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== 简介 ==
线性代数是研究有限维线性空间的学科，矩阵和线性空间是其基本内容，是数学和其他学科的重要基础，在生产生活中有着广泛的应用。学好线性代数，对培养逻辑思维、空间想象能力也起到重要的作用。因此，各大院校理工、金融等诸多专业都以线性代数作为必修课程，足见其内容的重要性和通用性。

== 预备知识 ==
在学习主要内容之前，首先让我们对向量和矩阵有一个直观上的认识。

=== 坐标向量 ===
在平面直角坐标系中，我们会用有序数对<math>(x, y)</math>的形式表示一个点。我们对点可以定义其运算，例如点的平移：将点<math>A(x, y)</math>向右平移一个单位得到点<math>B(x+1, y)</math>，这个过程抽象地写成方程的形式，可以写作
 <math>A + (1, 0) = B</math>
如果我们用一个符号<math>a</math>来代替<math>(1, 0)</math>，就可以把这个方程表示地更简洁一些：
 <math>A + a = B</math>
这里的<math>a</math>所代表的已经不是一个数了，而是有序数对。我们把这样的有序数对，连同<math>A, B</math>的坐标，称为二维实坐标向量。上面的方程就成了一个向量方程，表示三个向量之间存在的关系。

我们通常从全体的角度去研究一类对象，我们把所有二维实坐标向量所组成的集合称为二维实向量空间。注意到，这个二维实向量空间，实际上是实数集与实数集之间的[[w:笛卡儿积|笛卡尔积]]。因此要表示一个变量<math>a</math>为二维实坐标向量时，我们通常写成
 <math>a \in \mathbb{R}^2</math>

<math>n</math>维空间中的点，要确定其位置，需要<math>n</math>个坐标分量，我们把这<math>n</math>个分量组合而成的有序数组称为<math>n</math>维实坐标向量。所有<math>n</math>维实坐标向量组成的集合记为<math>\mathbb{R}^n</math>。

更一般地，我们可以将实数域扩展到一般的数域中讨论向量。有如下定义：
{{Definition|
设<math>F</math>为[[w:代数数域|数域]]。称笛卡尔积空间<math>F\times\cdots\times F</math>（n次连乘）为数域<math>F</math>上的<math>n</math>维向量空间，记作<math>F^n</math>。<math>F^n</math>中的任意元素<math>a</math>称为一个<math>n</math>维向量，可表示为<math>a = (a_1, \cdots, a_n), a_i \in F, i = 1, \cdots, n</math>。}}

向量可以定义其运算。设<math>a, b \in F^n, a = (a_1, \cdots, a_n), b = (b_1, \cdots, b_n), \lambda \in F</math>，则有
* 向量取反：<math>- a = (-a_1, \cdots, -a_n)</math>
* 向量加法：<math>a + b = (a_1 + b_1, \cdots, a_n + b_n)</math>
* 向量减法：<math>a - b = a + (-b)</math>
* 数乘：<math>\lambda a = (\lambda a_1, \cdots, \lambda a_n)</math>

上述定义都是很自然的，这里不加说明地直接给出。

向量之间可以比较是否相等。设<math>a,b \in F^n,\,a = (a_1, \cdots, a_n),\,b = (b_1, \cdots, b_n)</math>，则<math>a=b</math>当且仅当每个对应分量相等，即：<math>\forall i \in 1,2,\cdots,n, a_i=b_i</math>。但是要注意，向量之间不能直接比较大小。

=== 矩阵 ===
向量其实质是将数域做了笛卡尔积，由一个数扩展成了一组数。在书写中，我们常常把向量中包含的数写成一行或一列的形式，例如
 <math>a = [ 1\; 3\; 5\; 7 ], b = \left[ \begin{array}{c}2 \\ 4 \\ 6 \\ 8\end{array}\right]</math>
前者称为行向量，后者称为列向量。在实际应用中，向量这种对数域的扩展形式往往还不够用，即它只作为某一个“方向”上的扩展（这里应理解为其书写的形式），如果我们沿两个方向扩展数域，就会得到更一般的形式，我们称之为矩阵。例如
 <math>A = \left[ \begin{array}{cc}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{array}\right]</math>
就是一个3行2列的矩阵，通常称作3×2的矩阵。一般的<math>m \times n</math>的矩阵的全体记作<math>F^{m \times n}</math>。注意到，向量也可以看成是一种特殊的矩阵，所有<math>n</math>维行向量的全体<math>F^n</math>等价于<math>F^{1 \times n}</math>，所有<math>m</math>维列向量的全体<math>F^m</math>等价于<math>F^{m \times 1}</math>。

这里我们没有给矩阵这种表达形式赋予它特别的含义，因为它的含义会随着实际应用的不同而不同。在这里我们将其看作是对向量的一个扩展即可。矩阵的定义、运算、性质将在后面的章节中详细的给出。

== 习题 ==
# 设集合<math>A = \{ 1, 2, 3 \}, B = \{4, 5, 6\}, C = \{7, 8\}</math>，写出<math>A \times B \times C</math>；
# 模仿向量的定义，尝试定义矩阵；
# （选做）找一本抽象代数（或近世代数、代数结构）的课本，了解域的定义、性质，以及域上的运算。提示：域是一个集合<math>R</math>以及集合上定义的两种运算“·”、“+”所组成的三元组。

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