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在[[矢量微积分]]中，'''拉普拉斯矢量场'''属于[[矢量场]]，既[[保守向量场|保守]]又[[不可壓縮流|不可被压缩]]。如果该矢量场表示为 '''v'''，则由以下[[微分方程]]描述：
:<math>\begin{align}
  \nabla \times \mathbf{v} &= \mathbf{0}, \\
   \nabla \cdot \mathbf{v} &= 0
\end{align}</math>

从[[向量恆等式列表|矢量微积分恆等式]] <math>\nabla^2 \mathbf{v} \equiv \nabla (\nabla\cdot \mathbf{v}) - \nabla\times (\nabla\times \mathbf{v})</math> 它遵循
:<math>\nabla^2 \mathbf{v} = 0</math>

也就是说，'''v''' 满足了[[拉普拉斯方程]]。 

平面中的拉普拉斯矢量场满足[[柯西－黎曼方程]]：它是[[全形 (數學)|全形]]的。 

由于 '''v''' 的[[旋度]]为零，因此（当定义域简单连接时）'''v''' 可以表示为[[标量势]]的[[梯度]]（参见[[保守向量场]]）''φ''： 
:<math> \mathbf{v} = \nabla \phi \qquad \qquad (1) </math>

然后，由于 '''v''' 的[[散度]]也为零，因此从等式（1）得出
:<math> \nabla \cdot \nabla \phi = 0 </math>

这相当于
:<math> \nabla^2 \phi = 0</math>

因此，拉普拉斯矢量场的势满足[[拉普拉斯方程]]。

== 参看 ==

* [[位流]] 
* [[调和函数]] 
[[Category:向量分析]]