查看“︁有理数的除法”︁的源代码

对于有理数a和b，<math>b \neq 0</math>，若有理数c满足<math>c \cdot b=a</math>，则称c为a及b的商。

== 性质 ==
* 存在性：若有理数<math>b \neq 0</math>，则有理数a及b的商必存在。
* 唯一性：若有理数a及b的商存在，则商必唯一。

== 证明 ==
* 证明商的存在性
:设有理数a和b，<math>b \neq 0</math>，则
:由倒数的定义，存在b的倒数<math>\frac{1}{b}</math>，满足<math>b \cdot \frac{1}{b} = 1</math>
:令有理数<math>c=a \cdot \frac{1}{b}</math>，则
:<math>c \cdot b = a \cdot \frac{1}{b} \cdot b = a \cdot 1 = a</math>符合商的定义，
:因而<math>c=a \cdot \frac{1}{b}</math>是a及b的商
:即商存在
* 证明商的唯一性
:若a及b的商存在，不妨设商为c，则
:<math>c \cdot b=a</math>
:由<math>b \neq 0</math>，两边乘以b的倒数<math>\frac{1}{b}</math>，得
:<math>c \cdot b \cdot \frac{1}{b} = a \cdot \frac{1}{b}</math>
:从而<math>c \cdot 1 = a \cdot \frac{1}{b}</math>
:<math>c = a \cdot \frac{1}{b}</math>
:也就是说，若商存在，则必等于<math>a \cdot \frac{1}{b}</math>
:即商是唯一的

== 记号 ==
由商的存在性及唯一性，可以将其记为<math>a:b</math>，<math>\frac{a}{b}</math>或<math>a \div b</math>

== 参阅 ==
* [[有理数的乘法]]


== 参考文献 ==
{{reflist}}
* [[微积分学教程]]，(第一卷)(第8版)，第4、5页，ISBN 5-9221-0436-5，菲赫金哥尔著，杨弢亮 叶彦谦 译，郭思旭 较，高等教育出版社

[[Category:数学]]