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极限是高等数学中第一个与“无限”直接有关的概念，也是数学分析中最基本的概念之一。初等数学中，我们处理的对象常常是有限的，或者说我们处理的方式常常是“有限的”方式，比如说以列举的方法计算数量，或用有限的步骤进行逻辑推断。数学归纳法是“无限”概念的体现之一，可以用有限的推理步骤，处理自然数等无限步骤的证明。数学中的极限概念也是如此。当需要处理无限多个元素的性质或某个变量在无限个过程后的性质时，数学家用极限来表示某个性质变化的最终趋势。数学中极限的含义并不等于日常生活中的“极限”一词。

==直观介绍==
《庄子》曰：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”假设有一尺长的线段，每天划去一半，那么它的长度会变得如何呢？如果我们查看特定的某一天，比如说第7天，那么线段的长度还剩<math>\frac{1}{128}</math>尺。但我们想知道的是，线段的长度“最终”会怎么样？用数学的语言来说，就是以下的数列：
:<math>a_0=1, \quad a_1 = \frac12 , \quad a_2 = \frac14 , \, \cdots \, , a_n = \frac{1}{2^n} , \,\cdots </math>
在<math>n</math>“非常大”的时候会有什么性质？为此我们可以建立以下的表格看看<math>n</math>“非常大”的时候，<math>a_n</math>会是什么样子：

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" align="center"  
! <math>n</math>
| <math>1</math>
| <math>5</math>
| <math>20</math>
| <math>100</math>
| <math>500</math>
| <math>10000</math>
|- 
! <math>a_n</math>
| <math>0.5</math>
| <math>0.03125</math>
| <math>9.54 \times 10^{-7}</math>
| <math>1.27 \times 10^{-30}</math>
| <math>3.27 \times 10^{-150}</math>
| <math>2 \times 10^{-3010}</math>
|}

可以看出，<math>n</math>越大，<math>a_n</math>就越接近0；当<math>n</math>很大，比如说<math>n=10000</math>的时候，<math>a_n</math>与0的差别只有<math>2 \times 10^{-3010}</math>了。这时候，我们就称：数列<math>a_n</math>的极限是0，并记作：
:<math>\lim_{n\to\infty} a_n = 0.</math>
它表示“只要<math>n</math>足够大，<math>a_n</math>就会足够接近0”这样一个性质。《庄子》道出“日取其半”是一个无限的过程，而我们则给出了“日取其半”的最终趋势。需要注意的是，0并不是“日取其半”的结果，也不是“日取其半”到某一天时会出现的情况：数列的极限值和数列本身不一定有相等的关系。

再来看另一个例子。设函数<math>f</math>为<math>f(x)=x^2</math>，我们来关注它在2附近的取值情况。下表显示出当自变量<math>x</math>靠近<math>2</math>的时候，<math>f(x)</math>的值有何特性：

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" align="center"
! <math>x</math>
| 1.7
| 1.8
| 1.9
| 1.95
| 1.99
| 1.999
|- 
! <math>f(x)=x^2</math>
| 2.89
| 3.24
| 3.61
| 3.8025
| 3.9601
| 3.996001
|}

表中取的<math>x</math>值都是小于<math>2</math>的。也可以取大于<math>2</math>的<math>x</math>值，见下表：

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" align="center"
! <math>x</math>
| 2.3
| 2.2
| 2.1
| 2.05
| 2.01
| 2.001
|- 
! <math>f(x)=x^2</math>
| 5.29
| 4.84
| 4.41
| 4.2025
| 4.0401
| 4.004001
|}

从以上两个表格中，可以看出，当<math>x</math>越来越靠近<math>2</math>的时候，不论是比<math>2</math>大还是比<math>2</math>小，<math>f(x)</math>的值都会越来越靠近<math>4</math>。我们把这个性质称为：函数<math>f(x)</math>当<math>x</math>趋于2的时候的极限是<math>4</math>，并记作：
:<math>\quad\lim_{x\to 2} x^2=4.</math>

可以注意到，如果把<math>x=2</math>代入函数中，得到的函数值<math>f(x)=4</math>，恰好是<math>x</math>趋于2的时候函数<math>f</math>极限的值。但要小心的是，这个相等关系并不适用于所有函数！

极限可以用来描述某个变化的趋势，但不是所有的趋势都可以用极限描述。以下是一个例子。设函数<math>g</math>为<math>g(x)=\sin\left(\frac{1}{x-2}\right)</math>，当自变量<math>x</math>靠近<math>2</math>的时候，<math>g(x)</math>的值变化如下表：

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" align="center"
! <math>x</math>
| 1.7
| 1.8
| 1.9
| 1.95
| 1.99
| 1.999
|- 
! <math>g(x)=\sin\left(\frac{1}{x-2}\right)</math>
| 0.191
| 0.959
| 0.544
| -0.913
| 0.506
| -0.827
|}

大于<math>2</math>的<math>x</math>的值靠近<math>2</math>时，<math>g(x)</math>的值变化如下表：

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" align="center"
! <math>x</math>
| 2.3
| 2.2
| 2.1
| 2.05
| 2.01
| 2.001
|- 
! <math>g(x)=\sin\left(\frac{1}{x-2}\right)</math>
| -0.191
| -0.959
| -0.544
| 0.913
| -0.506
| 0.827
|}

<math>x</math>的值靠近<math>2</math>时，<math>g(x)</math>的值并不接近任何一个特定的数值。这时候，我们称函数在<math>g(x)</math>在<math>x</math>趋于<math>2</math>时没有极限。

以上的例子中，我们引入了极限的概念，但使用的是模糊的语言。我们通过观察一系列的数值，来得到“越来越接近”的结论，使用的是朴素的（不完全）归纳法，而不是严格的证明；同时我们也没有严格定义何为“接近”：在比较两个实数是否接近时这是很直观的，但更多的时候我们需要判断更为复杂的对象是否“接近”。

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