查看“︁訊號與系統/三角傅立葉級數”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Communication
|G2=Math
}}

== 傅立葉級數的觀念 ==
傅立葉(Jean Baptiste Joseph  Fourier)(1768-1830)首先提出一個週期訊號可以表示成弦波訊號的和。

假設x(t)為一週期訊號，其基本週期為<math>T^0</math>，則x(t)可表示成弦波訊號的和：

<math>x(t)=a_0+\sum_{n=1}^ \infty [a_n cosn\omega_0t+b_nsinn\omega_0t]</math>

其中<math>\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}</math>

因為是用弦波訊號的和來表示週期訊號，故上述稱為三角傅立葉級數。

== 三角傅立葉級數的係數 ==
三角傅立葉級數：<math>x(t)=a_0+\sum_{n=1}^ \infty [a_n cosn\omega_0t+b_nsinn\omega_0t]</math>

如何求係數:<math>a_0</math>,<math>a_n</math>,及<math>b_n</math>?

求<math>a_0</math>：

將上式等號兩邊分別對t積分，積分範圍為一個基本週期<math>T0</math>，也就是<math>[t_1,t_1+T_o]</math>，t1可為任意值。

<math>\int_{T_0}^{} x(t)\, dt=\int_{T_0}^{} a_0\, dt+\begin{matrix} 0 \\ \overbrace{ \int_{T_0}^{} a_1cos\omega_0t\, dt } \end{matrix}+\begin{matrix} 0 \\ \overbrace{ \int_{T_0}^{} a_2cos2\omega_0t\, dt } \end{matrix}+...</math>

<math>+\begin{matrix}  \ \underbrace{ \int_{T_0}^{} b_1sin\omega_0t\, dt } \\0\end{matrix}+\begin{matrix}  \ \underbrace{ \int_{T_0}^{} b_2sin2\omega_0t\, dt } \\0\end{matrix}+...</math>

注意：任何弦波訊號積分一個週期或整數個週期結果均等於0

<math>\Longleftrightarrow\int_{T^0}^{} x(t)\, dt=a_0T^0</math>

故<math>a_0=\begin{matrix} \underbrace{ \frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)\, dt } \\ x(t) average\end{matrix}
</math>

求第 k 項的係數<math>a_k</math>及<math>b_k(k\ne0)</math> 

(一)將三角傅立葉級數等號兩邊同乘上<math>cosk</math><math>\omega_0t</math>再對時間t積分，積分範圍為<math>T_0</math>。
<math>\int_{T_0}^{} cosk\omega_0t\, dt=\begin{matrix} \underbrace{ \int_{T_0}^{} a_0cosk\omega_0t\, dt } \\ 0 \end{matrix}+\int_{T_0}^{} \, (\sum_{n=1}^\infty a_ncosn\omega_0t)cosk\omega_0tdt+\int_{T_0}^{} \, (\sum_{n=1}^\infty b_ncosn\omega_0t)cosk\omega_0tdt</math>

<math>\int_{T_0}^{} cosk\omega_0t\, dt=\sum_{n=1}^\infty [a_n\begin{matrix} \underbrace{\int_{T_0}^{} cos\omega_0tcosk\omega_0t\, dt} \\=I_3=\begin{cases} 0, & \mbox{if }n\mbox{ is not equal to k} \\ \frac{T_0}{2}, & \mbox{if }n\mbox{ is equal to k} \end{cases} \end{matrix}+b_n\begin{matrix} \underbrace{ \int_{T_0}^{} sinn\omega_0tcosk\omega_0t\, dt} \\ =I_1=0 \end{matrix}]</math>

<math>\int_{T_0}^{} x(t)cosk\omega_0t\, dt=a_k\frac{T_0}{2}</math>

<math>\Rightarrow a_k=\frac{2}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)cosk\omega_0t\, dt</math>


(二)將三角傅立葉級數等號兩邊同乘上<math>sink</math><math>\omega_0t</math>再對時間t積分，積分範圍為<math>T_0</math>。

<math>\int_{T_0}^{} sink\omega_0t\, dt</math>=<math>\begin{matrix} \underbrace{\int_{T_0}^{} a_0sink\omega_0t\, dt} \\ 0 \end{matrix}</math>+<math>\int_{T_0}^{} (\sum_{n=1}^\infty a_ncosn\omega_0t)sink\omega_0t\, dt</math>+<math>\int_{T_0}^{} (\sum_{n=1}^\infty b_nsinn\omega_0t)sink\omega_0t\, dt</math>

<math>\int_{T_0}^{} sink\omega_0t\, dt</math>=<math>\sum_{k=1}^\infty[a_n\begin{matrix} \underbrace{ \int_{T_0}^{} cosn\omega_0tsink\omega_0t\, dt} \\ =I_1=0 \end{matrix}+b_n\begin{matrix} \underbrace{ \int_{T_0}^{} sinn\omega_0tsink\omega_0t\, dt} \\=I_2= \begin{cases} 0, & \mbox{if }n\mbox{ is equal k} \\ \frac{T_0}{2}, & \mbox{if }n\mbox{ is not equal to k} \end{cases}\end{matrix}]</math>

<math>\int_{T_0}^{} sink\omega_0t\, dt=b_x\frac{T_0}{2}</math>


<math>\Rightarrow b_k=\frac{2}{T_0}=\int_{T_0}^{} sink\omega_0t\, dt</math>




說明   <math>I_1\equiv\int_{T_0}^{} cosn\omega_0tsink\omega_0\, dt</math>

若<math>n \ne k</math>

<math>I_1=\frac{1}{2}[\begin{matrix} 0 \\ \overbrace{ \int_{T_0}^{} sin(n+k)\omega_0t\, dt} \end{matrix}</math> - <math>\begin{matrix} 0 \\ \overbrace{ \int_{T_0}^{} sin(n-k)\omega_0t\, dt} \end{matrix}]=0</math>

若<math>n=k</math>

<math>I_1=\int_{T_0}^{} cosk\omega_0tsink\omega_0t\, dt=\frac{1}{2}\int_{T_0}^{} sin2k\omega_0t\, dt=0</math>

所以<math>I_1=\int_{T_0}^{} cosn\omega_0tsink\omega_0t\, dt=0</math>




說明    <math>I_2\equiv\int_{T_0}^{} sinn\omega_0tsink\omega_0\, dt</math>

若<math>n \ne k</math>

<math>I_1=\frac{1}{2}[\begin{matrix} 0 \\ \overbrace{ \int_{T_0}^{} cos(n-k)\omega_0t\, dt} \end{matrix}</math> - <math>\begin{matrix} 0 \\ \overbrace{ \int_{T_0}^{} cos(n+k)\omega_0t\, dt} \end{matrix}]=0</math>

若<math>n=k</math>

<math>I_2=\int_{T_0}^{} sink\omega_0tsink\omega_0t\, dt=\int_{T_0}^{} sin^2\omega_0t\, dt</math>

<math>=\int_{T_0}^{} \frac{1-cos2k\omega_0t}{2}\, dt=\int_{T_0}^{} \frac{1}{2}\, dt
</math>-<math>\begin{matrix} 0 \\ \overbrace{ \int_{T_0}^{} \frac{1}{2}cos2k\omega_0t\, dt } \end{matrix}=\frac{T_0}{2}</math>

所以<math>I_2 = \begin{cases} 0, & \mbox{if }n\mbox{ is equal k} \\ \frac{T_0}{2}, & \mbox{if }n\mbox{ is not equal to k} \end{cases}</math>




說明    <math>I_3\equiv\int_{T_0}^{} cosn\omega_0tcosk\omega_0\, dt</math>

若<math>n \ne k</math>

<math>I_3=\frac{1}{2}[\begin{matrix} 0 \\ \overbrace{ \int_{T_0}^{} cos(n-k)\omega_0t\, dt} \end{matrix}</math> - <math>\begin{matrix} 0 \\ \overbrace{ \int_{T_0}^{} cos(n+k)\omega_0t\, dt} \end{matrix}]=0</math>

若<math>n=k</math>

<math>I_3=\int_{T_0}^{} cos^2k\omega_0t\, dt=\int_{T_0}^{} \frac{1+cos2k\omega_0t}{2}\, dt</math>

<math>=\int_{T_0}^{} \frac{1}{2}\, dt</math>+<math>\begin{matrix} 0 \\ \overbrace{ \int_{T_0}^{} \frac{1}{2}cos2k\omega_0t\, dt} \end{matrix}=\frac{T_0}{2}</math>

<math>I_3 = \begin{cases} 0, & \mbox{if }n\mbox{ is equal k} \\ \frac{T_0}{2}, & \mbox{if }n\mbox{ is not equal to k} \end{cases}</math>

== 三角傅立葉級數(整理) ==
一個基本週期為<math>T_0</math>的週期訊號可表示成三角傅立葉級數：

<math>x(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty [a_ncosn\omega_0t+b_nsin\omega_0t]</math>

其中

<math>a_0=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)\, dt</math>  (<math>x(t)</math>的平均值)

<math>a_n=\frac{2}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)cosn\omega_0t\, dt</math>  <math>(n \neq 0)</math>

<math>b_n=\frac{2}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)sinn\omega_0t\, dt</math>  <math>(n \neq 0)</math>


== 三角傅立葉級數第二式 ==

利用三角函數的公式

<math>a_ncosn\omega_0t+b_nsinn\omega_0t=c_ncos(n\omega_0+\theta_n)</math>

其中: <math>c_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2} </math>
    
<math>\theta_n=tan^-1\frac{-b_n}{a_n}</math>

故:<math>x(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty (a_ncosn\omega_0t+b_nsinn\omega_0t)</math>

=<math>a_0+\sum_{n=1}^\infty  c_ncos(n\omega_0t+\theta_n)</math>

令<math>c_0=a_0\Rightarrow x(t)=c_0+\sum_{n=1}^\infty c_ncos(n\omega_0t+\theta_n)</math>

......三角傅立葉級數第二式

== 函數不連續點之級數收斂值 ==

不連續點：傅立葉級數收斂至不連續點之左、右極限的平均值。

圖出處©Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems:  Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

== 傅立葉級數存在的條件 ==
Dirichlet 條件：

1 .<math>x(t)</math>在一個週期內只存在有限個不連續點，且這些不
連續點均為有限值。

2 .<math>x(t)</math>在一個週期內只有有限個極大值和極小值。

3 .<math>X(t)</math>在一個週期內為絕對可積，即

<math>\int_{t_1+T_0}^{t_1} \left| x(t) \right|\, dt<\infty</math> <math>t_1</math>為任意時間


若<math>x(t)</math>滿足 Dirichlet 條件，則<math>x(t)</math>可表示成傅立
葉級數。

== 範例4.10 ==
試求週期方波<math>x(t)</math>之三角傅立葉級數。

圖出處©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

【解】<math>x(t)</math>的基本週期為<math>T_0=2\pi\Rightarrow \omega_0=\frac{2\pi}{T_0}=1</math>

<math>x(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty [a_ncosnt+b_nsinnt]</math>

<math>a_0=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)\, dt=\frac{1}{2\pi}\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, dt=\frac{1}{2}</math>

<math>a_n=\frac{2}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)cosnt\, dt=\frac{1}{\pi}\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} cosnt\, dt=\frac{2}{n\pi}sin(\frac{n\pi}{2})</math>


<math>= \begin{cases} 0, & \mbox{if }n\mbox{ is even} \\ \frac{2}{n\pi}, & \mbox{ }n\mbox{=1,5,9,13...}\\ \frac{-2}{n\pi}, & \mbox{ }n\mbox{=3,7,11,15...} \end{cases}</math>


<math>b_n=\frac{2}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)sinnt\, dt=\frac{1}{\pi}\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} sinnt\, dt=0</math>

<math>x(t)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}(cost-\frac{1}{3}cos3t+\frac{1}{5}cos5t-\frac{1}{7}cos7t+...)</math>

<math>-cosx=cos(x-\pi)</math>

<math>=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}[cost+\frac{1}{3}cos(3t-\pi)+\frac{1}{5}cos5t+\frac{1}{7}cos(7t-\pi)+...]</math>

=<math>c_0+\sum_{n=1}^\infty c_ncos(nt+\theta_n)</math>




其中
<math>c_0=\frac{1}{2}</math>


<math>c_n= \begin{cases} 0, & \mbox{if }n\mbox{ is even} \\ \frac{2}{n\pi}, & \mbox{if }n\mbox{ is odd} \end{cases}</math>


<math>\theta_n= \begin{cases} -\pi, & \mbox{ }n\mbox{=3,7,11,15...} \\ 0, & \mbox{ }\mbox{other} \end{cases}</math>

==<math>x(t)</math>的頻譜 ==
由於<math>\theta_n</math>只有0與<math>-\pi</math>兩個可能，故可將振幅頻譜與相位頻譜合併，如下：

圖出處©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

== 範例4.11 ==
試求三角波週期訊號<math>x(t)</math>的三角傅立葉級數。

圖出處©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

【解】

<math>x(t)</math>的基本週期<math>T_0=2\Rightarrow\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}=\pi</math>

<math>x(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty [a_ncosn\pi t+b_nsinn\pi t]</math>

由圖形知，積分範圍可取<math>t=\frac{-1}{2}</math>到<math>t=\frac{3}{2}</math>，此時  

<math>x(t)=2At,\left|t\right|\le\frac{1}{2}</math>    and    <math>x(t)=2A(1-t),\frac{1}{2}<t\le \frac{3}{2}</math>

(1)<math>a_0=0 \gets x(t)</math>的平均值為0

(2)<math>a_n=\frac{2}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)cosn\pi t\, dt</math>

=<math>\frac{2}{2}\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{3}{2}} x(t)cosn\pi t\, dt</math>

=<math>\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} 2Atcosn\pi t\, dt+\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} 2A(1-t)cosn\pi t\, dt=0\rightarrow</math>說明:可用函數的奇偶對稱性看出


<math>b_n=\frac{2}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)sin(n\pi t)\, dt</math>
=<math>\frac{2}{2}\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{2}{3}} x(t)sin(n\pi t)\, dt</math>
=<math>\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} 2Atsin(n\pi t)\, dt+\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} 2A(1-t)sin(n\pi t)\, dt</math>

<math>\frac{8A}{n^2\pi^2}sin\frac{n\pi}{2} = \begin{cases} 0, & \mbox{if }n\mbox{ is even} \\ \frac{8A}{n^2\pi^2}, & \mbox{ }n\mbox{=1,5,9,13...} \\ \frac{-8A}{n^2\pi^2}, & \mbox{ }n\mbox{=3,7,11,15...} \end{cases}</math>

<math>x(t)=\frac{8A}{\pi^2}[sin\pi t-\frac{1}{9}sin3\pi t+\frac{1}{25}sin5\pi t-\frac{1}{49}sin7\pi t+...]</math>

利用<math>\pm sinkt=cos(kT \mp 90^\circ)</math>

=<math>\frac{8A}{\pi ^2}[cos(\pi t-90^\circ)+\frac{1}{9}cos(3\pi t+90^\circ)+\frac{1}{25}cos(5\pi t-90^\circ)+\frac{1}{49}cos(7\pi t+90^\circ)]</math>

單邊頻譜

注意：偶次諧波(harmonic)消失，只有奇次諧波存在。

圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

== 函數對稱性的影響 ==
假設<math>f(t)</math>為偶對稱(even symmetrical)

<math>a_0=\frac{1}{T_0}\int_{\frac{-T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} f(t)\, dt=\frac{2}{T_0}\int_{0}^{\frac{T_0}{2}} f(t)\, dt</math>

<math>a_n=\frac{2}{T_0}\int_{\frac{-T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} f(t)cosn\omega_0t\, dt=\frac{4}{T_0}\int_{0}^{\frac{T_0}{2}} f(t)cosn\omega_0 t\, dt</math>

<math>b_n=\frac{2}{T_0}\int_{\frac{-T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} f(t)sinn\omega_0 t\, dt=0</math>


假設<math>f(t)</math>為奇對稱(odd  symmetrical)

<math>a_0=\frac{1}{T_0}\int_{\frac{-T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} f(t)\, dt=0</math>

<math>a_n=\frac{2}{T_0}\int_{\frac{-T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} f(t)cosn\omega_0 t\, dt=0</math>

<math>b_n=\frac{2}{T_0}\int_{\frac{-T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} f(t)sinn\omega_0 t\, dt=\frac{4}{T_0}\int_{0}^{\frac{T_0}{2}} f(t)sinn\omega_0 t\, dt</math>



假設<math>f(t)</math>為半波奇對稱(half-wave odd  symmetrical) ，
即

<math>f(t-\frac{T_0}{2})=-f(t)</math>

<math>\Rightarrow</math>所有偶次諧波皆為0

Note：以上兩個範例均可視為半波奇對稱或半波奇對稱的變形。

== Gibbs 現象 ==
由前面範例知，週期方波<math>f(t)</math>的傅立葉級數如下：

<math>f(t)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}(cost-\frac{1}{3}cos3t+\frac{1}{5}cos5t-\frac{1}{7}+...)</math>

下圖分別是取第1項(a) ，前2項之和(b) ，前3項之和(c) ，前4項之和(d)以及前11項之和(e)的圖形：

圖出處©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.



根據傅立葉級數的原理，取無窮多項的和〝應該〞和<math>f(t)</math>完全相等。


但上圖可知：

(1) 波形中存在振盪(oscillatory)的現象。

(2) 在不連續點的兩側存在有大小約9%的越位(overshoot) 。 

Gibbs證實：
即使取無窮多項的和，此一9%的越位現象仍存在，只是會非 
   
常靠近不連續點。後人稱為Gibbs現象(Gibbs phenomenon)