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== 基本定義 ==
簡單來說，線性空間是一群有'''加法'''，可以伸縮（也就'''係數積'''）的實體，最明顯的例子就是實數或物理上的向量如力、電場等等。

線性空間的嚴謹定義分成定義"向量加法"、"純量"和"係數積"三大部分。

=== 群 === 
物理上的向量加法與實數的加法有一些共通的特性：
# 封閉性：兩個向量或是實數相加以後，仍然是向量或是實數。
# 結合律：a+(b+c) = (a+b)+c
# 單位元素：零向量加上任何向量a為a；同樣地實數0加上任何實數r為r。
# 反元素：對任何向量a總會有一個向量-a使a+(-a)為零向量；類似的有(-r)+r=0。

滿足上面性質的還有針對特定軸的旋轉、不含0的實數乘法等等的，這誘使我們去定義一個抽象的數學結構，也就是'''群'''（group）

{{CBox|bg=#e0f3d9|bgleft=#69aa4a
|text=
<math>G</math> 是一個[[w:集合_(数学)|集合]]， 且<math>f:G^2\to G</math> 是一個雙變數[[w:函數|函數]] （也就是'''封閉性'''，這裡把  <math>f(a,\,b)</math> 簡記為 <math>a \circ b</math> ） 滿足：
# <math>(\forall a\in G)(\forall b\in G)(\,\forall c\in G)[a\circ(b\circ c) = (a\circ b)\circ c\,]</math> （'''結合律'''）
# <math>(\exists e\in G)(\forall a\in G)(\, a \circ e = e \circ a = a \,)</math> （'''單位元素'''）
# <math>(\forall a\in G)(\exists a^{\prime}\in G)(\, a \circ a^{\prime} = a^{\prime} \circ a = e \,)</math> （'''反元素'''）
則稱 <math>(G,\,f)</math> 或是 <math>(G,\,\circ)</math> 為'''群'''。
}}

這裡不以加號簡記 <math>f(a,\,b)</math> 的原因是因為群的觀念很一般，以至於下一小節的"純量"定義也會用到，所以為了避免混淆，我們就以特殊符號簡記。

如果定義加上

* <math>(\forall a\in G)(\forall b\in G)[a \circ b = b \circ a\,]</math> （'''交換律'''）

的話，我們稱<math>(G,\,+)</math> 為'''交換群'''（commutative group）或'''阿貝爾群'''（Abelian group）。

這樣我們就替"向量加法"(也就是雙變數函數 <math>f</math> )構造出了嚴謹的數學定義。

=== 體 ===
接下來我們要考慮"純量"，一般純量都是'''實數'''，而其中
# 實數跟加法構成交換群
# 非零實數跟乘法也是交換群
# 分配律：對任意實數a, b, c有 a(b+c) = ab + ac

這誘使我們定義另一個數學結構，'''體'''(field)
{{CBox|bg=#e0f3d9|bgleft=#69aa4a
|text=
<math>F</math> 是一個[[w:集合_(数学)|集合]] ，且有兩個雙變數[[w:函數|函數]]
* <math>f:F^2\to F</math> （ <math>f(a,\,b)</math> 簡記成 <math>a+b</math> ）
* <math>g:F^2\to F</math> （ <math>g(a,\,b)</math> 簡記成 <math>a\times b</math> ）
滿足
# <math>(F,\,+)</math> 為交換群。（ 其中單位元素記為 <math>0_F</math> ）
# <math>(F-\{0_F\},\,\times)</math> 為交換群。（ 其中單位元素記為 <math>1_F</math> ）
# <math>(\forall a\in F)(\forall b\in F)(\,\forall c\in F)[a\times(b+c) = a\times b + a\times c]</math> （'''分配律'''）
則稱 <math>(F,\,+,\,\times)</math> 為'''體'''。
}}

事實上複數系與複數加法和乘法也是一個體，所以"複數"也可以當作"純量"。

=== 線性空間 ===
接下來我們可以把"向量"跟"純量"組裝起來，合成一個新的數學結構，稱為'''線性空間'''(linear space)。但在此之前，我們還要定義"向量的伸縮"（'''係數積'''），首先我們注意到
# 對任何的物理向量v有 1v = 1。 （係數積的"單位元"）
# 對於純量a, b和物理上的向量v有 (a+b)v = (av + bv)。 (係數積的"純量加法分配律")
# 對於純量a, b和物理上的向量v有 a(bv) = (a x b)v。 (係數積的"純量乘法結合律")
# 對於純量a和物理上的向量v, w有 a(v+w) = av + aw (係數積的"向量加法分配律")

這樣我們就可以給出嚴謹的定義了
{{CBox|bg=#e0f3d9|bgleft=#69aa4a
|text=
<math>(V,\, \oplus)</math> 是'''交換群''' ， <math>(F,\,+,\,\times)</math> 是'''體'''，且有雙元[[w:函數|函數]]
* <math>h:F\times V\to V</math> （ <math>h(a,\,v)</math> 簡記成 <math>a\cdot v</math> ）
滿足
# <math>(\forall v\in V)(1_F \cdot v = v)</math> （係數積的"單位元"）
# <math>(\forall a\in F)(\forall b\in F)[\,(a + b)\cdot v = (a\cdot v) \oplus (b\cdot v)\,]</math> (係數積的"純量加法分配律")
# <math>(\forall a\in F)(\forall b\in F)[\,a\cdot(b\cdot v) = (a \times b)\cdot v\,]</math> (係數積的"純量乘法結合律")
# <math>(\forall a\in F)(\forall v\in V)(\forall w\in V)[\,a\cdot(v\oplus w) = (a\cdot v) \oplus (a\cdot w)\,]</math> (係數積的"向量加法分配律")
則稱 <math>(V,\,\oplus, h)</math> （或 <math>(V,\,\oplus,\,\cdot)</math> ）為定義在體 <math>(F,\,+,\,\times)</math> 上的'''線性空間'''。
}}
如果不會與純量加法引起混淆的話，可以把 <math>\oplus</math> （"向量加法"）簡記為 <math>+</math> ；運算符號的都固定的狀況下，上面可以簡稱為" <math>V</math> 是定義在體 <math>F</math> 上的線性空間"。

另外 <math>(V,\, \oplus)</math> 的單位元我們會寫成 <math>0_V</math>，稱為'''零向量'''(zero vector)。

== 維度 ==
上一節我們把線性空間定義成某種"可加可係數積"的群體，就像平面上的向量一樣。那這些"線性量"能不能如同平面向量一樣
:<math>\vec{v}=v_x\cdot\hat{i}+v_y\cdot\hat{j}</math>
寫成數個"基底向量"的線性組合呢?

這取決於我們要用'''幾個'''"基底"去線性組合出整個向量空間，如果是指頭可以數完的('''有限個''')的基底，一般來說是不可行的。

如果我們把基底個數拓展到跟自然數一樣多('''可數個''')，那線性組合會變成所謂的"向量"無窮級數。儘管如此，也無法100%保證有這樣的一組"基底"可以收斂於任意"向量"
。(但所有多項式函數構成的線性空間的確是這樣的可數基底)

但很幸運的，如果你承認最一般版本的'''選擇公理'''，我們會有種特殊的'''不可數'''基底，可以從中挑出可數個來做線性組合而收斂於任意的"向量"。

綜上所述，我們要把'''存在有限個數的基底'''當作特例，而線性代數大多討論的就是這種美好狀況。而存在可數基底，或甚至連基底都沒有的部分就是[[泛函分析|'''泛函分析''']](functional analysis)處理的狀況。

=== 線性獨立 ===
如果有限個向量 <math>\{e_1,\,\cdots,\,e_n\}\subseteq V</math> 可以線性組合出(定義在體 <math>F</math> 上的)線性空間 <math>V</math> 的任意向量，那這樣的表達式唯不唯一呢?若對 <math>v\in V</math> 有
:<math>v = \sum^n_{i=1}v_i\cdot e_i = \sum^n_{i=1}{v_i}^{\prime}\cdot e_i</math>
那這樣會有
:<math>\sum^n_{i=1}(v_i-{v_i}^{\prime})\cdot e_i = 0_V</math>
那這樣表達式唯一等價於對所有的 <math>1\leq i \leq n</math> 有  <math>v_i={v_i}</math> ，或是說對所有 <math>\{c_1,\,\cdots,\,c_n\}\subseteq F</math> 有
:<math>(\,\sum^n_{i=1}c_i \cdot e_i = 0_V\,)\Rightarrow (\,\{c_1,\,\cdots,\,c_n\} = \{0_F\}\,)</math>

所以我們有下面這樣"換句話說"的定義
{{CBox|bg=#e0f3d9|bgleft=#69aa4a
|text=
線性空間 <math>V</math> 定義在體 <math>F</math> 上，若對 <math>E=\{e_1,\,\cdots,\,e_n\}\subseteq V</math> 有
:<math>(\forall C\subseteq F)\{[(\,C=\{c_1,\,\cdots,\,c_n\}\,)\wedge(\,\sum^n_{i=1}c_i \cdot e_i = 0_V\,)]\Rightarrow(\,C=\{0_F\}\,)\}</math>
我們稱 <math>E</math> 為'''線性獨立的'''(linear independently)，反之稱為'''線性相依的'''(linear dependently)。
}}

也就是說，數學家喜歡如此地敘述我們上面的那小段結果：「"基底"對任意向量有唯一的表達式，等價於"基底"是線性獨立的」。