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== 功 ==

=== 机械功 ===
功，也称之为机械功，任何一个作用于物体的力<math>\boldsymbol{F}</math>所做的功，被定义为力与物体位移的内积，即功<math display="block">W = \boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{s}</math>首先，我们仅考虑恒力的情形，即上式中的<math>\boldsymbol{F}</math>保持恒定不变。记<math>\boldsymbol{F}</math>与<math>\boldsymbol{s}</math>的夹角为<math>\theta</math>，在一段时间后，物体发生了位移<math>\boldsymbol{s}</math>，可能存在如下情形：
# 若<math>0\leqslant\theta<\frac{\pi}{2}</math>，<math>W>0</math>，称<math>\boldsymbol{F}</math>做正功
# 若<math>\theta = \frac{\pi}{2}</math>，<math>W=0</math>，称<math>\boldsymbol{F}</math>不做功
# 若<math>\frac{\pi}{2}<\theta\leqslant\pi</math>，<math>W<0</math>，称<math>\boldsymbol{F}</math>做负功
根据公式，可以将功理解为物体受到的力的大小与物体在该力方向上的位移大小（当与力方向相反时，值为负值）的乘积。

=== 机械功的物理意义 ===
可能讲到这里你已经不愿意看到更多的公式、符号描述，我们即将对上述规定做解释，让你理解做正功、不做功、做负功的力究竟带来了什么样的作用效果。请注意，以下讨论的<math>\boldsymbol{F}</math>均为物体收到的合力，物体受到的每一个力的作用效果，可以通过一个合力的效果来替代，但分开研究每一个力，可能不能得到明显的效果，但是实际上它们与合力的效果是相同的。

在论述这个问题之前，我们需要知道，任何与物体运动方向不平行的合力，都会使物体的运动方向瞬间改变，这使得问题难以研究。为了规避这个问题，我们决定直接采用我们已经学过的运动，来帮助理解。我们考虑一下我们已经学过的圆周运动，做匀速圆周运动的物体，始终受到一个方向不断变化，但永远与运动方向垂直、指向轨迹圆圆心的力——向心力，因此我们可以得出，之所以我们认为<math>\boldsymbol{F}</math>与<math>\boldsymbol{s}</math>的夹角<math>\theta = \frac{\pi}{2}</math>时，<math>\boldsymbol{F}</math>不做功，是因为<math>\boldsymbol{F}</math>没能改变速度的大小。

现在我们回过头考虑下，<math>\theta= 0</math>时，<math>\boldsymbol{F}</math>提供的加速度与物体的运动速度方向相同，经过一段时间发生位移<math>\boldsymbol{s}</math>后，物体的运动速率增大；而当<math>\theta = \pi</math>时，<math>\boldsymbol{F}</math>提供的加速度方向与物体的初始运动方向相反，假设这期间物体的运动方向方向没有改变，物体的运动速率减小。

对于情形1，<math>\boldsymbol{F}</math>总可以分解为与<math>\boldsymbol{s}</math>夹角为<math>0</math>的<math>\boldsymbol{F_\parallel}</math>以及与<math>\boldsymbol{s}</math>夹角为<math>\frac{\pi}{2}</math>的<math>\boldsymbol{F_\perp}</math>，而<math>\boldsymbol{F_\perp}</math>不会影响物体运动的速率，<math>\boldsymbol{F_\parallel}</math>会使物体运动的速率增大，因此<math>\boldsymbol{F}</math>在物体经过位移<math>\boldsymbol{s}</math>后使物体的运动速率增大。

对于情形2，<math>\boldsymbol{F}</math>总可以分解为与<math>\boldsymbol{s}</math>夹角为<math>\pi</math>的<math>\boldsymbol{F_\parallel}</math>以及与<math>\boldsymbol{s}</math>夹角为<math>\frac{\pi}{2}</math>的<math>\boldsymbol{F_\perp}</math>，而<math>\boldsymbol{F_\perp}</math>不会影响物体运动的速率，<math>\boldsymbol{F_\parallel}</math>会使物体运动的速率减小，因此<math>\boldsymbol{F}</math>在物体经过位移<math>\boldsymbol{s}</math>后使物体的运动速率减小。
[[File:Rzutp.gif|缩略图|340x340像素|示例图1 平抛运动]]
我们用抛物运动来说明做功。考虑示例图1所示的平抛运动（物体被抛出时，速度方向为水平方向），初速度大小为<math>v_0</math>，经过时间<math>t</math>后，可以计算得到物体竖直方向的位移为<math display="block">\boldsymbol{s_\perp}=\frac{1}{2}\boldsymbol{g}t^2</math>因此物体的的位移<math display="block">\boldsymbol{s}=(v_0t,\frac{1}{2}gt^2)</math>由于重力始终为<math display="block">\boldsymbol{G}=m\boldsymbol{g}</math>因此在<math>[0,t]</math>这段时间内，重力做功为

<math display="block">\begin{align}
W&=\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{s}\\
&=(0,mg)\cdot(v_0 t,\frac{1}{2}gt^2)\\
&=\frac{1}{2}mg^2t^2
\end{align}</math>

=== 合力与分力的功 ===
现在我们来看一下合力与分力做功的关系，对于任何一个力<math>\boldsymbol{F}</math>，假设有

<math display="block">\boldsymbol{F}=\boldsymbol{F_1}+\boldsymbol{F_2}+\cdots+\boldsymbol{F_n}</math>根据功的定义，任何一个分力做功

<math display="block">W_i=\boldsymbol{F_i}\cdot\boldsymbol{s}</math>因此有

<math display="block">\begin{align}
W&=\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{s}\\
&=(\boldsymbol{F_1}+\boldsymbol{F_2}+
\cdots+\boldsymbol{F_n})\cdot\boldsymbol{s}\\
&=(\boldsymbol{F_1}\cdot\boldsymbol{s})+(\boldsymbol{F_2}\cdot\boldsymbol{s})+\cdots+(\boldsymbol{F_n}\cdot\boldsymbol{s})\\
&=W_1+W_2+\cdots+W_n
\end{align}</math>因此合力做功等于每一个分力做功之和。

== 动能 ==
任何一个运动的物体，我们都认为它具有一定的动能，物体在参考系下的动能被定义为

<math display="block">E_k = \frac{1}{2}mv^2</math>其中<math>v</math>为物体相对于参考系的速度大小。同物体的动能侧面反映了物体所具有的维持其惯性的能量。

你应该注意到，我们这里再一次强调了“在参考系下”，因为物体在不同参考下下的动能也是不一样的。在今后，如果不特殊说明，我们表述的物理量仍是同一惯性参考系下的。

== 动能定理 ==
我们首先看一段数学推导。我们的推导在二维参考系中，但是读者可以用同样的方式将结论推广到任意维度的参考系。

对于任意一个物体，假设在<math>t_0</math>时刻的速度为

<math display="block">\boldsymbol{v_0}=(v_x,v_y)</math>

此时物体具有的动能为

<math display="block">\begin{align}
E_k &=\frac{1}{2}m|\boldsymbol{v_0}|^2\\
&=\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2)\\
\end{align}</math>

且在<math>[t0,t1]</math>这段时间内（记<math>t=t_1-t0</math>），始终受到恒定的合力

<math display="block>\boldsymbol{F}=(F_x,F_y)</math>

则这段时间内，物体运动的位移为

<math display="block">\boldsymbol{s}=\boldsymbol{v_0}t+\frac{\boldsymbol{F}}{2m}t^2
</math>因此合力做功<math display="block">\begin{align}
W &= \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{s}\\
&= \boldsymbol{v_0F}t+\frac{(\boldsymbol{F}t)^2}{2m}\\
&= v_xF_xt+v_yF_yt+\frac{F_x^2t^2}{2m}+\frac{F_y^2t^2}{2m}\\
\end{align}
</math>现在让我们来看看<math>t_1</math>时刻物体的动能，我们先计算出此时的速度
<math display="block">\begin{align}
\boldsymbol{v_ 1}&=\boldsymbol{v_0}+\frac{\boldsymbol{F}t}{m}\\
&=(v_x+\frac{F_xt}{m},v_y+\frac{F_yt}{m})
\end{align}</math>因此，此时物体的动能为<math display="block">\begin{align}
E_k'&=\frac{1}{2}m|\boldsymbol{v_1}|^2\\
&=\frac{1}{2}mv_x^2+\frac{1}{2}mv_y^2+ v_xF_xt+v_yF_yt+\frac{F_x^2t^2}{2m}+\frac{F_y^2t^2}{2m}
\end{align}</math>因此有

<math display="block">W = E_k'-E_k</math>对于不断的合力做功，我们可以将变力看做很多微小位移段上的恒力，于是，综合起来我们可以得到，'''动能定理：物体所受到合力所做的功等于物体动能变化量。'''

动能定理描述了功和动能的关系，是功和动能的桥梁。注意，这里的“定理"，并非指动能定理是绝对正确地。动能定理是将其背后的定律作为前提条件而推导出的定理，其正确性依赖于牛顿第二定律。

==*引力势能==
由于重力只是引力的近似描述，带来了方便的同时，也带来了误差。因此，描述一个物体势能更加精确的方式是使用引力势能。引力势能都是定义在两个物体之间的。有功的基础上，引力势能被定义为引力一个物体A从两物体A和B距离为0（两物体处于同一位置）的位置到当前位置，整个过程中引力做功大小。实际上，整个做功的大小与物体产生这段位移的路径无关，这个结论需要用到微积分才能推导出，在这里我们直接呈出结论，引力势能为

<math display="block">E_p=-\frac{G m_A m_B}{r}</math>其中<math>r</math>为两个物体间的距离，<math>m_A</math>、<math>m_B</math>分别为两个物体的质量，<math>G</math>为万有引力常量。可见，将两个物体中的任何一个物体作为参照，另一个物体的引力势能表达式都是一样的。

如果你能理解微积分，对于那些直接直线远离的两个物体之间的引力势能，这个公式非常容易理解，因为

<math display="block">\begin{align}
E_p &= W\\
&=\textstyle \int_{0}^{r}  - \frac{G m_A m_b}{x^2}dx\\
&=-\frac{G m_A m_b}{r}
\end{align}</math>

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