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複數（Complex number），是一種「複合的數」，由實數和虛數單位<math>i</math>所組成。所有的複數都可表達成<math>a+bi</math>。

==虛數單位==
===為何需要虛數單位===
* 解方程：<math>0.5x^2 -6x + 55.5= 0</math>

從以上一元二次方程的判別式<math>b^2-4ac=36-4(0.5)(55.5)= 36-111=-75</math>中，我們可以知道這條方程沒有實根。如果你不曾學過虛數，大概答至這裏便可了。若果你學了虛數，又應怎樣答呢？

你應答<math>x=i</math>或<math>-i</math>，其中<math>i</math>是常數，其值為<math>\sqrt{-1}</math>，稱為'''虛數單位'''。

如上題：判別式=<math> 36-111=-75</math>，<math>x=\frac{6+\sqrt{-75}}{1}</math>, <math>\frac{6-\sqrt{-75}}{1}</math>

可記做：<math>x=6+5\sqrt{3}i</math>, <math>6-5\sqrt{3}i</math>

在古代，數學的應用大多用不着複數，因此人們並沒有對複數進行研究。

===運算===
: <math>\sqrt{-9} = 3i</math>
: <math>\sqrt{-2} = \sqrt{2}i</math>
: <math>\sqrt{-x} = \sqrt{x}i</math>，其中<math>x \ge 0</math>

: <math>\sqrt{-9} \times \sqrt{-2} = 3i \times \sqrt{2}i = - \sqrt{18}</math>

切記以下的計法不正確：

: <math>\sqrt{-9} \times \sqrt{-2} = \sqrt{(-9)(-2)} = \sqrt{18}</math>。

<math>\sqrt{x} \times \sqrt{y} = \sqrt{xy}</math>只能應用於<math>x,y \ge 0</math>時，因為負數的開方是不連續的。

<math>i</math> 的高次方會不斷作以下的循環：

:<math>i^0 = 1\,</math>
:<math>i^1 = i\,</math>
:<math>i^2 = -1\,</math>
:<math>i^3 = -i\,</math>


:<math>i^4 = 1\,</math>
:<math>i^5 = i\,</math>
:<math>i^6 = -1\,</math>
:<math>i^7 = -i\,</math>


:...

===練習===
若<math>n</math>是整數，試計算以下的值：

#<math>i^{4n}</math>
#<math>i^{4n+1}</math>
#<math>i^{4n+2}</math>
#<math>i^{4n+3}</math>

==複數的表示：實部、虛部、軛、模==
所有複數都可以表示成<math>a+bi</math>，其中<math>a,b</math>是實數。<math>a</math>稱為'''實部'''，而<math>b</math>稱為'''虛部'''。例如<math>3+4i</math>的實部就是<math>3</math>，虛部是<math>4</math>。

一個複數<math>a+bi</math>的'''軛'''（Conjugates）是<math>a-bi</math>，<math>3+4i</math>的軛就是<math>3-4i</math>。如果某個複數是一條二次方程的根，其軛就是另一個根。例如<math>x^2 - 6x + 25 = 0</math>的根就是<math>3+4i</math>和<math>3-4i</math>。

複數<math>z</math>的軛寫作<math>\bar{z}</math>。複數和其軛相乘，即<math>z \times \bar{z} = (a+bi)(a-bi)=a(a)+a(bi)-a(bi)-(bi)(bi)=a^2+b^2</math>，是一個實數。將複數和軛相加，<math>z + \bar{z} = (a+bi)+(a-bi)=2a</math>，亦是一個實數，是其實部的兩倍。將複數減去複數的軛相減，<math>z - \bar{z} = (a+bi)-(a-bi)=2bi</math>，會得到其虛部的兩倍。
<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math>稱為<math>a+bi</math>的'''模'''或'''絕對值'''。

===練習===

==運算==
===四則運算===
在四則運算上，複數運算和一般運算無甚差異：

* 加、減法：實部加實部，虛部加虛部：<math>(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</math>
* 乘法：<math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bidi=ac+bdi^2+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i</math>
* 除法：可將分母「實數化」，方法是分子、分母乘以分母的軛作擴分：<math>\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}</math>

例１：<math>\frac{(1-2i)(3+4i)-(5+6i)}{7+8i}=\frac{11-2i-(5+6i)}{7+8i}</math>
<math>=\frac{6-8i}{7+8i}=\frac{(6-8i)(7-8i)}{(7+8i)(7-8i)}=\frac{-22-104i}{113}=- \frac{22+104i}{113}</math>

例２：求<math>36+111i^2</math>之值。
<math>i^2=-1</math>，<math>36+111i^2=36-111=-75</math>

===開方===
要找一個複數的開<math>n</math>次冪，可以先求<math>(a+bi)^n</math>的展開式，再對應欲開<math>n</math>次冪的複數的虛部和實數求解。

例：<math>x^2=i</math>，求<math>x</math>。

: <math>(a+bi)^2=a^2+2abi+(bi)^2=(a^2-b^2)+(2ab)i</math>
: <math>i = 0+1i</math>
: <math>a^2-b^2=0 ; 2ab=1</math>
解方程得<math>a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}</math>或<math>a=b=-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>，因此，<math>x=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i</math>或<math>x=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i</math>

===冪、對數===
參見[[#冪、對數的計算]]。

==複數平面==
本來卡氏座標要有兩個座標來表示位置，當有了複數後我們只需要一個複數就可以表示座標上的位置，用這樣方式表示座標平面稱為復座標或復平面。復平面由一實軸和虛軸組成。
===有序對===
===單位圓===
===歐拉公式===
等式<math>e^{ix} = \cos x + i\;\sin x</math>称为复数的欧拉公式（Euler's complex number formula）。 
當x為π時, <math>e^{i\pi} + 1 = 0</math>
这是一道被誉为美妙无比的式子，因等式将数学内五个极重要的数：<math>e</math>，<math>i</math>，<math>\pi</math>，１，０，连起来.

====冪、對數的計算====
===棣美弗公式===

==幾何上的應用==
===向量===
复数向量是表示在復平面上的向量

向量z=<math>a+bi</math>

在實軸上的正射影長為a，在虛軸上的正射影長為b

長度为<math>|z|=\sqrt{\left ( a^2+b^2 \right )}</math>

===變換===
====位移====
====旋轉====
===例子===
====凡·奧貝爾定理的證明====
==高斯整數、艾森斯坦整數==
===質數===
==練習解答==

===練習一===
# 1
# <math>i</math>
# -1
# <math>-i</math>

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