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本篇以數學公式說明，從[[連桿]]聯結到[[曲柄]]的非偏移'''[[活塞]]運動'''（在[[內燃機]]中）；並且就這些運動'''方程'''式如何導出，附一示例圖。

== 曲軸幾何 ==
[[Image:Piston motion geometry.png|thumb|500px|right|活塞[[销]]、曲柄销和曲柄中心[[几何]]布局示意图]]

=== 定義 ===
: <math>l</math> 活塞桿長度（活塞銷與曲柄銷之間的距離）<br>
: <math>r</math> 曲柄半徑（曲柄銷與曲柄中心之間的距離，即半行程）<br>
: <math>A</math> 曲軸轉角（從缸膛中心線開始）<br>
: <math>x</math> 活塞銷位置（從曲軸中心沿缸膛中心線向上）<br>
: <math>v</math> 活塞銷速度（從曲軸中心沿缸膛中心線向上）<br>
: <math>a</math> 活塞銷加速度（從曲軸中心沿缸膛中心線向上）<br>
: <math>\omega</math> 曲柄角速度

=== 角速度 ===
所述曲軸的[[角速度]]，即是[[發動機]]每分鐘[[轉數]]（RPM）：
:<math>\omega= \frac{2\pi\cdot \mathrm{RPM}}{60} </math>

=== 三角關係 ===
如圖所示，曲柄銷，曲柄中心和活塞銷形成角NOP。根據[[餘弦定理]]可以看出：<br>
:<math> l^2 = r^2 + x^2 - 2\cdot r\cdot x\cdot\cos A </math>

== 關於角度位置的方程（角度域） ==
以下公式描述活塞相對於曲軸轉角的[[往復運動]]。下面顯示了這些[[方程]]的示例圖。

=== 位置 ===
相對於曲軸轉角的[[位置]]（通過重新排列三角關係）：
:<math> l^2 - r^2 = x^2 - 2\cdot r\cdot x\cdot\cos A </math>
:<math> l^2 - r^2 = x^2 - 2\cdot r\cdot x\cdot\cos A + r^2[(\cos^2 A + \sin^2 A) - 1]</math>
:<math> l^2 - r^2 + r^2 - r^2\sin^2 A = x^2 - 2\cdot r\cdot x\cdot\cos A + r^2 \cos^2 A</math>
:<math> l^2 - r^2\sin^2 A = (x - r \cdot \cos A)^2</math>
:<math> x - r \cdot \cos A = \sqrt{l^2 - r^2\sin^2 A}</math>
:<math> x  = r\cdot \cos A  + \sqrt{l^2 - r^2\sin^2 A} </math>

=== 速度 ===
相對於曲軸轉角的[[速度]]（採用一階[[導數]]，使用[[链式法则]]）：
:<math>
\begin{array}{lcl}
 x' & = & \frac{dx}{dA}     \\
    & = & -r\sin A + \frac{(\frac{1}{2}).(-2). r^2 \sin A \cos A}{\sqrt{l^2-r^2\sin^2 A}} \\
    & = & -r\sin A - \frac{r^2\sin A \cos A}{\sqrt{l^2-r^2\sin^2 A}}  
\end{array}
</math>

=== 加速 ===
關於曲軸轉角的[[加速度]]（採用二階導數，使用链式法则和商法則）：
:<math>
\begin{array}{lcl}
 x'' & = & \frac{d^2x}{dA^2}     \\
     & = & -r\cos A - \frac{r^2\cos^2 A}{\sqrt{l^2-r^2\sin^2 A}}-\frac{-r^2\sin^2 A}{\sqrt{l^2-r^2\sin^2 A}} - \frac{r^2\sin A \cos A .(-\frac{1}{2})\cdot(-2).r^2\sin A\cos A}{\left (\sqrt{l^2-r^2\sin^2 A} \right )^3} \\
     & = & -r\cos A - \frac{r^2(\cos^2 A -\sin^2 A)}{\sqrt{l^2-r^2\sin^2 A}}-\frac{r^4\sin^2 A \cos^2 A}{\left (\sqrt{l^2-r^2 \sin^2 A}\right )^3}
\end{array} 
</math>

== 時間方程（時域） ==
=== 角速度導數 ===
如果角速度是恆定的，那麼
:<math>A = \omega t \,</math> 
並適用以下關係：

:<math> \frac{dA}{dt} = \omega  </math>

:<math> \frac{d^2 A}{dt^2} = 0 </math>

=== 從角度域轉換到時域 ===
下面的等式描述了活塞相對於時間的往復運動。如果時間域是必需的，而不是角度域，先用 ω 取代在等式噸，然後擴展為角速度如下：

=== 位置 ===
單純相對於時間的位置即是：
:<math>x \,</math>

=== 速度 ===
相對於時間的速度（使用链式法则）：
:<math>
\begin{array}{lcl}
  v & = & \frac{dx}{dt} \\
    & = & \frac{dx}{dA} \cdot \frac{dA}{dt} \\
    & = & \frac{dx}{dA} \cdot\ \omega \\
    & = & x' \cdot \omega \\
\end{array}
</math>

=== 加速 ===
相對於時間的加速度（使用链式法则和乘積法則以及角速度導數）：
:<math>
\begin{array}{lcl}
  a & = & \frac{d^2x}{dt^2}     \\
    & = & \frac{d}{dt} \frac{dx}{dt} \\
    & = & \frac{d}{dt} (\frac{dx}{dA} \cdot \frac{dA}{dt}) \\
    & = & \frac{d}{dt} (\frac{dx}{dA}) \cdot \frac{dA}{dt} + \frac{dx}{dA} \cdot \frac{d}{dt} (\frac{dA}{dt}) \\
    & = & \frac{d}{dA} (\frac{dx}{dA}) \cdot (\frac{dA}{dt})^2 + \frac{dx}{dA} \cdot \frac{d^2A}{dt^2} \\
    & = & \frac{d^2x}{dA^2} \cdot (\frac{dA}{dt})^2 + \frac{dx}{dA} \cdot \frac{d^2A}{dt^2} \\
    & = & \frac{d^2x}{dA^2} \cdot \omega^2 + \frac{dx}{dA} \cdot 0 \\
    & = & x'' \cdot \omega^2 \\
\end{array}
</math>

== 速度最大值/最小值 ==
=== 加速過零點 ===
[[速度]]的最大值和最小值都沒有在曲柄角度發生（A）加或減90°。速度最大值和最小值出現在取決於桿長（l）和半行程（r）的曲柄角上，並且對應於加速度為零（橫過水平軸）的曲柄角。

=== 曲柄桿角度不正確 ===
當曲柄與桿成直角時，速度最大值和最小值不一定會發生。有反例證明當曲柄角度正確時速度最大值/最小值出現的觀點。

=== 示例 ===
對於 6 英吋的連桿長和 2 英吋的曲柄半徑，通過數值求解加速度過零點，可確定速度最大值/最小值在曲柄角±73.17615°處。然後使用三角[[正弦定律]]，發現曲柄角為88.21738°，桿垂直角為18.60647°。在這個例子中，顯然地曲柄和連桿之間的角度並不是直角。

總結三角形的角度 88.21738°+ 18.60647°+ 73.17615°給出 180.000°。這個反例就反駁了“速度最大值/最小值是發生在當曲柄與桿成直角時”的說法。

== 活塞運動示例圖 ==
曲線圖顯示了相對於曲軸轉角的 x，x'，x" 的各種半衝程，其中 L =長度（l）和 R =半行程（r）：
[[Image:Graph of Piston Motion.png|thumb|800px|left|The vertical axis units are [[inches]] for position, [inches/rad] for velocity, [inches/rad²] for acceleration.<br>
The horizontal axis units are crank angle [[degree (angle)|degree]]s.]]
{{Clr}}
杆长和曲柄半径与上图相同的活塞动画：<br>
[[Image:TRUE piston3 ANI.gif|left|活塞各半冲程动画|frame]]
{{Clr}}

== 另見 ==
* [[内燃机]]
* [[往复式发动机]]

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}
* http://www.epi-eng.com/piston_engine_technology/piston_motion_basics.htm

== 延伸閱讀 ==
* John Benjamin Heywood, ''Internal Combustion Engine Fundamentals'', McGraw Hill, 1989.
* Charles Fayette Taylor, ''The Internal Combustion Engine in Theory and Practice, Vol. 1 & 2'', 2nd Edition, MIT Press 1985.

== 外部链接 ==
* [http://www.epi-eng.com/piston_engine_technology/piston_motion_basics.htm epi-eng] Piston Motion
* [http://www.codecogs.com/library/physics/kinematics/velocity-and-acceleration-of-a-piston.php codecogs] Velocity and Acceleration of a Piston
* [http://www.animatedengines.com/otto.shtml animated engines] Four Stroke Engine
* [https://www.desmos.com/calculator/8l2kvyivqo desmos] interactive crank animation
* [https://web.archive.org/web/20140714155346/http://www.content.networcs.net/tft/mechanisms.htm networcs] D & T Mechanisms - Interactive Tools for Teachers
* [https://web.archive.org/web/20140619140331/http://www.mecamedia.info/index/flash_biellemanivellev3 mecamedia] piston motion animation
* [https://www.youtube.com/watch?v=stuaK5bk_Ck youtube] Rotating chevy 350 short block.
* [https://www.youtube.com/watch?v=lMIxKOM6jRA youtube] 3D animation of a V8 ENGINE
* [https://www.youtube.com/watch?v=sLQWEnQmmyY youtube] Inside a V8 Engine at Idle Speed

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