>

==无穷小和无穷大==
无穷小是早期微积分中难以处理的一个概念。对无穷小的批判引发了第二次数学危机。随着柯西等人的努力，我们对极限和无穷小的认识逐渐加深。在现今的标准分析中，无穷小被定义为一类函数和数列。如果某个数列的极限是<math>0</math>，那么称其为无穷小。如果某个函数在趋于某点（或无穷大）时极限为<math>0</math>，那么就称这个函数是在这一点（无穷大）附近的无穷小。也就是说，无穷小并不是一个数值，也不是一个过程，而是一种函数或数列。某个函数在某一点是无穷小，但在另一点不一定是无穷小。比如函数<math>f \, : \, x \mapsto \sin(x^2 + x)</math>，函数<math>f</math>在<math>x</math>趋于<math>0</math>时的极限是<math>0</math>，所以<math>f</math>是<math>0</math>附近的无穷小。但<math>f</math>在<math>x</math>趋于<math>1</math>时的极限是<math>\sin(2)</math>，所以<math>f</math>不是<math>1</math>附近的无穷小。

无穷大的概念建立在无穷小的概念上。如果一个函数的倒数是（某点附近）的无穷小，那么它就是（某点附近）的无穷大。同样地，如果某个数列<math>\{a_n\}_{n=1}^{\infty} </math>是无穷小，那么数列<math>\{a_n^{-1}\}_{n=1}^{\infty} </math>就是无穷大。

经过极限的四则运算法则，可以知道：若干个无穷小的和与差仍然是无穷小，常数乘以无穷小仍然是无穷小，若干个无穷小的乘积仍然是无穷小，有界函数或数列和无穷小的乘积是无穷小。

无穷小是函数或数列的一种，但无穷小也有不同的种类。根据无穷小趋向<math>0</math>的速度（收敛速度），可以将无穷小分成不同的“阶”。如果一个无穷小趋向<math>0</math>的速度比另一个快，就说它是后者的高阶无穷小，反之则称其为后者的低阶无穷小。用数学形式表达，就是：设函数<math>f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>和<math>g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>是某一点附近的（非零）无穷小，
:如果<math>\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = 0</math>，那么称<math>f</math>是<math>g</math>的高阶无穷小，<math>g</math>是<math>f</math>的低阶无穷小，记为<math>f(x) = \mathit{o}_{c}\left(g(x)\right)</math>
:如果<math>\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} \leqslant M</math>，那么称<math>f</math>是<math>g</math>的同阶无穷小，记为<math>f(x) = \mathcal{O}_{c}\left(g(x)\right)</math>。
:如果<math>0<m \leqslant \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} \leqslant M</math>，那么称<math>f</math>是<math>g</math>的等阶无穷小，记为<math>f(x) = \Theta_{c}\left(g(x)\right)</math>。
:如果<math> \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = 1</math>，那么称<math>f</math>是<math>g</math>的等价无穷小，记为<math>f(x) \sim_c g(x) </math>。

利用等价无穷小可以简化不少求极限的计算。以下是一些等价无穷小：
:<math>\sin(x) \sim_0 x \; , \quad \tan(x) \sim_0 x \; , \quad 1 - \cos(x) \sim_0 \frac12 x^2 \; , \quad e^x - 1 \sim_0 x \; , \quad \ln(1+x) \sim_0 x </math>

'''例七'''

求函数<math>f (x) = \frac{\left( e^x - 1 \right)\tan(x)}{1 - \cos(x)}</math>在<math>x</math>趋于<math>0</math>时的极限。

<math>f (x) </math>可以看做是两个无穷小的乘积除以一个无穷小的商。分别用相应的无穷小代替，就可以得到：
:<math>\lim_{x\to 0} f (x) = \lim_{x\to 0} \frac{\left( e^x - 1 \right)\tan(x)}{1 - \cos(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{x \cdot x}{\frac12 x^2} = 2</math>

要注意的是，只有在乘除法时才适用等价无穷小来代换，将两个无穷小的和或差用等价无穷小来代替会产生错误的结果。比如求函数<math>f (x) = \frac{ e^x - 1 - \tan(x)}{1 - \cos(x)}</math>在<math>x</math>趋于<math>0</math>时的极限，如果将<math>e^x - 1</math>和<math>\tan(x)</math>等都用它们的等价无穷小代替，就会变成
:<math>\lim_{x\to 0} f (x) = \lim_{x\to 0} \frac{ x - x}{\frac12 x^2} = 0.</math>
但实际上结果不是<math>0</math>。关于无穷小和函数（或数列）的极限有如下关系：

{{Calculus/Def
|title=性质 6（极限与无穷小的关系）：
|text= 如果函数在某点或无穷远处的极限（数列的极限）存在（无论是一个确定的数值还是无穷大），那么它可以表示成一个常数与一个无穷小的和。
}}


{{Calculus/Top Nav|极限/极限的定义|极限/极限与连续}}
{{Calculus/TOC}}

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