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本书的目的是介绍初步的测度论知识，为实变函数、公理概率论等其它数学分支的学习做准备。

本书对读者的设定为：假定读者为数学系本科生，能够接受比较抽象的数学语言，了解微积分的基本思想，但在知识上不要求读者系统的学习过数学分析或实分析。

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==前言==
测度是点集上的实函数，它是长度、面积、体积等度量的推广，和古典的概念相比，它可以使我们在更一般的点集上讨论诸如长度、面积、体积这样的概念，例如[0,1]上所有有理数构成的集合的长度。

几个出于直觉的要求是：1)空集的测度是0，2)测度是正定的，3）测度可以相加减。第3条需要做一点说明，比较直观的要求是：若<math>\mu</math>是测度则<math>\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)-\mu(A\cap B)</math>。这自然对<math>\mu</math>的定义域提出了要求，即对于交、并、差封闭。更进一步的，我们希望使用极限等工具讨论比较复杂的点集，因而要求得比上面更高一点，即<math>\mu</math>的定义域对于集合的极限运算也封闭，这样它就构成一个 σ-环，是我们第一章讨论的内容。有了这个基础之后，我们再讨论测度的正式定义即基本性质。接下来两章讨论怎样定义一个测度，最后作为一个特例，讨论勒贝格测度。

==环、 σ-环==
设X是一个集合，那么它的所有子集构成的集合称为X的幂集，记作<math>2^{X}</math>，为了强调它以集合为元素，我们把<math>2^{X}</math>及其真子集都称为集类，相应的X称为基本空间。

{{测度论初步-定义|环|若A是基本空间X的子集构成的集类，并且对于并和差这两种运算封闭，即<math>\forall a \in A, a \subset X</math>，且当<math>\forall a, b \in A</math>时总有<math> a\cup b \in A</math>及<math>a-b\in A</math>，那么称A是一个环。}}

（可以验证，如果以对称差为加法，以集合的交为乘法，上述定义符合代数中不要求单位元的环的公理。）由上述定义显然有
{{测度论初步-定理|1.1|环对集合的有限交封闭|
设<math>a\in A, b\in A</math>，于是
<math>a\cap b= a\cup b -(a-b)-(b-a)</math>.
由环的定义，它对并和差封闭，故而<math>a\cap b\in A</math>.
}}

如前所述，我们还希望引入集合的极限运算，以便将来讨论极限下的测度，为此定义σ-环如下

{{测度论初步-定义|σ-环|若A是环，并且对于可列并封闭，即<math>\forall a_{n} \in A</math>总有<math> \cup_{n} a_{n} \in A</math>，那么称A是一个σ-环。}}


显然有

{{测度论初步-定理|1.2|σ-环对集合的可列交封闭|
设<math> a_{1}, a_{2}, a_{3}... \in A</math>，于是
<math>\cap_{n} a_{n}= a_{1}\cap_{n}a_{n}=a_{1}-(a_{1}-\cap_{n}a_{n})=a_{1}-\cup_{n}(a_{1}-a_{n})\in A</math>.
由环的定义，它对并和差封闭，故而<math>\cap_{n} a_{n} \in A</math>.
}}

===生成环和生成σ-环===
注意到环（σ-环）的任意交仍是环（σ-环），可以定义任意集类的生成环（σ-环）。

集类E生成的环和σ-环分别记作R(E)和S(E)，不难证明：S(R(E))=S(E)。

如果定义<math>R_0=E</math>, <math>R_{n+1}=S_{n+1}\cup T_{n+1}</math>，其中<math>S_{n+1}=\{A\cup B|A,B \in R_{n}\}</math>，<math>T_{n+1}=\{A-B|A,B\in R_{n}\}</math>，则有

{{测度论初步-定理|1.3|<math>R(E)=\cup_{n=0}^{\infty}R_{n}</math>|
由R(E)的定义与R_{n}的构造方式，显然R(E)\subset R_{n}。

另一方面，<math>\forall r_{1}, r_{2} \in \cup_{n}R_{n}</math>，

不妨设<math> r_{1}\in R_{m}, r_{2}\in R_{n}</math><math>m<=n</math>，

那么<math>r_1\cup r_2 \in R_{n+1}, r_1-r_2 \in R_{n+1}, r2-r1 \in R_{n+1}</math>，

从而<math>\cup_{n}R_{n}</math>对并和差封闭，是包含E的环，从而R(E)\subset R_{n}。

综合以上两方面，有<math>R(E)=\cup_{n}R_{n}</math>。}}

生成 σ-环的构造可以用类似的思想得到，不过需要超限数，暂不讨论。

==环上的测度==

==外测度==

==测度的延拓==

==勒贝格测度==