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== 泰勒级数 ==

{{Calculus/Def|title=泰勒级数|text=函数<math>f(x)</math>的'''泰勒级数'''或'''泰勒展开式'''为
:<math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n</math>}}

<div style="float:right; width:201px; margin-left:0.5em;">
[[File:Sintay.png|201x201像素|As the degree of the Taylor series rises, it approaches the correct function.]]<span style="color:#333333;"><small><math>\sin x</math></small></span><small>及其<span style="color:#b30000;">1</span>, <span style="color:#00b300;">3</span>, <span style="color:#0000b3;">5</span>, <span style="color:#b3b300;">7</span>, <span style="color:#00b3b3;">9</span>, <span style="color:#b300b3;">11</span>和<span style="color:#b3b3b3;">13</span>阶泰勒展开式的图像</small>
</div>

其中<math>n!</math>为<math>n</math>的阶乘，<math>f^{(n)}(a)</math>为<math>f</math>在<math>a</math>的<math>n</math>阶导数。若<math>a=0</math>，级数又称'''麦克劳林级数'''。

通常情况下，这一级数收敛于<math>f(x)</math>，但需要注意的是，有些无限可导函数<math>f(x)</math>的泰勒级数也收敛，但并不等于<math>f(x)</math>。例如，分段函数<math>f(x)=\begin{cases}0&x=0\\e^{-\frac{1}{x^2}}&x\ne0\end{cases}</math>在<math>x=0</math>的各阶导数均为0，所以<math>f(x)</math>的麦克劳林级数为0，收敛半径为无穷大，但函数值显然并不是0。

=== 原理 ===
假设我们想要将函数表示为无穷幂级数，即：

: <math>f(x)={c_0}(x-a)^0+c_1(x-a)^1+c_2(x-a)^2+c_3(x-a)^3+\cdots+c_n(x-a)^n+\cdots</math>

其中<math>a</math>为收敛半径，<math>c_0,c_1,c_2,\dots,c_n,\dots</math>为系数。用求和符号来表示，就是 

: <math>\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n</math>

接下来我们要求出各项的系数。显然

: <math>f(a)=c_0</math>

于是得出<math>c_0</math>。至于其它项，我们把等式两边求导可得

: <math>f'(x)=c_1(x-a)^{0}+2c_2(x-a)^{1}+3c_3(x-a)^{2}+4c_4(x-a)^3+\cdots+nc_n(x-a)^{(n-1)}+\cdots</math>

把<math>a</math>代入得

: <math>f'(a)=c_1</math>

求二阶导，我们又可以得到<math>c_2</math>，即

: <math>f''(x)=2c_2+(2\times3)c_3(x-a)^1+(3\times4)c_4(x-a)^2+\cdots+(n)(n-1)c_n(x-a)^{(n-2)}+\cdots</math>

再把<math>a</math>代入得

: <math>f''(a)=2c_2</math>

继续求导，又能得到

: <math>f'''(x)=(2\times3)c_3(x-a)^0+(2\times3\times4)c_4(x-a)^1+(3\times4\times5)c_5(x-a)^2+\cdots+(n)(n-1)(n-2)c_n(x-a)^{n-3}</math>

再把<math>a</math>代入得

: <math>f'''(a)=(2\times3)c_3</math>

以此类推，求 <math>n</math>次导可得

: <math>\frac{d^n}{dx^n}f(a)=n!\times c_n</math>

即

: <math>c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}</math>

其中<math>f^{(0)}(x)=f(x)</math>，<math>f^{(1)}(x)=f'(x)</math>，以此类推。代入前面的这个式子

: <math>\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n</math>

可以得到

: <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n</math>

===泰勒级数列表===
以下列出几个重要的泰勒展开式。

指数函数和自然对数：

:<math>e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\quad\text{对 任 意 }x</math>
:<math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}n x^n\quad|x|<1</math>

幾何級數：

:<math>\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n\quad|x|<1</math>

二项式级数：

:<math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty\binom{\alpha}{n}x^n\quad|x|<1</math>

三角函数：

:<math>\sin x=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}x^{2n-1}</math>

:<math>\cos x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}</math>

:<math>\tan x=\sum_{n=1}^\infty\frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!}x^{2n-1}\quad|x|<\frac{\pi}{2}</math>

:<math>\sec x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n}\quad|x|<\frac{\pi}{2}</math>

:<math>\arcsin x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}\quad|x|<1</math>

:<math>\arctan x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}\quad|x|<1</math>

双曲函数：

:<math>\sinh x=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}\quad\text{对 任 意 }x</math>

:<math>\cosh x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}\quad\text{对 任 意 }x</math>

:<math>\tanh x=\sum_{n=1}^\infty\frac{B_{2n}2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}\quad|x|<\frac{\pi}{2}</math>

:<math>{\rm arsinh}x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}\quad|x|<1</math>

:<math>{\rm artanh}x=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{2n-1}}{2n-1}\quad|x|<1</math>

朗伯W函数：

:<math>W_0(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n\quad|x|<\frac{1}{e}</math>

其中<math>B_k</math>为伯努利數，<math>\binom{\alpha}{n}</math>为二項式係數，<math>E_k</math>为欧拉数。

===例题===
====例1====
求以下函数的麦克劳林级数

:<math>f(x)=\ln\big(1+\cos x\big)</math>

==== 解答 ====
已知自然对数

:<math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots\quad|x|<1</math>

和余弦函数
:<math>\cos x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\quad\text{对 任 意 }x\in\Complex</math>

我们可以直接把第二个级数代入第一个，得到

:<math>\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\right)-\frac12\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\right)^2+\frac13\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\right)^3-\cdots</math>

运用多项式定理展开即可得麦克劳林级数为

:<math>\ln\big(1+\cos x\big)=\ln 2-\frac{x^2}{4}-\frac{x^4}{96}-\frac{x^6}{1440}-\frac{17x^8}{322560}-\frac{31x^{10}}{7257600}-\cdots</math>

====例2====
求以下函数的麦克劳林级数

:<math>g(x)=\frac{e^x}{\cos x}</math>

==== 解答 ====
已知指数函数
:<math>e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math>

和余弦函数
:<math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math>

设待求级数为

:<math>\frac{e^x}{\cos x}=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+\cdots</math>

等号两边同时乘分母并代换得
:{|
|<math>e^x</math>
|<math>=\big(c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+\cdots\big)\cos x</math>
|-
|
|<math>=\left(c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4+\cdots\right)\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\right)</math>
|-
|
|<math>=c_0-\frac{c_0}{2}x^2+\frac{c_0}{4!}x^4+c_1x-\frac{c_1}{2}x^3+\frac{c_1}{4!}x^5+c_2x^2-\frac{c_2}{2}x^4+\frac{c_2}{4!}x^6+c_3x^3-\frac{c_3}{2}x^5+\frac{c_3}{4!}x^7+\cdots</math>
|}

合并同类项得
:<math>e^x=c_0+c_1x+\left(c_2-\frac{c_0}{2}\right)x^2+\left(c_3-\frac{c_1}{2}\right)x^3+\left(c_4+\frac{c_0}{4!}-\frac{c_2}{2}\right)x^4+\cdots</math>

与指数函数的麦克劳林级数比较可得待求级数为
:<math>\frac{e^x}{\cos x}=1+x+x^2+\frac{2x^3}{3}+\frac{x^4}{2}+\cdots</math>