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设<math>a</math>，<math>b</math>，<math>c</math>为有理数，若<math>c+b=a</math>，则称数<math>c</math>为数<math>a</math>及<math>b</math>的差。

== 性质 ==
有理数的减法是定义在[[有理数的加法]]基础之上的，从逻辑角度来说，需要加以证明差的两个性质：
* 差的存在性：即数<math>a</math>及<math>b</math>的差是否存在？
* 差的唯一性：若差存在，则是否唯一？

== 证明 ==
根据[[有理数的加法]]的若干性质，可以对有理数的差的存在性与唯一性进行证明。
* 先证存在性
:设有理数<math>c=a+(-b)</math>，则
:<math>c+b=a+(-b)+b=a+[(-b)+b]=a+0=a</math>满足差的定义
:从而<math>c=a+(-b)</math>为数<math>a</math>及<math>b</math>的差。
:因此有理数的差存在。
* 再证唯一性
:若<math>c+b=a</math>，则两边加上-b，得
:<math>c+b+(-b)=a+(-b)</math>，从而
:<math>c+[b+(-b)]=a+(-b)</math>
:<math>c+0=a+(-b)</math>
:<math>c=a+(-b)</math>
:因此，若<math>c</math>为<math>a</math>及<math>b</math>的差，则<math>c</math>必等于<math>a+(-b)</math>。
从而有理数的差存在且唯一。

== 记号 ==
由于有理数的差存在且唯一，可以引入减法记号（<math>-</math>），并且<math>a</math>及<math>b</math>的差记为<math>a-b</math>。

== 推论 ==
根据[[有理数的加法]]及减法的性质，可以得到一些有用的推论：
* <math>a-a=0</math>
* <math>0-a=-a</math>
* <math>a=-\left (-a \right )</math>
* <math>a>b \Leftrightarrow a-b>0</math>
* <math>a>b \Leftrightarrow -a<-b</math>，特别地，<math>a>0 \Leftrightarrow -a<0</math>

== 参考 ==
* [[有理数的加法]]

== 引用 ==
* [[微积分学教程]]，(第一卷)(第8版)，第2、3页，ISBN 5-9221-0436-5，[[菲赫金哥尔茨]] 著，[[杨弢亮]] [[叶彦谦]] 译，[[郭思旭]] 较，[[高等教育出版社]]

[[Category:有理数]]